25简单的幂函数教案 秋学期高中数学北师大版必修一.docx

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25简单的幂函数教案秋学期高中数学北师大版必修一

简单的幂函数

（教师用书独具）

●三维目标

1．知识与技能

（1）了解简单幂函数的概念．

（2）会用定义证明简单幂函数的奇偶性．

（3）了解利用奇偶性画函数图像及研究函数的方法．

2．过程与方法

类比研究一般函数的方法研究幂函数的图像和方法．

3．情感、态度与价值观

在幂函数的研究过程中让学生体会数学的科学价值和应用价值，引导学生发现数学的对称美，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．

●重点难点

重点：

幂函数的概念及函数奇偶性的概念．

难点：

简单幂函数的图像和性质，函数奇偶性的判断．

幂函数的概念和性质的突破方法是通过教材中的实例，概括它们解析式的共性来获得幂函数的定义，再根据它们的图像概括出性质；函数的奇偶性的突破方法是让学生观察图像，归纳、猜想概括得出定义，从而也掌握了函数奇偶性的几何意义．

（教师用书独具）

●教学建议

本节课可以采用直观式教学，启发学生，放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质及函数奇偶性的初步认识，让学生体会系统研究函数的方法．整个教学过程的绝大部分时间都留给学生，让学生动脑动手．通过对同类旧知识的回忆，引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律．可以提高学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的归纳演绎能力和创新思维习惯．

●教学流程

通过几何画板演示部分幂函数的图像，加深对定义的感性认识，为顺利引出幂函数定义作铺垫⇒利用图像，数形结合，理解幂函数的图像和性质⇒通过例1及其变式训练，加深对幂函数的概念及性质的理解⇒通过f（x）＝x3的图像关于原点对称并且对任意的xf（－x）＝（－x）3＝－x3即f（－x）＝－f（x），完成对定义的理解

⇒通过例2及其变式训练，加深定义及证明步骤的理解和掌握⇒通过例3及其变式训练，加深对函数奇偶性的理解和应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正

（见学生用书第29页）

课标解读

1.了解幂函数的概念．

2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x

的图像，了解它们的变化情况．（难点、易混点）

3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．（重点）

幂函数的概念与图像

【问题导思】　

我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：

（1）如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y；

（2）如果正方形场地面积为x，其边长为y.

1．在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？

【提示】　y＝x3.

2．在第二个例子中，y关于x的函数关系式怎样？

【提示】　y＝x2.

3．这两个问题中的函数关系式与y＝x，y＝x－1，y＝x2有什么共同特点．

【提示】　从形式上看，它们只是指数不同．

1．幂函数的定义

如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

2．简单的幂函数的图像和性质

函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x

，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．

从图中可以观察得到：

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

定义

域

R

R

R

[0，＋∞）

（－∞，0）∪（0，＋∞）

值域

R

[0，＋∞）

R

[0，＋∞）

（－∞，0）∪（0，＋∞）

单调

性

增函数

在（－∞，0]

上是减函数；

在[0，＋∞）

上是增函数

增函

数

增函

数

在（－∞，0）和（0，＋∞）上均为减函数

定点

函数图像均过点（1,1）

函数的奇偶性

【问题导思】　

画出函数y＝x，y＝x2，y＝

的图像．

1．它们的图像具有怎样的对称性？

【提示】　y＝x，y＝

的图像关于原点对称，y＝x2关于y轴对称．

2．在函数y＝x2中，x取－1时和取1时的函数值相同吗？

在函数y＝

中呢？

【提示】　在函数y＝x2中相同，在y＝

中互为相反数．

1．奇函数的定义

一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f（x）中，f（x）和f（－x）的绝对值相等，符号相反，即f（－x）＝－f（x）．反之，满足f（－x）＝－f（x）的函数y＝f（x）一定是奇函数．

2．偶函数的定义

一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数f（x）中，f（x）和f（－x）的值相等，即f（x）＝f（－x）；反之，满足f（x）＝f（－x）的函数y＝f（x）一定是偶函数．

3．奇偶性

当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性.

（见学生用书第30页）

幂函数的概念

　下列函数是幂函数的为（　　）

①y＝

；②y＝2x2；③y＝x2＋x；④y＝（x－2）3；⑤y＝1.

A．①⑤　　　B．②　　　C．①　　　D．①②④

【思路探究】　紧扣幂函数的概念，y＝xα的形式是解题的关键．

【自主解答】　函数y＝

可写成y＝x－2的形式，是幂函数；y＝2x2的系数不是1，y＝x2＋x等式右边是两个幂和的形式，y＝（x－2）3底数不是自变量x，y＝1与y＝x0（x≠0）不是同一函数，所以它们都不是幂函数．

【答案】　C

若一个函数是幂函数，则该函数一定是形如y＝xα（α为常数）的形式，即函数解析式的右边是一个幂的形式，其中指数为常数，底数为自变量，系数为1，这是我们解决某些问题的一个隐性条件．

若函数y＝（a2－3a－3）x2为幂函数，则a的值为________．

【解析】　根据幂函数的定义，若函数y＝（a2－3a－3）·x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.

【答案】　－1或4

判断函数的奇偶性

　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3＋2x；

（2）f（x）＝x2－|x|＋1；

（3）f（x）＝

；

（4）f（x）＝0.

【思路探究】　首先判断定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看是否满足f（－x）＝±f（x）即可．

【自主解答】　

（1）函数的定义域是R，

又f（－x）＝（－x）3＋2（－x）＝－（x3＋2x）

＝－f（x）．

所以f（x）是奇函数．

（2）f（x）的定义域是R，

且f（－x）＝（－x）2－|－x|＋1

＝x2－|x|＋1＝f（x），

所以f（x）是偶函数．

（3）由于x－1≠0，所以x≠1，即函数的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，

所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（4）由于f（x）＝0的定义域为R，且f（－x）＝f（x）＝－f（x），所以f（x）既是奇函数，又是偶函数．

1．判断函数的奇偶性时，首先考虑函数的定义域，并判断其是否关于原点对称．

2．若定义域不关于原点对称，则函数f（x）不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f（－x）与f（x）的关系．

　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x2，x∈（－1,2）；

（2）f（x）＝x3＋x，x∈[0,1]；

（3）f（x）＝

，x∈（－1,1）．

【解】　

（1）由于定义域不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）因为定义域不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（3）由于x∈（－1,1），且关于原点对称，所以f（x）＝x，

且f（－x）＝－x＝－f（x），

因此，f（x）为奇函数.

函数奇偶性的应用

图2－5－1

　已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2－2x.

（1）求出函数f（x）在R上的解析式；

（2）在图2－5－1中画出函数f（x）的图像．

【思路点拨】　根据题中条件，当x>0时的解析式已知，需求x≤0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像．

【自主解答】　

（1）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0；

②当x<0时，－x>0，∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，

综上：

f（x）＝

（2）图像如图：

1．奇、偶函数的图像有以下特征：

若f（x）为奇函数，则它的图像关于原点对称，反之也成立；若f（x）为偶函数，则它的图像关于y轴对称，反之也成立．这个结论提供了结合图像处理函数奇偶性问题的依据，也是数形结合思想的体现．

2．已知函数f（x）在区间[a，b]上的表达式，求函数f（x）在区间[－b，－a]上的表达式的一般方法：

设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b；根据已知条件f（x）在区间[a，b]上的表达式可求得f（－x）的表达式；然后根据函数f（x）的奇偶性来实现函数的解析式在f（x）与f（－x）之间的相互转化（若函数f（x）为奇函数，则f（x）＝－f（－x）；若f（x）为偶函数，则f（x）＝f（－x））．特别值得一提的是：

设－b≤x≤－a，转化为a≤－x≤b是解决问题的关键．

（1）已知函数是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）＝－x＋1，则f（x）的解析式为________．

（2）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是减函数，且f

（2）＝0，则使得f（x）>0的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，2）　　　　　　B．（2，＋∞）

C．（－2,2）D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

【解析】　设x<0，则－x>0.

∵当x≥0时，f（x）＝－x＋1，∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1.

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（－x）＝f（x）．

∴当x<0时，f（x）＝x＋1.∴f（x）的解析式为f（x）＝

（2）由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以它的图像关于y轴对称．又它在（－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在（0，＋∞）上为增函数．根据这些特征及f

（2）＝0，可作出它的图像（如下图）．

观察图像可得，使f（x）>0成立的x的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．

【答案】　

（1）f（x）＝

（2）D

（见学生用书第31页）

判断函数的奇偶性时忽视定义域致误

　判断f（x）＝（1－x）

的奇偶性．

【错解】　易知1－x>0，

∴f（x）＝

＝

，

显然满足f（－x）＝f（x），

∴f（x）是偶函数．

【错因分析】　忽视了定义域对函数奇偶性的影响，函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称

【防范措施】　判断函数的奇偶性，要遵照定义域优先的原则，先分析定义域是否关于原点对称，再根据奇偶性的特点来下结论．

【正解】　由

≥0，得－1≤x<1，

∴f（x）的定义域是[－1,1），其不关于原点对称，

故f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

1．判断一个函数是否是幂函数应严格按其定义判断．

2．幂函数性质可以通过其图像研究，只需掌握α＝1,2,3，

，－1这几种情况即可，其它的不做研究．

3．判断函数的奇偶性的方法：

（1）定义法；

（2）图像法：

若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，函数是偶函数.

（见学生用书第31页）

1．下列函数中是幂函数的是（　　）

①y＝axm（a，m为非零常数，且a≠1）；②y＝x

＋x2；③y＝x9；④y＝（x－1）3

A．①③④　　B．③　　C．③④　　D．全不是

【解析】　由幂函数的定义知③为幂函数．

【答案】　B

2．下列函数为奇函数的是（　　）

A．y＝|x|B．y＝3－x

C．y＝

D．y＝－x2＋4

【解析】　对A、D，可验证为偶函数，B为非奇非偶函数．

【答案】　C

3．（2013·宁阳高一检测）f（x）＝ax2＋1在[3－a,5]上是偶函数，则a＝________.

【解析】　∵f（x）是偶函数，∴3－a＝－5，a＝8.

【答案】　8

4．若f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝x（1－x），求函数f（x）的解析式．

【解】　∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）．

当x>0时，－x<0，

∴f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）．

当x＝0时，f（－0）＝－f（0），

即f（0）＝－f（0），∴f（0）＝0.

∴函数f（x）的解析式为

f（x）＝

（见学生用书第99页）

一、选择题

1．下列函数在（－∞，0）上为减函数的是（　　）

A．y＝x

　　B．y＝x2　　C．y＝x3　　D．y＝x－2

【解析】　对于函数y＝x

和y＝x－2的单调性我们不太熟悉，但对于y＝x2的图像和性质我们记忆深刻，知道y＝x2在（－∞，0）上为减函数．故选B.

【答案】　B

2．（2013·郑州高一检测）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）＝（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

【解析】　∵f（x）是奇函数，

∴f

（1）＝－f（－1）＝－3.

【答案】　A

3．已知偶函数y＝f（x）在[0,4]上是增函数，则f（－3）与f（π）的大小关系是（　　）

A．f（－3）>f（π）B．f（－3）

C．f（－3）≥f（π）D．f（－3）≤f（π）

【解析】　∵函数为偶函数，∴f（－3）＝f（3）．

又∵f（x）在[0,4]上为增函数，

∴f（3）

【答案】　B

4．若函数f（x）＝

为奇函数，则a＝（　　）

A.

B.

C.

D．1

【解析】　由已知得f（x）＝

定义域关于原点对称，其定义域为：

{x|x≠－

且x≠a}，知a＝

，故选A.

【答案】　A

图2－5－2

5．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是减少的，且f（－2）＝0，如图2－5－2所示，则使得f（x）<0的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，2）

B．（2，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－2,2）

【解析】　由图可得在（－∞，0）上，f（x）<0的解集为（－2,0]．因为f（x）为偶函数，所以x的取值范围为（－2,2）．

【答案】　D

二、填空题

6．幂函数f（x）的图像过点（2,4），则f（x）＝________.

【解析】　将点（2,4）代入y＝xα得，4＝2α，即22＝2α，

∴α＝2.

因此，f（x）＝x2.

【答案】　f（x）＝x2

7．（2012·重庆高考）若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝________.

【解析】　由f（x）＝（x＋a）（x－4）得f（x）＝x2＋（a－4）x－4a，

若f（x）为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.

【答案】　4

8．已知定义在R上的偶函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x3＋1，则f（－2）·f（3）的值为________．

【解析】　∵x>0，f（x）＝－x3＋1，

∴f（3）＝－33＋1＝－26，

f（－2）＝f

（2）＝－23＋1＝－7，

∴f（－2）·f（3）＝（－26）×（－7）＝182.

【答案】　182

三、解答题

9．已知幂函数f（x）＝（t3－t＋1）x

（1－4t－t2）（t∈Z）是偶函数，且在（0，＋∞）上为增函数，求函数的解析式．

【解】　∵f（x）是幂函数，∴t3－t＋1＝1，

解得t＝－1或t＝0或t＝1.

∴当t＝0时，f（x）＝x

是非奇非偶函数，不满足条件；

当t＝1时，f（x）＝x－2是偶函数，但在（0，＋∞）上为减函数，不满足条件；

当t＝－1时，f（x）＝x2，满足题设．

综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为f（x）＝x2.

10．已知f（x）是奇函数，且在区间（0，＋∞）上是增函数，试证明f（x）在（－∞，0）上也是增函数．

【证明】　设x1－x2>0.

∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴f（－x1）>f（－x2），

又∵f（x）是奇函数，

∴f（－x1）＝－f（x1），f（－x2）＝－f（x2）．

∴－f（x1）>－f（x2），∴f（x1）

所以函数f（x）在区间（－∞，0）上是增函数．

11．（2013·黄石高一检测）已知f（x）是R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝－x2＋2x＋2.

（1）求f（x）的解析式．

（2）画出f（x）的图像，并指出f（x）的单调区间．

【解】　

（1）设x<0，则－x>0，所以

f（－x）＝－（－x）2－2x＋2＝－x2－2x＋2，

又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝x2＋2x－2，

又f（0）＝0，∴f（x）＝

（2）先画出y＝f（x）（x>0）的图像，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x<0）的图像，其图像如图所示．

由图可知，其增区间为[－1,0）和（0,1]，

减区间为（－∞，－1]和[1，＋∞）.

（教师用书独具）

1

　图中的曲线是四个幂函数在第一象限的图像，记曲线C1，C2，C3，C4对应幂函数的幂指数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d的大小顺序正确的一组是（　　）

A．a>b>c>d　　　　　B．c>d>a>b

C．a>b>d>cD．c>d>b>a

【思路探究】　利用幂函数在第一象限内的图像特征进行判断．

【自主解答】　因为在第一象限内，曲线C1，C2的函数值随x的增大而增大，所以a>0，b>0；又因为C1的图像是下凸的，C2的图像是上凸的，所以a>1,0b>c>d.

【答案】　A

　幂函数的图像和性质可类比五个常见幂函数的图像和性质记忆：

（1）当α<0时，函数图像与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图像；

（2）当0<α<1时，函数图像向x轴弯曲，类似于y＝x

的图像；

（3）当α>1时，函数图像向y轴弯曲，类似于y＝x3的图像，而且逆时针方向幂指数在增大．再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图像及性质．

1

　已知幂函数y＝（m2－m－1）xm2－2m－3，当x∈（0，＋∞）时为减函数，则m的值为（　　）

A．m＝2　　　　　　　B．m＝－1

C．m＝－1，或m＝2D．m≠

【解析】　因为函数y＝（m2－m－1）xm2－2m－3是幂函数，所以，根据幂函数的定义可得，m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.又因为当x∈（0，＋∞）时幂函数为减函数，所以，根据幂函数的性质可知，m2－2m－3<0，把m＝－1,2依次代入不等式，经检验m＝－1不符合不等式，故只有m＝2.此时幂函数解析式为y＝x－3.

【答案】　A

2

　设定义在[－2,2]上的奇函数f（x）在区间[0,2]上单调递减，若f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围．

【思路探究】　f（m）＋f（m－1）＞0→f（1－m）＜f（m）→列不等式组→解得m的范围

【自主解答】　由f（m）＋f（m－1）＞0，

得f（m）＞－f（m－1），即f（1－m）＜f（m）．

又∵f（x）在[0,2]上为减函数且f（x）在[－2,2]上为奇函数，

∴f（x）在[－2,2]上为减函数，

∴

即

解得－1≤m＜

.

即m的取值范围是{m|－1≤m<

}．

1．解答本题要熟练掌握函数奇偶性和单调性的性质，奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．

2．解抽象函数的不等式，要充分利用条件“脱去f”转化为整式不等式来求解．

2

　已知函数f（x）的定义域为（－1,1），且满足下列条件：

①f（x）是奇函数，②f（x）在[0,1）上单调递减，

③f（1－a）＋f（2－a）<0，求实数a的取值范围．

【解】　∵f（x）是奇函数且在[0,1）上单调递减，

∴f（x）在（－1,1）上是减函数，

又∵f（x）是奇函数，∴－f（2－a）＝f（a－2），

∴f（1－a）＋f（2－a）<0⇒f（1－a）

又∵f（x）在（－1,1）上是减函数，

∴

解得1

.

∴实数a的取值范围是{a|1

}.