M多元函数微积分常微分方程多项式矩阵线性方程组特征值.docx
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M多元函数微积分常微分方程多项式矩阵线性方程组特征值.docx
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M多元函数微积分常微分方程多项式矩阵线性方程组特征值
>>%多元函数的极限
symsxy
limit(limit((x^2+y^2)/(sin(x)+cos(y)),0),pi)
limit(limit((1-cos(x^2+y^2))/((x^2+y^2)*exp(x^2*y^2)),0),0)
ans=
-pi^2
ans=
0
多元函数的偏导数及全微分:
>>clear
symsxyzdxdydzzxzyzxxzyy
z=atan(x^2*y)
zx=diff(z,x)
zy=diff(z,y)
dz=zx*dx+zy*dy
zxx=diff(zx,x)
zxy=diff(zx,y)
z=
atan(x^2*y)
zx=
2*x*y/(1+x^4*y^2)
zy=
x^2/(1+x^4*y^2)
dz=
2*x*y/(1+x^4*y^2)*dx+x^2/(1+x^4*y^2)*dy
zxx=
2*y/(1+x^4*y^2)-8*x^4*y^3/(1+x^4*y^2)^2
zxy=
2*x/(1+x^4*y^2)-4*x^5*y^2/(1+x^4*y^2)^2
>>zxx=diff(z,x,2)
zxx=
2*y/(1+x^4*y^2)-8*x^4*y^3/(1+x^4*y^2)^2
>>pretty(zxx)
43
yxy
2----------8------------
42422
1+xy(1+xy)
多元函数的极值:
x=fminsearch(ff,x0)
x=fminunc(ff,x0)
>>fun=inline('x
(1)^4+x
(2)^4-4*x
(1)*x
(2)-5');
[x,g]=fminsearch(fun,[0,0])
x=
1.00001.0000
g=
-7.0000
>>[y,h]=fminunc(fun,[0.1,0.1])%可以得到同样的结论
多元函数积分:
符号法:
>>symsxy
s=vpa(int(int(x^y,x,0,1),y,1,2))
s=
.40546510810816438197801311546432
数值法:
>>zz=inline('x.^y','x','y');
s=dblquad(zz,0,1,1,2)
s=
0.4055
内积分限为函数:
先画图:
x=.001:
.01:
3;
y1=1./(2*x);
y2=sqrt(2*x);
plot(x,y1,'o',x,y2,'*',2.5,-.5:
.01:
3)
axis([-.53-.53])
legend('y1=1./(2*x)','y2=sqrt(2*x)','x=2.5')
确定积分限:
>>symsxy
y1=('2*x*y=1');
y2=('y-sqrt(2*x)=0');
[x,y]=solve(y1,y2,x,y)
x=
1/2
y=
1
得到解:
>>symsxy
f=exp(-x^2-y^2);
y1=1/(2*x);
y2=sqrt(2*x);
jfy=int(f,y,y1,y2);
jfx=int(jfy,x,.5,2.5);
jf2=vpa(jfx)
jf2=
.12412798808725833867150108282287
常微分方程求解:
dsolve('eqn','var')%eqn是常微分方程,var是变量,默认是t
dsolve('eqn1','eqn2',...'eqnm','var')
通解:
>>s=dsolve('Dx=y','Dy=-x'),y=s.y,x=s.x
s=
x:
[1x1sym]
y:
[1x1sym]
y=
C1*sin(t)+C2*cos(t)
x=
-C1*cos(t)+C2*sin(t)
特解:
dsolve('eqn','condition1',...'conditionn','var')
>>y=dsolve('D2y=cos(2*x)','y(0)=1','Dy(0)=0','x')
simplify(y)
y=
-1/4*cos(2*x)+5/4
ans=
-1/4*cos(2*x)+5/4
解析解:
>>dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')
ans=
(2*x+1)^(1/2)
数值解:
>>clear
x=0:
.1:
4;
y=sqrt(1+2*x);
odefun=inline('s-2*t/s','t','s');
[t,s]=ode45(odefun,[0,4],1);
plot(x,y,'o-',t,s,'*-')
高阶微分方程式必须等价变化为一阶微分方程组:
D2x-1000(1-x^2)*Dx+x=0,x(0)=0,Dx(0)=1,(默认自变量为t)
令:
y1=x,y2=Dy1,则原微分方程组可化为:
Dy1=y2,
Dy2=1000(1-y1^2)*y2-y1,
y1(0)=0,y2(0)=1.
建立程序:
functiondy=weifen1(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy
(1)=y
(2);
dy
(2)=1000*(1-y
(1)^2)*y
(2)-y
(1);
%t取值:
[03000],初值:
[01]
>>[T,Y]=ode15s('weifen1',[03000],[01]);plot(T,Y(:
1),'go-')
求刚性微分方程:
Dy1=-.01*y1-99.99*y2,
Dy2=-100*y2,
y1(0)=0,y2(0)=1.
functionf=weifen2(t,y)
f=[-.01*y
(1)-99.99*y
(2),-100*y
(2)]';
%t取值:
[0400],初值:
[2,1]
>>[t,y]=ode15s('weifen2',[0400],[21]);plot(t,y,'m*-')
多项式的表达式与根的求解:
poly2sym(p)%由多项式系数转为多项式函数
polyval(p,a)%求p(a)
roots(p)%求所有复数根
poly(r)%由根向量r求多项式
>>p=[10-23];
px=poly2sym(p)
px=
x^3-2*x+3
>>y=polyval(p,2)
y=
7
>>p=[10-21];
q=[1023];
x1=roots(p)
x2=roots(q)
x1=
-1.6180
1.0000
0.6180
x2=
0.5000+1.6583i
0.5000-1.6583i
-1.0000
多项式的四则运算:
symsx
conv(p1,p2)%求p1(x)与p2(x)的乘积
[q,r]=deconv(p1,p2)%q(x)=p1(x)/p2(x)+r(x)
求两多项式的和:
>>clear
p1=[10-21];
p2=[-1010-23];
m=length(p1);
n=length(p2);
t=max(m,n);
p1=[zeros(1,t-m),p1];
p2=[zeros(1,t-n),p2];
p=p1+p2
p=
-1020-44
>>%求两多项式的积
p1=[10-21];
p2=[-1010-23];
p3=conv(p1,p2)
p=poly2sym(p3)
p3=
-103-1-444-83
p=
-x^8+3*x^6-x^5-4*x^4+4*x^3+4*x^2-8*x+3
求多项式的除:
>>clear
p=[-103-1-444-83];
p1=[10-21];
p2=[10-23];
[q1,r1]=deconv(p,p1)
[q2,r2]=deconv(p,p2)
poly2sym(q1)
poly2sym(r1)
poly2sym(q2)
poly2sym(r2)
q1=
-1010-23
r1=
000000000
q2=
-1012-25
r2=
000000-68-12
ans=
-x^5+x^3-2*x+3
ans=
0
ans=
-x^5+x^3+2*x^2-2*x+5
ans=
-6*x^2+8*x-12
多项式的合并与分解:
symsx
collect(f)%合并同类项
expand(f)%展开
horner(f)%嵌套分解
factor(f)%因式分解
>>symsxt
f1=(x-1)*(x-2)*(x-3);
f2=(1+x)*t+t*x;
p1=collect(f1)
p2=collect(f2)
p1=
-6+x^3-6*x^2+11*x
p2=
2*t*x+t
>>clear
symsx
f1=-6+x^3-6*x^2+11*x;
f2=x^5-2*x^2+1;
p1=horner(f1)
p2=horner(f2)
p1=
-6+(11+(-6+x)*x)*x
p2=
1+(-2+x^3)*x^2
>>clear
symsx
f1=-6+x^3-6*x^2+11*x;
f2=x^5-2*x^2+1;
p1=factor(f1)
p2=factor(f2)
p1=
(x-1)*(x-2)*(x-3)
p2=
(x-1)*(x^4+x^3+x^2-x-1)
有理分式的分解与合并:
symsx
[a,b,c]=residue(p,q)%将p(x)/q(x)分解为最简分式之和
[p,q]=residue(a,b,r)%将简单分式之和合并为有理分式
>>clear
p=[100000];
q=[1-1-2];
[a,b,r]=residue(p,q)%a表示分子
a=
10.6667
0.3333
b=
2
-1
r=
1135
即:
x^5/(x^2-x-2)=10.6667/(x-2)+0.3333/(x+1)+x^2+x^3+3*x+5
>>formatrat
a
a=
32/3
1/3
将有理式分解为最简分式之和:
>>clear
p=[101];
q=[1-611-6];
[a,b,r]=residue(p,q)
a=
5.0000
-5.0000
1.0000
b=
3.0000
2.0000
1.0000
r=
[]
将有理式
分解为最简式之和:
>>p=[1];
q=[1000-1];
[a,b,r]=residue(p,q)
a=
0.2500
0.0000+0.2500i
0.0000-0.2500i
-0.2500
b=
1.0000
-0.0000+1.0000i
-0.0000-1.0000i
-1.0000
r=
[]
将简单分式合并:
>>clear
a=[32/31/3];
b=[2,-1];
r=[1135];
[p,q]=residue(a,b,r)
p=
100000
q=
1-1-2
计算行列式:
>>D=[2-3-12;1-53-4;021-1;-513-3];det(D)
ans=
-75
>>symsab
A=[a^2a*bb^2;2*aa+b2*b;111];det(A)
ans=
a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3
克莱姆法则求解线性方程组:
>>D=[111;21-1;1-1-1];%系数矩阵
D1=[211;-11-1;0-1-1];
D2=[121;2-1-1;10-1];
D3=[112;21-1;1-10];
x1=det(D1)/det(D);
x2=det(D2)/det(D);
x3=det(D3)/det(D);
x1,x2,x3
x1=
1
x2=
-1
x3=
2
矩阵的生成:
zeros(m,n)
ones(m,n)
rand(m,n)%0到1之间的均匀分布
randn(m,n)%服从标准正态分布
magic(n)
diag(M)%取上三角矩阵
triu(M)
tril(M)
length(M)
size(M)
eye(n)
hilb(n)%病态矩阵a(i,j)=1/(i+j-1)
pascal(n)
>>A=magic(3)
A=
816
357
492
>>A1=diag(A),A2=diag(A1)
A1=
8
5
2
A2=
800
050
002
>>triu(A),triu(A,1),triu(A,-1),
ans=
816
057
002
ans=
016
007
000
ans=
816
357
092
>>A=hilb(4),A1=pascal(4)
A=
1.00000.50000.33330.2500
0.50000.33330.25000.2000
0.33330.25000.20000.1667
0.25000.20000.16670.1429
A1=
1111
1234
13610
141020
矩阵的取块和变换:
A(i,:
)
A(:
j)
A(:
)%排成一列
A(i,j)
A(i:
j,:
)
A(:
i:
j)
A(i:
j,k:
l)
B=reshape(A,m,n)
B=rot90(A)%逆时针旋转90度
B=fliplr(A)
B=flipud(A)
A(a,:
)=[]%空矩阵的一部分,会改变维数
A(A>a)=b%把大于a之处重新赋值
B=sort(A)%把每一列的元素从小到大排列
>>B=A1(1:
2,1:
2),B1=B(:
)
B=
11
12
B1=
1
1
1
2
>>A=hilb(3),B=sort(A)
A=
1.00000.50000.3333
0.50000.33330.2500
0.33330.25000.2000
B=
0.33330.25000.2000
0.50000.33330.2500
1.00000.50000.3333
矩阵的基本运算:
A+(-)B%同维
A+k%所有元素都加k
A*B%矩阵的乘法
A*k,k*A%所有元素都乘以k
A.*B%同维矩阵对应元素相乘
A./B
A/B
A\B
A.'%A的转置
A'%A的共轭转置,在实数域内就是转置
A^(-1)或inv(A)%矩阵的逆
A^k
A.^k
A^(1/2)或sqrtm(A)
sqrt(A)%矩阵中的元素开方
>>%求解矩阵方程:
X*A=B,A*Y=B
A=[12;34];
B=[12;-10];
X=B*inv(A)
X1=B/A
Y=inv(A)*B
Y1=A\B
X=
1.00000
2.0000-1.0000
X1=
10
2-1
Y=
-3.0000-4.0000
2.00003.0000
Y1=
-3.0000-4.0000
2.00003.0000
>>%求矩阵的范数
A=[12;34];
A1=norm(A,1)
A2=norm(A,2)
A3=norm(A,inf)
A1=
6
A2=
5.4650
A3=
7
>>%求矩阵的条件数
A=[12;34];
A1=cond(A)
A1=
14.9330
%求解线性方程组
rank(A)%秩
rref(A)%行的最简形
null(A)%系数矩阵为A的基础解系
null(A,'r')%有理数形式的基础解系
>>A=magic(4)
zhi=rank(A)
zjh=rref(A)
jcjx=null(A)
A=
162313
511108
97612
414151
zhi=
3
zjh=
1001
0103
001-3
0000
jcjx=
-0.2236
-0.6708
0.6708
0.2236
>>A=magic(4);B=[1234]';Az=[A,B],a1=rank(A),a2=rank(Az)
Az=
1623131
5111082
976123
4141514
a1=
3
a2=
4
当系数矩阵的秩不等于增光矩阵的秩时,原方程组无解,但可以求出最小二乘解(X=A/b)(即A*X-b取最小值时的解)
当系数矩阵的秩等于增光矩阵的秩,且秩等于方程组中方程的个数时,原方程组有唯一解,用X=A/b可求出
当系数矩阵的秩等于增光矩阵的秩,且秩小于方程组中方程的个数时,原方程组有无穷多解,则X=A/b求得的是一个特解
jcjx=null(A)可求出基础解系,则原方程的通解为:
xt=x+k1*jcjx,k1为任意实数
>>X=A\B
Warning:
Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.
Resultsmaybeinaccurate.RCOND=4.625398e-018.
X=
1.0e+015*
1.5897
4.7691
-4.7691
-1.5897
一般情况下:
设解得X=[a,b]',则可用
对原数据进行拟合
特征值和特征多项式:
trace(A)%迹
poly(A)%矩阵A特征多项式的系数
[a,b]=eig(A)%A的特征列向量a,对角矩阵b为特征值
B=orth(A)%正交化空间
>>A=[12;34];a=trace(A),b=poly(A),c=roots(b)
a=
5
b=
1.0000-5.0000-2.0000
c=
5.3723
-0.3723
>>A
A=
12
34
>>[c,d]=eig(A)
c=
-0.8246-0.4160
0.5658-0.9094
d=
-0.37230
05.3723
>>orth(A)
ans=
-0.4046-0.9145
-0.91450.4046
>>%求一个正交矩阵p,使得inv(P)*A*p=B,B为对角矩阵
A=[0-11;-101;110];
[a,b]=eig(A)
p=orth(a)
B=inv(p)*A*p%验证
p*inv(p)%验证
a=
-0.5774-0.52160.6282
-0.57740.80480.1376
0.57740.28320.7658
b=
-2.000000
01.00000
001.0000
p=
-0.57740.79510.1856
-0.5774-0.2368-0.7814
0.57740.5583-0.5958
B=
-2.00000.0000-0.0000
0.00001.00000.0000
-0.0000-0.00001.0000
ans=
1.0000-0.0000-0.0000
-0.00001.00000.0000
0.00000.00001.0000
若不要求正交变换,则只要a可逆,则a即为所求:
>>inv(a)
ans=
-0.5774-0.57740.5774
-0.52160.80480.2832
0.62820.13760.7658
>>inv(a)*A*a
ans=
-2.0000-0.00000.0000
0.00001.00000.0000
0.0000-0.00001.0000
求一个正交变换x=P*y,把二次型
化为标准形
>>%二次型矩阵为:
A=[011-1;10-11;1-101;-1110]
[a,b]=eig(A)
P=orth(a)
B=P'*A*P
P'*P
A=
011-1
10-11
1-101
-1110
a=
-0.5000-0.07880.2887-0.8127
0.50000.6644-0.2887-0.4746
0.5000-0.7432-0.2887-0.3381
-0.50000-0.86600
b=
-3.0000000
01.000000
001.00000
0001.0000
P=
-0.50000.2887-0.8127-0.0788
0.5000-0.2887-0.47460.6644
0.5000-0.2887-0.3381-0.7432
-0.5000-0.8660-0.0000-0.0000
B=
-3.00000.0000-0.0000-0.0000
0.00001.00000.00000.0000
-0.00000.00001.00000.0000
-0.00000.00000.00001.0000
ans=
1.0000-0.00000.00000.0000
-0.00001.00000.00000.0000
0.00000.00001.00000.0000
0.00000.00000.00001.0000
即得标准形为:
将P的列向量移动可相应的交换标准型的系数
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- 多元 函数 微积分 微分方程 多项式 矩阵 线性方程组 特征值