离散数学专升本.docx
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离散数学专升本
离散数学(专升本)
填空题
1.连通图G是一棵树,当且仅当G的每条边为___
(1)___。
(3分)
(1).
标准答案是:
割边
2.设S={2x|x∈Z+},则在普通加法与普通乘法下___
(2)___封闭.(填“不”或“都”)。
(3分)
(1).
标准答案是:
都
3.设ρ是集合A上的等价关系,则ρ所具有的关系的三个特性是___(3)___ (3分)
(1).
标准答案是:
自反,对称,传递性
4.若关系是对称的,当且仅当关系矩阵是___(4)___,在关系图上___(5)___。
(3分)
(1).
标准答案是:
对称矩阵
(2).
标准答案是:
任意两个结点要么有两条方向相反的边;要么没有边
5.设|A|=3,|B|=2则A到B的满射有___(6)___个。
(1).
标准答案是:
6
6.设S为非空有限集,代数系统<2s ,∪>的单位元为___(7)___,零元为____(8)____。
(3分)
(1).
标准答案是:
φ
(2).
标准答案是:
∪
7.集合A={1,{2}}的幂集2A =___(9)___。
(3分)
(1).
标准答案是:
略
8.命题公式
的主析取范式为___(10)___,主合取范式为___(11)___。
(3分)
(1).
标准答案是:
略
(2).
标准答案是:
略
9.A上的关系
的自反闭包表达式为___(12)___。
(3
(1).
标准答案是:
略
10.由n个命题变元可组成___(13)___个不等价的命题公式。
(3分)
(1).
标准答案是:
略
单选题
11.下列命题公式不是重言式的是_____。
(3分)
(A) Q→(P∨Q)
(B) (P∧Q)→P
(C)
(P∧
Q)
(D)
(
P∧0)
标准答案是:
C
12.设A={a,b,c},B={1,2},作函数f:
A→B, 则不同函数的个数为_____。
(3分)
(A) 2×3
(B) 22
(C) 23
(D) 32
标准答案是:
B
13.设
是A上的偏序,则
是全序为
是良序的_____。
(3分)
(A) 充分条件
(B) 充要条件
(C) 必要条件
(D) 既非充分也非必要条件
标准答案是:
C
14.具有如下定义的代数系统
(3分)
(A) G={1,10}*为模11乘
(B) G={1,3,4,5,9}*为模11乘法
(C) G=Q(有理数集)*为普通乘法
(D) G=Q(有理数集)*为普通加法.
标准答案是:
C
15.设集合A={a,b,c},A上的关系R={(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},则R具有关系的_____性质。
(3分)
(A) 自反
(B) 对称
(C) 传递
(D) 反对称
标准答案是:
B
16.设X={1,2,3,4},Y={a,b,c,d},则下列哪个集合表示的是从X→Y的函数_____。
(3分)
(A) {(1.a),(1,b)(2,c)}
(B) {(1.a),(2,b)(3,c)}
(C) {(1.a),(3,a)(2,b)}
(D) {(1.a),(3,c)(2,b)(4,c)}
标准答案是:
D
问答题
17.一棵树有3个2度结点,2个3度结点,3个4度结点,求其1度结点的个数。
(7分)
标准答案是:
3´2+2´3+3´4+x=2m=2(n-1)=2(3+2+3+x-1)=14+2x,x=10
18.存在既不是对称.也不是反对称的关系。
(5分)
标准答案是:
对。
R={(1,2)(2,1)(1,3)}即是。
19.利用形式演绎法证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
(5分)
标准答案是:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
(1)P∨R P
(2)ØR→P Q
(1)
(3)P→Q P
(4)ØR→Q Q
(2)(3)
(5)ØQ→R Q(4)
(6)R→S P
(7)ØQ→S Q(5)(6)
(8)Q∨S Q(7)
20.证明在一个可交换的独异点中所有的幂等元的集合构成独异点。
(4分)
标准答案是:
设T是S的幂等元的集合(是S的子集)*可结合,a,b是幂等元是(ab)2=(ab)(ab)=(a(ba)b)=(aa)(bb)=a2b2=ab*是封闭的;而ee=e所以e是幂等元.所以中所有的幂等元的集合构成独异点
21.设图G中的邻接矩阵为A=
,求V1到V3长为3的路的数目。
(7分)
标准答案是:
A3=
3=
V1到V3长为3的路的数目为4
22.良序一定是全序。
(5分)
标准答案是:
对。
{a,b}中有最小元(良序),故可比较大小(全序)
23.已知A={a,b,c,d,e},
求ρ的传递闭包。
(7分)
标准答案是:
t(ρ)=
(因为ρ是等价的)
24.如果F存在逆函数,则F不一定为双射。
(5分)
标准答案是:
不对。
a≠b,F(a)=F(b)有F-1F((a)=F-1F(b) a=b矛盾故为内射;b∈Y存在a∈X F(a)=b(因为F-1(b)=a)故为双射。
25.设某校足球队有球衣38件(38名足球队员),篮球队有球衣15件,棒球队有球衣20件,三队队员的人数总数为58人,其中有三人同时参加三个队,求同时参加两个队的队员有几人?
(7分)
标准答案是:
如图15+17-x+35-y-z=58 x+y+z=9
填空题
1.设
a*b=a+b-8,a0=e,an=an-1*a,若9k=2010,则k=___
(1)___。
(2分)
(1).
标准答案是:
2002
2.一组学生,用二二扳腕子比赛法来测定臂力的大小,则单位元是___
(2)___。
(2分)
(1).
标准答案是:
臂力最小的学生
3.每一个良序必为全序,而___(3)___全序必为良序。
(2分)
(1).
标准答案是:
有限集上的
4.设图G是有6个结点的完全图,则可从G中删去___(4)___条边后使之变成树。
(2分)
(1).
标准答案是:
10
5.设图G的邻接矩阵为A(如右边),则从v1到v3的长为2的路有___(5)___条,图G
中长为3的路有___(6)___条。
(2分)
(1).
标准答案是:
0
(2).
标准答案是:
38
6.设A={1,2,3,4},则分划B={{1,2,3},{4}}对应的A上的等价关系R=___(7)___。
(2分)
(1).
标准答案是:
略
7.设
,
则f是___(8)___射的, 若N为自然数集,
,则f是___(9)___射的.(2分)
(1).
标准答案是:
双
(2).
标准答案是:
满.
8. 设S是A,B,C产生的集合,则S=(A∪B)∩C的最小集的标准形式为___(10)___。
(2分)
(1).
标准答案是:
略
9. 完全二叉树中,树叶数为nt,则边数m=___(11)___。
(2分)
(1).
标准答案是:
略
10.设S={a1,a2,…,a8},Bi是S的子集,由B17表达的子集为___(12)___, 子集{a2,a6,a7}规定为___(13)___。
(2分)
(1).
标准答案是:
略
(2).
标准答案是:
略
单选题
11.下列表达式正确的有_____。
(4分)
(A)
(B)
(C)
(D)
标准答案是:
C
12.设集合A中有4个元素,则A上的不同的等价关系的个数为_____。
(4分)
(A) 11个
(B) 14个
(C) 15个
(D) 17个
标准答案是:
C
13.含3个命题变元的具有不同真值的命题公式的个数为_____(4分)
(A) 32
(B) 23
(C) 28
(D) 33
标准答案是:
C
14.在有n个结点的连通图G中其边数_____。
(4分)
(A) 最多有n-1条
(B) 至少有n-1条
(C) 最多有n条
(D) 至少有n条.
标准答案是:
B
15.R是实数集合,运算*为:
a*b=a+|b|,则S=
(4分)
(A) 代数系统
(B) 群
(C) 半群
(D) 独异点
标准答案是:
A
判断题
16.设A,B是二集合,则
。
(2分)
标准答案是:
错误
17.有限集合A上的内射函数是一个双射函数。
(2分)
标准答案是:
正确
18.设Q为有理数集,Q上运算*定义为
,则是半群。
(2分)
标准答案是:
正确
19.设P,Q是两个命题,当且仅当P,Q的真值均为T时,
的值为T。
(2分)
标准答案是:
错误
20.欧拉图中的任意结点的度数为偶数(2分)
标准答案是:
正确
问答题
21.设X={1,2,3,4,5},X上的关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,
<3,5>,<4,2>},求R的传递闭包t(R)(10
标准答案是:
t(R)=
={(1,1)(1,2)(1,4)(2,4)(3,5)(2,2)(4,4)(4,2)}.
22.已知
,
为模7乘法。
试说明
是否构成群?
是否为循环群?
若是,生成元是什么?
(10分)
标准答案是:
既构成群,又构成循环群,其生成元为3,5。
因为:
的运算表为:
(下表)
1) 由运算表知, 封闭;
2) 可结合(可证明)
3)1为单位元;
4)1-1=1;2-1=4;3-1=5;4-1=2;5-1=3;6-1=6
综上所述,
构成群。
31=3;32=2;33=6;34=4;35=5;36=1
所以,3为其生成元,3的逆元5也为其生成元。
故 为循环群。
23.如图给出的赋权图表示六个城市
及架起城市间联接
通讯线路的预测造价,试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小,并计算出最小总造价。
(10分)
标准答案是:
要设计一个方案使各城市间能够通讯且总造价最小,即要求该图连通、无回路、边权之和最小的子图即最小生成树,由避圈法或破圈法可得:
其最小生成树为:
其树权即最小造价为:
1+2+3+5+7=18。
24.假设英文字母,a,e,h,n,p,r,w,y出现的频率分别为12%,8%,15%,7%,6%,10%,5%,10%,求传输它们的最佳前缀码,并给出happynewyear的编码信息。
(10分)
标准答案是:
根据权数构造最优二叉树:
传输它们的最佳前缀码如上图所示,happynewyear的编码信息为:
10011010101010011101110100001111011000
附:
最优二叉树求解过程如下:
25.设P1,P2,…,Pn是命题变元,形如
的命题
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