高中数学人教A版必修一131单调性与最大小值教案1.docx
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高中数学人教A版必修一131单调性与最大小值教案1
示范教案1.3.1单调性与最大(小)值第1课时
1.3.1单调性与最大(小)值
整体设计
教学分析
在研究函数的性质时,单调性和最值是一个重要内容.实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本小节内容,正是初中有关内容的深化和提高:
给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性和最值的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力.
3.通过实例,使学生体会、理解到函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识.
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:
函数的单调性和最值.
教学难点:
增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案
(一)
教学过程
第1课时函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(HermannEbbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8~9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据,可以看出:
记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?
描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?
你能用数学符号来刻画吗?
通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(可以借助信息技术画图象)
图1-3-1-1
学生:
先思考或讨论,回答:
记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上,中国首次参加就获15枚金牌;在第24届奥运会上,中国获5枚金牌;在第25届奥运会上,中国获16枚金牌;在第26届奥运会上,中国获16枚金牌;在第27届奥运会上,中国获28枚金牌;在第28届奥运会上,中国获32枚金牌.按这个变化趋势,2008年,在北京举行的第29届奥运会上,请你预测一下中国能获得多少枚金牌?
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师:
提示、点拨,并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x,二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?
这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?
③如何理解图象是上升的?
④对于二次函数y=x2,列出x,y的对应值表
(1).完成表
(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)=x2
表
(1)
⑤在数学上规定:
函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?
⑥增函数的定义中,把“当x1
⑦增函数的定义中,“当x1 函数的图象有什么特点? ⑧增函数的几何意义是什么? ⑨类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义? ⑩函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势? 讨论结果: ①函数y=x的图象,从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的. ②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义: 横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小. ③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大. ④在区间(0,+∞)上,任取x1、x2,且x1 ⑤一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 ⑥可以.增函数的定义: 由于当x1 步调一致增函数. ⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的. ⑧从左向右看,图象是上升的. ⑨一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 步调不一致减函数.减函数的几何意义: 从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势: 函数值随着自变量的增大而减小.总结: 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间. ⑩函数y=f(x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义: 从左向右看,图象是上升(下降)的. 应用示例 思路1 例1如图1-3-1-3是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 图1-3-1-3 活动: 教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数. 解: 函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. 点评: 本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性. 图象法求函数单调区间的步骤是第一步: 画函数的图象;第二步: 观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 变式训练 课本P32练习1、3. 例2物理学中的玻意耳定律p= (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明. 活动: 学生先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有证明思路时,教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题,并标出关键的地方,以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时,压强p将增大是指函数p= 是减函数;刻画体积V减少时,压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时,常用单调性的定义来解决. 解: 利用函数单调性的定义只要证明函数p= 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评: 本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性. 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步: 在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1 比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步: 再归纳结论.定义法的步骤可以总结为: 一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为: “去比赛”. 变式训练 课本P32练习4. 思路2 例1 (1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象; (2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数; (3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围. 图1-3-1-4 解: (1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示. (2)设x1、x2∈(-∞,1],且x1 f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3) =(x22-x12)+2(x1-x2) =(x1-x2)(2-x1-x2). ∵x1、x2∈(-∞,1],且x1 ∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1) ∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数. (3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1]. 点评: 本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析;二次函数在对称轴两侧的单调性相反;二次函数在区间D上是单调函数,那么二次函数的对称轴不在区间D内. 判断函数单调性时,通常先画出其图象,由图象观察出单调区间,最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲: 第一步,画出函数的图象,观察图象,描述函数值的变化趋势; 第二步,结合图象来发现函数的单调区间; 第三步,用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论. 函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题,会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切,是高考命题的热点题型. 变式训练 已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x). (1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数; (2)证明函数y=F(x)的图象关于点( 0)成中心对称图形. 活动: (1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数,用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写; (2)证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点( 0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可. 解: (1)设x1、x2∈R,且x1 F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)] =[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]. 又∵函数f(x)是R上的增函数,x1 ∴f(x1) ∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0. ∴F(x1) (2)设点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点,则点M(x0,F(x0))关于点( 0)的对称点M′(a-x0,-F(x0)). 又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)) =f(a-x0)-f(x0) =-[f(x0)-f(a-x0)] =-F(x0), ∴点M′(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)图象上, 又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点, ∴函数y=F(x)的图象关于点( 0)成中心对称图形. 例2 (1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察: 在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? (2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察: 在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? 图1-3-1-5 (3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察: 在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? (4)由以上你发现了什么结论? 试加以证明. 活动: 学生先思考,再回答,教师适时点拨和提示: (1)画出二次函数y=x2-2x的图象,借助于图象解决; (2)类似于 (1);(3)根据轴对称的含义补全函数的图象,也是借助于图象写出单调区间;(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论,利用轴对称的定义证明. 解: (1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反. (2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反. (3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图1-3-1-6. 图1-3-1-6 函数y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,而单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,而单调性相反. (4)可以发现结论: 如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下: 不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a]. 由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x). 设2m-b≤x1 f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函数y=f(x)在[a,b]上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数. ∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反. 因此有结论: 如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性. 点评: 本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住,可以提高解题速度.图象类似于人的照片,看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点,同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力. 变式训练 函数y=f(x)满足以下条件: ①定义域是R; ②图象关于直线x=1对称; ③在区间[2,+∞)上是增函数. 试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况). 活动: 根据这三个条件,画出函数y=f(x)的图象简图(只要能体现这三个条件即可),再根据图象简图,联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出. 解: 定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式,常是整式;图象关于直线x=1对称的函数解析式满足: f(x)=f(2-x),基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数,则由①②想到了二次函数;结合二次函数的图象,在区间[2,+∞)上是增函数说明开口必定向上,且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间[2,+∞)内,故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质,可知这三条都可满足开口向上的抛物线,故有: 形如y=a(x-1)2+b(a>0),或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以,答案不唯一. 知能训练 课本P32练习2. 【补充练习】 1.利用图象法写出基本初等函数的单调性. 解: ①正比例函数: y=kx(k≠0) 当k>0时,函数y=kx在定义域R上是增函数;当k<0时,函数y=kx在定义域R上是减函数. ②反比例函数: y= (k≠0) 当k>0时,函数y= 的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递增区间;当k<0时,函数y= 的单调递增区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数: y=kx+b(k≠0) 当k>0时,函数y=kx+b在定义域R上是增函数;当k<0时,函数y=kx+b在定义域R上是减函数. ④二次函数: y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时,函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞, ],单调递增区间是[ +∞); 当a<0时,函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是[ +∞),单调递增区间是(-∞, ]. 点评: 以上基本初等函数的单调性作为结论记住,可以提高解题速度. 2.已知函数y=kx+2在R上是增函数,求实数k的取值范围. 答案: k∈(0,+∞). 3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,求实数a的值. 答案: a=2. 4.2005年全国高中数学联赛试卷,8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1) 分析: ∵f(x)的定义域是(0,+∞), ∴ 解得a< 或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
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