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证明平行与垂直
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》
立体几何中的向量方法
(一)——证明平行与垂直
1.两个重要向量
直线的
方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个
平面的
法向量
直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔m·n=0
l⊥α
n∥m⇔n=λm
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m⇔n=λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0
概念方法微思考
1.直线的方向向量如何确定?
提示 l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则
及与
平行的非零向量均为直线l的方向向量.
2.如何确定平面的法向量?
提示 设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × )
(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ )
(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ )
(5)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.( × )
(6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × )
题组二 教材改编
2.设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为__________;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________.
答案 α⊥β α∥β
解析 当v=(3,-2,2)时,
u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0⇒α⊥β.
当v=(4,-4,-10)时,v=-2u⇒α∥β.
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.
答案 垂直
解析 以A为原点,分别以
,
,
所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M
,O
,N
,
·
=
·
=0,
∴ON与AM垂直.
题组三 易错自纠
4.直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有( )
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α斜交D.l⊂α或l∥α
答案 B
解析 由a=-n知,n∥a,则有l⊥α,故选B.
5.已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则( )
A.α∥βB.α⊥β
C.α,β相交但不垂直D.以上均不对
答案 C
解析 ∵n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,∴α,β既不平行,也不垂直.
6.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)
C.
D.
答案 C
解析 设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,
=(-1,1,0),
=(-1,0,1),
则
化简得
∴x=y=z.故选C.
题型一 利用空间向量证明平行问题
例1如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:
PB∥平面EFG.
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,
∴AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
∴
=(2,0,-2),
=(0,-1,0),
=(1,1,-1),
设
=s
+t
,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
∴
解得s=t=2,∴
=2
+2
,
又∵
与
不共线,∴
,
与
共面.
∵PB⊄平面EFG,∴PB∥平面EFG.
引申探究
若本例中条件不变,证明平面EFG∥平面PBC.
证明 ∵
=(0,1,0),
=(0,2,0),
∴
=2
,∴BC∥EF.
又∵EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF=F,EF,GF⊂平面EFG,
∴平面EFG∥平面PBC.
思维升华利用空间向量证明平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题
跟踪训练1如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
求证:
MN∥平面BDE.
证明 如图,以A为原点,分别以
,
,
的方向为x轴、y轴、z轴的正方
向建立空间直角坐标系.由题意,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
=(0,2,0),
=(2,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,
则
即
不妨设z=1,
可得n=(1,0,1).又
=(1,2,-1),可得
·n=0.
因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.
题型二 利用空间向量证明垂直问题
命题点1 证明线面垂直
例2如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:
AB1⊥平面A1BD.
证明 方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m=λ
+μ
.
令
=a,
=b,
=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,以它们为空间的一个基底,
则
=a+c,
=
a+b,
=a-c,
m=λ
+μ
=
a+μb+λc,
·m=(a-c)·
=4
-2μ-4λ=0.故
⊥m,结论得证.
方法二 取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,
所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为原点,分别以OB,OO1,OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,
),
A(0,0,
),B1(1,2,0).
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
=(-1,2,
),
=(-2,1,0).
因为n⊥
,n⊥
,
故
即
令x=1,则y=2,z=-
,
故n=(1,2,-
)为平面A1BD的一个法向量,
而
=(1,2,-
),所以
=n,所以
∥n,
故AB1⊥平面A1BD.
命题点2 证明面面垂直
例3如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB.
求证:
平面BCE⊥平面CDE.
证明 设AD=DE=2AB=2a,
以A为原点,分别以AC,AB所在直线为x轴,z轴,以过点A垂直于AC的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,
a,0),
E(a,
a,2a).
所以
=(a,
a,a),
=(2a,0,-a),
=(-a,
a,0),
=(0,0,-2a).
设平面BCE的法向量为n1=(x1,y1,z1),
由n1·
=0,n1·
=0可得
即
令z1=2,可得n1=(1,-
,2).
设平面CDE的法向量为n2=(x2,y2,z2),
由n2·
=0,n2·
=0可得
即
令y2=1,可得n2=(
,1,0).
因为n1·n2=1×
+1×(-
)+2×0=0.
所以n1⊥n2,
所以平面BCE⊥平面CDE.
思维升华利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直
证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示
跟踪训练2如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
证明
(1)取BC的中点O,连接PO,
∵平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,
平面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=
,
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,
),
∴
=(-2,-1,0),
=(1,-2,-
).
∵
·
=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-
)=0,
∴
⊥
,
∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M,连接DM,则M
.
∵
=
,
=(1,0,-
),
∴
·
=
×1+0×0+
×(-
)=0,
∴
⊥
,即DM⊥PB.
∵
·
=
×1+0×(-2)+
×(-
)=0,
∴
⊥
,即DM⊥PA.
又∵PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,
∴DM⊥平面PAB.
∵DM⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.
题型三 利用空间向量解决探索性问题
例4(2018·林州模拟)如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:
EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
(1)证明 如图,以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E
,P(0,0,a),F
.
=
,
=(0,a,0).
∵
·
=0,∴
⊥
,即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0,z),则
=
,
若使GF⊥平面PCB,则
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- 证明 平行 垂直