哈尔滨五中高三数学第二轮复习专题讲座4立体几何教师版.docx
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哈尔滨五中高三数学第二轮复习专题讲座4立体几何教师版
哈五中高三数学第二轮复习专题讲座(教师版)
直线、平面、简单几何体
第四课时
题型四求空间角
【典例5】(2006年重庆高考)如图,在正四棱柱
中,
,
为
上使
的点
平面
交
于
,交
的延长线于
,求:
(Ⅰ)异面直线
与
所成角的大小;
(Ⅱ)二面角
的正切值;
分析:
本题以棱柱为载体考查了空间线线角、面面角。
属于考查角的典型题型。
解析:
解法一:
(1)由
为异面直线
所成的角.连接
.因为AE和
分别是平行平面
与平面
的交线,所以
由此可得
再由
∽
得
在
(2)作
于
连接
由三垂线定理知
故
为二面角
即二面角
的平面角
在
中,由
得
从而
解法二:
(1)由
为异面直线
所成的角.因为
和
分别是平行平面
与平面
的交线,所以
由此可得
从而
于是
在
(2)在
知
为钝角,作
交
的延长线于
连接
由三垂线定理知
故
为二面角二面角
的平面角,在
中,由
得
从而
解法三:
(1)以
为原点,
所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
于是
因为
和
分别是平行平面
与平面
的交线,所以
设
由
于是
故
设异面直线AD与
所成的角的大小为
则
从而
.
(2)作
为二面角二面角
的平面角,设
则
,
由
得
由此得
又由
共线得
从而
于是
联立(I)和(II)得
故
由
得
拓展提升:
作异面直线所成角的常用方法有:
(1)平移法:
在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另外一条直线的平行线或利用中位线;
(2)补形法:
把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。
一般来说平移是最常用的,应作为求两异面直线所成角的首选方法;(3)向量法
解与二面角有关问题时要注意:
(1)找出二面角的平面角,主要是用三垂线定理或其逆定理
(2)求二面角,主要是解三角形或是用射影法。
【变式训练】如图,已知
是棱长为
的正方体,
点
在
上,点
在
上,且
.
(1)求证:
四点共面;(4分)
(2)若点
在
上,
,点
在
上,
,垂足为
,求证:
平面
;(4分)
(3)用
表示截面
和侧面
所成的锐二面角的大小,求
.(4分)
本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分12分.
解法一:
(1)如图,在
上取点
,使
,连结
,
,则
,
.
因为
,
,所以四边形
,
都为平行四边形.
从而
,
.
又因为
,所以
,故四边形
是平行四边形,由此推知
,从而
.
因此,
四点共面.
(2)如图,
,又
,所以
,
.
因为
,所以
为平行四边形,从而
.
又
平面
,所以
平面
.
(3)如图,连结
.
因为
,
,所以
平面
,得
.
于是
是所求的二面角的平面角,即
.
因为
,所以
,
.
解法二:
(1)建立如图所示的坐标系,则
,
,
,
所以
,故
,
,
共面.
又它们有公共点
,所以
四点共面.
(2)如图,设
,则
,
而
,由题设得
,得
.
因为
,
,有
,
又
,
,
所以
,
,从而
,
.
故
平面
.
(3)设向量
截面
,于是
,
.
而
,
,得
,
,解得
,
,所以
.
又
平面
,所以
和
的夹角等于
或
(
为锐角).
于是
.
故
.
第五课时
题型六求空间距离
【典例5】(2004福建卷)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2
M、N分别为AB、SB的中点.
(Ⅰ)证明:
AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.
分析:
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力. 若按常规方法解,
(1)需作辅助线再构造一平面,可得线面垂直结论,即可证得线先垂直;
(2)由三垂线定理作出二面角的平面角,再由直角三角形知识即可求解;(3)由等体积转换VB-CMN=VN-CMB即可求解. 但解此题用下面的空间向量知识解更简捷.
解析:
本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.
解法一:
(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∴AC⊥平面SDB,又SB
平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC
平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连结NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=
SD=
=
=
且ED=EB.
在正△ABC中,由平几知识可求得EF=
MB=
在Rt△NEF中,tan∠NFE=
=2
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2
.
(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF=
=
∴S△CMN=
CM·NF=
S△CMB=
BM·CM=2
.
设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴
S△CMN·h=
S△CMB·NE,
∴h=
=
.即点B到平面CMN的距离为
.
解法二:
(Ⅰ)取AC中点O,连结OS、OB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC
∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(2,0,0),B(0,2
0),C(-2,0,0),
S(0,0,2
),M(1,
0),N(0,
).
∴
=(-4,0,0),
=(0,2
2
),
∵
·
=(-4,0,0)·(0,2
2
)=0,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
=(3,
0),
=(-1,0,
).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则取z=1,则x=
y=-
·n=-x+
z=0,
∴n=(
-
1),
又
=(0,0,2
)为平面ABC的一个法向量,
∴cos(n,
)=
=
.
∴二面角N-CM-B的大小为arccos
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得
=(-1,
0),n=(
-
1)为平面CMN的一个法向量,
∴点B到平面CMN的距离d=
=
.
拓展提升:
此题三个小问题层层深入,由
(1)证明线线垂直,
(2)又利用三垂线定理及勾股定理求二面角,(3)由三角形等面积转换求线段,进而由等体积求点到平面距离.这是一道考查立体几何知识较全面
立体几何中的求距离,也是高考中的命题热点,其中点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点 . 求点到平面距离,一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足,把点到平面的距离转化为解三角形求解,需要作辅助线,然后通过逻辑推理论证及计算,(一作,二证,三计算)或用向量法。
【变式训练】
1.(07辽宁)如图,在直三棱柱
中,
,
,
分别为棱
的中点,
为棱
上的点,二面角
为
.
(I)证明:
;
(II)求
的长,并求点
到平面
的距离.
本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维能力.满分12分.
(I)证明:
连结
,
三棱柱
是直三棱柱,
平面
,
为
在平面
内的射影.
中,
,
为
中点,
,
.
,
.
(II)解法一:
过点
作
的平行线,
交
的延长线于
,连结
.
分别为
的中点,
.
又
,
.
.
平面
,
为
在平面
内的射影.
.
为二面角
的平面角,
.
在
中,
,
,
.
作
,垂足为
,
,
,
平面
,
平面
平面
,
平面
.
在
中,
,
,
,即
到平面
的距离为
.
,
平面
,
到平面
的距离与
到平面
的距离相等,为
.
解法二:
过点
作
的平行线,交
的延长线于
,连接
.
分别为
的中点,
.
又
,
.
平面
,
是
在平面
内的射影,
.
为二面角
的平面角,
.
在
中,
,
,
.8分
设
到平面
的距离为
,
.
,
,
,
,
,即
到平面
的距离为
.12分
2.(06福建)如图,四面体ABCD中,O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
(Ⅰ)求证:
AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(Ⅲ)求点E到平面的距离.
本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
方法一:
(1)证明:
连结OC.
∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=
.
而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∴AB
平面BCD.
(Ⅱ)解:
取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中,
是直角△AOC斜边AC上的中线,∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
(Ⅲ)解:
设点E到平面ACD的距离为h.
∴
·S△ACD=
·AO·S△CDE.
在△ACD中,CA=CD=2,AD=
∴S△ACD=
而AO=1,S△CDE=
∴h=
∴点E到平面ACD的距离为
.
方法二:
(Ⅰ)同方法一:
(Ⅱ)解:
以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),
C(0,
0),A(0,0,1),E(
0),
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
(Ⅲ)解:
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则
∴
令y=1,得n=(-
)是平面ACD的一个法向量.
又
∴点E到平面ACD的距离
h=
3.(2006湖北高考)如图,
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- 哈尔滨 中高 数学 二轮 复习 专题讲座 立体几何 教师版