学年人教版高中数学选修44同步单元检测试题AB卷解析版共6份.docx
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学年人教版高中数学选修44同步单元检测试题AB卷解析版共6份
2017-2018学年人教版高中数学选修4-4
单元检测试题
目录
第一讲坐标系A卷1
第一讲坐标系B卷8
第二讲参数方程A卷15
第二讲参数方程B卷22
模块检测卷
(一)29
模块检测卷
(二)36
第一讲坐标系A卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.点M的极坐标为(1,π),则它的直角坐标是( )
A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)
解析:
选B x=1×cosπ=-1,y=1×sinπ=0,即直角坐标是(-1,0).
2.已知曲线C的极坐标方程ρ=2cos2θ,给定两点P,Q(2,π),则有( )
A.P在曲线C上,Q不在曲线C上
B.P,Q都不在曲线C上
C.P不在曲线C上,Q在曲线C上
D.P,Q都在曲线C上
解析:
选C 当θ=时,ρ=2cosπ=-2≠0,故点P不在曲线上;当θ=π时,ρ=2cos2π=2,故点Q在曲线上.
3.在同一坐标系中,将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 将代入y=sinx,得μy=sinλx,
即y=sinλx,与y=2sin3x比较,得μ=,λ=3,
即变换公式为
4.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为( )
A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4
解析:
选B 由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,故化为直角坐标方程是x2+y2=4y,即(y-2)2+x2=4.
5.
如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5),C1,则此长方体的体积为( )
A.100B.120
C.160D.240
解析:
选B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5),C1,可知|OA|=4,|OC|=6,|OO1|=5,故长方体的体积为4×5×6=120.
6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A.πB.4πC.8πD.9π
解析:
选B 设P点的坐标为(x,y),∵|PA|=2|PB|,
∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2].
即(x-2)2+y2=4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,它的面积为4π.
7.在极坐标系中,过点A(6,π)作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为( )
A.2B.6C.2D.2
解析:
选C 圆ρ=-4cosθ化为(x+2)2+y2=4,点(6,π)化为(-6,0),所以切线长===2.
8.极坐标方程θ=,θ=π和ρ=4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A.πB.πC.πD.π
解析:
选B 三条曲线围成一个扇形,半径为4,圆心角为-=.
∴扇形面积为:
×4××4=.
9.在极坐标系中,曲线ρ=4sin关于( )
A.θ=轴对称B.θ=轴对称C.中心对称D.极点中心对称
解析:
选B ρ=4sin可化为ρ=4cos,可知此曲线是以为圆心的圆,故圆关于θ=对称.
10.极坐标系内曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )
A.-1B.-1C.1D.
解析:
选A 将曲线ρ=2cosθ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即-1.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上)
11.(江苏高考改编)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,则圆C的半径为________.
解析:
以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为
ρ2+2ρ-4=0,
化简,得ρ2+2
ρsinθ-2ρcosθ-4=0.
则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,
即(x-1)2+(y+1)2=6,
所以圆C的半径为.
答案:
12.点A的直角坐标为,则它的球坐标为________.
解析:
r==6.cosφ==,
∴φ=.tanθ==,∴θ=.
∴它的球坐标为.
答案:
13.在极坐标系中,点A关于直线l:
ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为________.
解析:
由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直,设A′是点A关于l的对称点,则四边形OBA′A是正方形,∠BOA′=,且OA′=2,
故A′的极坐标可以是.
答案:
14.已知直线l的方程为y=x+1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________.
解析:
直线l的方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2).故该点的极径ρ==.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)x2-y2=1;
(2)+=1.
解:
由伸缩变换得 ①
(1)将①代入x2-y2=1得9x′2-4y′2=1,
因此,经过伸缩变换后,
双曲线x2-y2=1变成双曲线9x′2-4y′2=1,如图
(1)所示.
(2)将①代入+=1得x′2+=1,因此,经过伸缩变换后,椭圆+=1变成椭圆x′2+=1,如图
(2)所示.
16.(本小题满分12分)如果点的极坐标为A,B,且△ABC为等腰直角三角形,如何求直角顶点C的极坐标.
解:
对于点A,直角坐标为(,),点B的直角坐标为(-,-),
设点C的直角坐标为(x,y),由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,
∴·=0,
即(x-,y-)·(x+,y+)=0,
∴x2+y2=4.①
又||2=||2,
于是(x-)2+(y-)2=(x+)2+(y+)2,
∴y=-x,代入①,得x2=2,
解得x=±.
∴或
∴点C的直角坐标为(,-)或(-,),
∴ρ==2,tanθ=-1,θ=或,
∴点C的极坐标为或.
17.(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.
解:
将极坐标方程化为直角坐标方程,
得圆的方程为x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1,
直线的方程为3x+4y+a=0.
由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,
即有=1,解得a=-8或a=2.
故a的值为-8或2.
18.(本小题满分12分)在极坐标系中,P是曲线ρ=12sinθ上的一动点,Q是曲线ρ=12cosθ-上的动点,试求|PQ|的最大值.
解:
∵ρ=12sinθ,∴ρ2=12ρsinθ,
∴x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36.
又∵ρ=12cos,
∴ρ2=12ρ,
∴x2+y2-6x-6y=0,
∴(x-3)2+(y-3)2=36.
∴|PQ|max=6+6+=18.
19.(本小题满分12分)已知线段BB′=4,直线l垂直平分BB′,交BB′于点O,在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′,使OP·OP′=9,建立适当的坐标系,求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程.
解:
以O为原点,BB′为y轴,l为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则B(0,2),B′(0,-2),设P(a,0)(a≠0),则由OP·OP′=9,得P′(,0),直线BP的方程为+=1,直线B′P′的方程为+=1,即lBP:
2x+ay-2a=0,lB′P′:
2ax-9y-18=0.
设M(x,y),则由解得
(a为参数).消去a,可得4x2+9y2=36(x≠0),
所以点M的轨迹是焦点在x轴上,长轴长为6,短轴长为4的椭圆(除去点B,B′).
20.(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2+y2-8x-10y+16=0.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解:
(1)将
代入x2+y2-8x-10y+16=0,
得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
第一讲坐标系B卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.将点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为( )
A.(π,0)B.(π,2π)C.(-π,0)D.(-2π,0)
解析:
选A x=πcos(-2π)=π,y=πsin(-2π)=0,所以化为直角坐标为(π,0).
2.在极坐标系中,已知A、B,则OA、OB的夹角为( )
A.B.0C.D.
解析:
选C
如图所示,夹角为.
3.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=cos2x按伸缩变换后为( )
A.y=cosxB.y=3cos
C.y=2cosD.y=cos3x
解析:
选A 由得
代入y=cos2x,得=cosx′.
∴y′=cosx′,即曲线y=cosx.
4.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是( )
A.B.C.(1,0)D.(1,π)
解析:
选B 由ρ=-2sinθ得ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.
5.曲线θ=与ρ=6sinθ的两个交点之间的距离为( )
A.1B.C.3D.6
解析:
选C 极坐标方程θ=,ρ=6sinθ分别表示直线与圆,如图所示,圆心C,∠AOC=,∴|AO|=2×3×cos=6×=3.
6.点M关于直线θ=(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A.B.C.D.
解析:
选A 法一:
点M关于直线θ=(ρ∈R)的对称点为,即.
法二:
点M的直角坐标为=-,-,
直线θ=(ρ∈R),即直线y=x,
点关于直线y=x的对称点为-,-,
再化为极坐标即.
7.极坐标方程ρsin2θ-2cosθ=0表示的曲线是( )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
解析:
选C 由ρsin2θ-2cosθ=0,得ρ2sin2θ-2ρcosθ=0,
∴化为直角坐标方程是y2-2x=0,即x=y2,表示抛物线.
8.在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为( )
A.ρcosθ=B.ρcosθ=2
C.ρ=4sinD.ρ=4sin
解析:
选B 极坐标方程ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ,
即x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
由所给的选项中ρcosθ=2知,x=2为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切.
9.圆ρ=4cosθ的圆心到直线tanθ=1的距离为( )
A.B.C.2D.2
解析:
选B 圆ρ=4cosθ的圆心C(2,0),如图,|OC|=2,
在Rt△COD中,∠ODC=,∠COD=,
∴|CD|=.
10.圆ρ=r与圆ρ=-2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A.2ρ(sinθ+cosθ)=r
B.2ρ(sinθ+cosθ)=-r
C.ρ(sinθ+cosθ)=r
D.ρ(sinθ+cosθ)=-r
解析:
选D 圆ρ=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,①
圆ρ=-2rsin=-2rsinθcos+cosθsin=-r(sinθ+cosθ).
两边同乘以ρ得ρ2=-r(ρsinθ+ρcosθ)
∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,
∴x2+y2+rx+ry=0.②
①-②整理得(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线(x+y)=-r化为极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-r.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上)
11.直线xcosα+ysinα=0的极坐标方程为________.
解析:
ρcosθcosα+ρsinθsinα=0,cos(θ-α)=0,
取θ-α=.
答案:
θ=+α
12.在极坐标系中,若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2=4ρcosθ-3有公共点,则直线l的斜率的取值范围为________.
解析:
将ρ2=4ρcosθ-3化为直角坐标方程得(x-2)2+y2=1,如图易得-≤k≤.
答案:
13.已知点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为________,球坐标为________.
解析:
设点M的直角坐标为(x,y,z)
,
柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),
由得
由得即
∴点M的直角坐标为,球坐标为.
答案:
14.在极坐标系中,定点A(1,),点B在直线l:
ρcosθ+ρsinθ=0上运动,当线段AB最短时,点B的极坐标是________.
解析:
将ρcosθ+ρsinθ=0化为直角坐标方程为x+y=0,点A化为直角坐标得A(0,1),如图,过A作AB⊥直线l于B,因为△AOB为等腰直角三角形,又因为|OA|=1,
则|OB|=,θ=,故B点的极坐标是B.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分10分)在极坐标系中,求圆心A为,半径为1的圆的极坐标方程.
解:
在极坐标系中,设点P(ρ,θ)是圆上任意一点,则有
r2=OP2+OA2-2OP·OA·cos,
即1=ρ2+1-2ρcos.
即ρ2-2ρcos=0为所求圆的极坐标方程.
16.(本小题满分12分)极坐标方程ρ=-2cosθ与ρcos=1表示的两个图形的位置关系是什么?
解:
ρ=-2cosθ可变为ρ2=-2ρcosθ,
化为普通方程为x2+y2=-2x,
即(x+1)2+y2=1表示圆,
圆心为(-1,0),半径为1.
将ρcos=1化为普通方程为x-y-2=0,
∵圆心(-1,0)到直线的距离为=>1,
∴直线与圆相离.
17.(本小题满分12分)极坐标系中,求点(m>0)到直线ρcos=2的距离.
解:
将直线极坐标方程化为ρcosθcos+sinθsin=2,化为直角坐标方程为x+y-4=0,
点的直角坐标为,
∴点到直线x+y-4=0的距离为==|m-2|.
18.(本小题满分12分)在极坐标系中,O为极点,已知圆C的圆心为,半径r=1,P在圆C上运动.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴)中,若Q为线段OP的中点,求点Q轨迹的直角坐标方程.
解:
(1)设圆C上任一点坐标为(ρ,θ),
由余弦定理得12=ρ2+22-2·2ρcos,
所以圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos+3=0.
(2)设Q(x,y),则P(2x,2y),
由于圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=1,P在圆C上,
所以(2x-1)2+(2y-)2=1,
则Q的直角坐标方程为2+2=.
19.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解:
(1)由ρ=2知ρ2=4,由坐标变换公式,得x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρcosθcos+sinθsin=2.
由坐标变换公式,得x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,
即ρsin=.
20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解:
(1)∵ρcos=1,
∴ρcosθ·cos+ρsinθ·sin=1.
又∴x+y=1.
即曲线C的直角坐标方程为x+y-2=0.
令y=0,则x=2;令x=0,则y=.
∴M(2,0),N.
∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.
(2)M、N连线的中点P的直角坐标为,
直线OP的极角为θ=.
∴直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
第二讲参数方程A卷
一、(本大题共10小题,每小题6分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知曲线的方程为(t为参数),则下列点中在曲线上的是( )
A.(1,1)B.(2,2)C.(0,0)D.(1,2)
解析:
选C 当t=0时,x=0且y=0,即点(0,0)在曲线上.
2.(北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上
解析:
选B 曲线(θ为参数)的普通方程为
(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.
3.直线l的参数方程为(t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b)之间的距离是( )
A.|t1|B.2|t1|C.|t1|D.|t1|
解析:
选C ∵P1(a+t1,b+t1),P(a,b),
∴|P1P|===|t1|.
4.已知三个方程:
①②
③(都是以t为参数).那么表示同一曲线的方程是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
解析:
选B ①②③的普通方程都是y=x2,但①②中x的取值范围相同,都是x∈R,而③中x的取值范围是-1≤x≤1.
5.参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线
解析:
选B 因为x=t+∈(-∞,-2]∪[2,+∞),
即x≤-2或x≥2,故是两条射线.
6.已知曲线C的参数方程为(θ为参数,π≤θ<2π).已知点M(14,a)在曲线C上,则a=( )
A.-3-5B.-3+5C.-3+D.-3-
解析:
选A ∵(14,a)在曲线C上,
∴
由①得:
cosθ=,又π≤θ<2π.
∴sinθ=-=-,∴tanθ=-.
∴a=5·(-)-3=-3-5.
7.直线(t为参数)上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A.(-4,5)B.(-3,4)
C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)
解析:
选C 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得·|t|=,解得t=±,将t代入原方程,得或所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).
8.若圆的参数方程为(θ为参数),直线的参数方程为(t为参数),则直线与圆的位置关系是( )
A.过圆心B.相交而不过圆心
C.相切D.相离
解析:
选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程,利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较,可知圆心到直线的距离小于半径,并且圆心不在直线上.
9.设F1和F2是双曲线(θ为参数)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,那么△F1PF2的面积是( )
A.1B.C.2D.5
解析:
选A 方程化为普通方程是-y2=1,∴b=1.
由题意,得
∴2|PF1|·|PF2|=4b2.
∴S=|PF1|·|PF2|=b2=1.
10.已知方程x2-ax+b=0的两根是sinθ和cosθ,则点(a,b)的轨迹是( )
A.椭圆弧B.圆弧C.双曲线弧D.抛物线弧
解析:
选D 由题知即
a2-2b=(sinθ+cosθ)2-2sinθ·cosθ=1.
又|θ|≤.∴表示抛物线弧.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上)
11.若直线l:
y=kx与曲线C:
(参数θ∈R)有唯一的公共点,则实数k=________.
解析:
曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=1,由题意知,=1,∴k=±.
答案:
±
12.(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:
(t为参数)过椭圆C:
(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为________.
解析:
由直线l的参数方程(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程:
y=x-a,由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以3-a=0,即a=3.
答案:
3
13.已知点P在直线(t为参数)上,点Q为曲线(θ为参数)上的动点,则|PQ|的最小值等于________.
解析:
直线方程为3x-4y-5=0,由题意,点Q到直线的距离
d==,
∴dmin=,即|PQ|min=.
答案:
14.(天津高考)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为________.
解析:
由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2=2px(p>0),
∴F,|AB|=|AF|=p,可得A(p,p).
易知△AEB∽△FEC,∴==,
故S△ACE=S△ACF=×3p×p×=p2=3,
∴p2=6.
∵p>0,∴p=.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分10分)求曲线C1:
(t为参数)被直线l:
y=x-所截得的线段长.
解:
曲线C1:
得t=,代入①,化简得x2+y2=2x.
又x=≠0,
∴C1的普通方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).
圆C1的圆心到直线l:
y=x-的距离d==.
所求弦长为2=.
16.(本小题满分12分)已知实数x,y满足x2+(y-1)2=1,求t=x+y的最大值.
解:
方程x2+(y-1)2=1表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆.
∴其参数方程为
∴t=x+y=cosθ+sinθ+1
=sin(θ+)+1
∴当sin(θ+)=1时tmax=+1.
17.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:
θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重
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