第五篇专题2 跨阶找点.docx
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第五篇专题2跨阶找点
专题贰太极拳——跨阶找点
若超越函数存在不可求零点,通常我们寻找这个零点,需要用到二分法来卡点:
当a 【例1】(2020•邯郸模拟)已知关于的函数f(x)=ax-a(a≠0) ex (1)当a=-1时,求函数f(x)的极值; (2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围. 【例2】(2020•湖南师大附中)已知函数f(x)=1 x2 (1)讨论函数f(x)的单调性; + alnx(a∈R). (2)若x,x(x )是f(x)的两个零点,证明: 2aln(x -x+e)+1<0. 1212 21a 【例1】讨论函数f(x)=ex-ax的零点个数. 【例2】讨论函数f(x)=lnx-ax的零点个数. 【例3】讨论函数f(x)=lnx-a的零点个数. x 【例4】讨论以下找点问题与之同构母函数的关系. (1)讨论f(x)=e2x-mx的零点个数; (2)讨论f(x)=lnx-m 的零点个数; (3)讨论f(x)=x-a ex 的零点个数; (4)已知f(x)=xex-m的零点个数; (5)已知f(x)=x3lnx-m的零点个数. 【例5】(2017•新课标Ⅰ改编)已知f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(00. 【例6】已知f(x)=lnx-ax+1(a>0),寻找x0,使得f(x0)<0. 【例7】取一个x0使得f(x)=aex-lnx-ax3(a>0). 【例8】判断函数f(x)=lnx-a(x-1)的零点个数. x 【例9】(2018•新课标II)已知函数f(x)=1x3-a(x2+x+1). 3 (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明: f(x)只有一个零点. 【例10】(2020•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ex-a(x+2). (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 【例11】(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明: 当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. 【例12】(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 【例13】(2016•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 【例14】(2021•安徽六校)已知函数f(x)=xex-1kx2-kx(k∈R). 2 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)讨论函数f(x)的零点个数. 【例15】(2021•广东模拟)已知f(x)=1lnx-ax(a≥0). x (1)若函数f(x)在x=e处的切线平行于x轴,求f(x)的单调区间; (2)设函数F(x)= f(x),若F(x)在(0,e)上有两个零点,求实数a的取值范围; x 【例16】(2021•广州模拟)已知函数f(x)=lnx-(a+1)x,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设g(x)=f(x)+x+1,函数g(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 【例17】(2021•浙江月考)已知a>1,函数f(x)=ex-1x2-ax-1,其中e=2.71828⋯为自然对数的底数. 2 (1)证明: 函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点; (2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明: x0 ln4.6≈1.53) 【例18】(2020•清华诊断)已知函数f(x)=(x+1)lnx (1)求y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)已知实数k>2时,求证: 函数y=f(x)的图像与直线 l: y=k(x-1)有3个交点. 1.(2020•九师联考)已知函数 g(x)=ex-ax2-ax(a∈R),h(x)=ex-2x-lnx (1)若 f(x)=h(x)-g(x)①讨论函数f(x)的单调性;②若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的值. (2)已知a>0函数g(x)恰有两个不同的极值点x1,x2证明: x1+x2 2.(2020•湖北联考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=2ax3+2(1-a)x2-8x+8a+7. 3 (1)当a=0时,求y=f(x)+g(x)的单调区间; ⎨ (2)定义min{a,b}=⎧a,a≤b当a<0时,记函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若函数h(x)至少有三个零 ⎩b,a>b 点,求实数a的取值范围. 3.(2016•新课标Ⅲ)设函数f(x)=lnx-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明当x∈(1,+∞)时,1 lnx (3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. 2 4.(2015•北京)设函数f(x)=x 2 - klnx,k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)证明: 若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e)上仅有一个零点. 2 0 5.(2020•全国模拟)已知函数f(x)=⎨4e2 ⎩ ⎪2x x≥0 x<0 ,g(x)=ln(x+a). (1)若f(x),g(x)有公共点M,且在点M处有相同的切线,求点M的坐标; (2)判定函数h(x)=f(x)-g(x)在[0,+∞)上的零点个数. 6.(2020•扬州模拟)已知函数f(x)=a(x-1)(a∈R),g(x)=lnx. x (1)当a=l时,解不等式f(x)-g(x)≤0; (2)设u(x)=xf(x)-g(x). ①当a<0时,若存在m,n∈(0,+∞)(m≠n),使得u(m)+u(n)=0,证明: mn<1; ②当a>0时,讨论u(x)的零点个数. 7.(2020•新乡二模)已知函数f(x)=ax-ex(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)讨论f(x)在(0,+∞)上的零点个数. 8.(2020•河南模拟)已知函数f(x)=x2+(2-a)-alnx(a∈R). (1)当a=2时,求f(x)的图像在x=1处的切线方程; (2)当a>3时,求证: f(x)在[1,+∞)上有唯一零点. 9.(2020•赣州模拟)已知函数f(x)=asinx-lnx(a∈R),其导函数为f'(x). (1)若不等式f'(x)≥1-1在区间(0π上恒成立,求实数a的取值范围; ,] x3 (2)当a=2时,证明: f'(x)在区间(0 π上有且只有两个零点. ,)2 10.(2020•银川模拟)已知函数f(x)=ax2-x-lnx,其中a∈R. (1)若函数f(x)在(0,1)内单调递减,求实数a的取值范围; (2)试讨论函数f(x)的零点个数. 11.(2020•绵阳模拟)已知函数f(x)=ax-(a+2)lnx-2+2,其中a∈R. x (1)当a=4时,求函数f(x)的极值; (2)试讨论函数f(x)在(1,e)上的零点个数. 12.(2020•烟台一模)已知函数f(x)=1+lnx-a(a∈R). x (1)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围,并证明: 对任意的n∈N*, 都有1+1+1+⋯+1>ln(n+1); 23n (2)设g(x)=(x-1)2ex讨论方程f(x)=g(x)实数根的个数. 13.(2020•长春二模)已知函数f(x)=1x3+x2+mx+m. 3 (1)若x1为f(x)的极值点,且f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求2x1+x2的值; (2)求证: 当m>0时,f(x)有唯一的零点. 14.(2020•吴兴模拟)已知f(x)=x-1(lnx)2-klnx-1(k∈R). 22 (1)当k=0时,求证函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当k>1时,讨论函数f(x)的零点的个数. 15.(2020•全国模拟)已知函数f(x)=-x+lnx,f(x)的最大值为a. (1)求a的值; (2)试推断方程|2x(x+alnx)|=2lnx+x是否有实数解? 若有实数解,请求出它的解集. 16.(2020•衡阳一模)若方程 f(x)=x有实数根x0,则称x0为函数 f(x)的一个不动点.已知函数 f(x)=ex-lnx+(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)a∈R. (1)当a≥0时f(x)是否存在不动点? 并证明你的结论; (2)若a=-e,求证f(x)有唯一不动点. 17.(2020•密云一模)已知函数f(x)=ex(ax+1),a∈R. (1)求曲线y=f(x)在点M(0,f(0)),处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)判断函数f(x)的零点个数. 18.(2020•河北模拟)已知函数f(x)=lnx-aex+1(a∈R). (1)当a=1时,讨论f(x)极值点的个数; (2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围. 19.(2020•榆林模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+a,其中a>0. (1)若f(x)≤0,求a的值; (2)讨论函数f(x)的零点个数. 20.(2020•西城一模)设函数f(x)=alnx+x2-(a+2)x,其中a∈R. (1)若曲线y=f(x)在(2,f (2))处切线的倾斜角为π,求a的值; 4 (2)已知导函数f'(x)在区间(1,e)上存在零点,证明: 当时,f(x)>-e2. 21.(2020•顺庆月考)已知函数f(x)=lnx+1a(x-1)2 2 (1)当a=-1时,求f(x)的单调增区间; (2)若a>4,且f(x)在(0,1)上有唯一的零点x0,求证: e-2 22.(2020•天山月考)已知函数f(x)=(ex-e)ex+ax2,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 23.(2020•麒麟月考)函数f(x)=x2-ax-a2lnx. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点T(1,f (1))处的切线的方程; (2)若函数f(x)有零点,求a的取值范围. 24.(2020•临汾模拟)已知函数f(x)=ax4-1x2(a>0),x∈(0,+∞). 2 (1)若函数y=f'(x)在区间A上单调递减,试探究函数y=f(x),x>x0在区间A上的单调性; (2)证明: 方程f(x)=f'(x)在(0,+∞)上有且仅有两解. 【例1】(2020•佛山二模)已知函数f(x)= (1)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围; - sinx(x≥a). (2a<-1 f(x) (0π xf(x)> 1 -x )若,证明: 4 在,)有唯一极值点0,且 2 π-2x0 【例2】(2020•佛山二模)已知函数f(x)=αx3+x,其中a∈R. (1)当a≠0时,求证: 过原点O且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有一条; (2)当x∈[0 π时,不等式f(x)≤tanx恒成立,求实数a的取值范围. ,)2 【例3】(2020•深圳调研)已知函数f(x)=2cos2x+ax2. (1)当a=1时,求函数f(x)的导函数f'(x)在[-ππ上的零点个数; ,] 22 (2)若关于x的不等式2cos(2sinx)+a2x2≤af(x)在(-∞,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. 【例4】(2020•深圳调研)已知函数f(x)=cosx+ax2-a. 4 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (2)当a≥1时,求证: 对任意的x∈[0,2],f(x)≤0 【例5】(2020•开福月考)已知函数f(x)=eaxsinx. (1)若f(x)在[0 π上单调递增,求实数a的取值花围; ,]4 (2)设a≥1,若∀x∈[0 π,恒有f(x)≤bx成立,求b-e2a的最小值. ,]2 【例6】(2019•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f'(x)为f(x)的导数. (1)证明: f'(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. 【例7】(2019•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明: (1)f'(x)在区间(-1 π存在唯一极大值点; ,)2 (2)f(x)有且仅有2个零点. 【例8】(2013•辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e -2x ,g(x)=ax+x 3 2 +1+2xcosx,当x∈[0,1]时, (1)求证: 1-x≤f(x)≤ 1; 1+x (2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围. 【例9】(2008•全国卷Ⅱ)设函数f(x)= (1)求f(x)的单调区间; sinx. 2+cosx (2)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围. 【例10】(2006•湖南)已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足: 0 (1)0 (2)a 13. n+1<6an 【例11】(2020•滨州期末)已知函数f(x)=ex(1+mlnx),其中m>0,f'(x)为f(x)的导函数.设h(x)= 且h(x)≥5恒成立. 2 (1)求m的取值范围; (2)设函数f(x)的零点为x0,函数f'(x)的极小值点为x1,求证: x0>x1.
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