《概率与统计》习题答案复旦大学.docx
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《概率与统计》习题答案复旦大学
习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.
【解】
故所求分布律为
X345
P0.10.30.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:
(1)X的分布律;
(2)X的分布函数并作图;
(3)
.
【解】
故X的分布律为
X012
P
(2)当x<0时,F(x)=P(X≤x)=0
当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=
当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=
当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1
故X的分布函数
(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
故X的分布律为
X0123
P0.0080.0960.3840.512
分布函数
4.
(1)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=,
其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a.
(2)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,
试确定常数a.
【解】
(1)由分布律的性质知
故
(2)由分布律的性质知
即.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:
(1)两人投中次数相等的概率;
(2)甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)
(1)
+
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有
即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
故
所以.
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;
(2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
【解】
(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)
(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;
(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】
(1)
(2)
11.设P{X=k}=,k=0,1,2
P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}.
【解】因为,故.
而
故得
即
从而
12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.
【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:
(1)保险公司亏本的概率;
(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为
由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有
(2)P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P(保险公司获利不少于20000)
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae-|x|,-∞ 求: (1)A值; (2)P{0 【解】 (1)由得 故. (2) (3)当x<0时, 当x≥0时, 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)= 求: (1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率; (2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3)F(x). 【解】 (1) (2) (3)当x<100时F(x)=0 当x≥100时 故 17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数. 【解】由题意知X~∪[0,a],密度函数为 故当x<0时F(x)=0 当0≤x≤a时 当x>a时,F(x)=1 即分布函数 18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5],即 故所求概率为 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y≥1}. 【解】依题意知,即其密度函数为 该顾客未等到服务而离开的概率为 即其分布律为 20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42). (1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解】 (1)若走第一条路,X~N(40,102),则 若走第二条路,X~N(50,42),则 ++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. (2)若X~N(40,102),则 若X~N(50,42),则 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N(3,22), (1)求P{2 (2)确定c使P{X>c}=P{X≤c}. 【解】 (1) (2)c=3 22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】 23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,σ2),若要求P{120<X≤200}≥0.8,允许σ最大不超过多少? 【解】 故 24.设随机变量X分布函数为 F(x)= (1)求常数A,B; (2)求P{X≤2},P{X>3}; (3)求分布密度f(x). 【解】 (1)由得 (2) (3) 25.设随机变量X的概率密度为 f(x)= 求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x). 【解】当x<0时F(x)=0 当0≤x<1时 当1≤x<2时 当x≥2时 故 26.设随机变量X的密度函数为 (1)f(x)=ae-l|x|,λ>0; (2)f(x)= 试确定常数a,b,并求其分布函数F(x). 【解】 (1)由知 故 即密度函数为 当x≤0时 当x>0时 故其分布函数 (2)由 得b=1 即X的密度函数为 当x≤0时F(x)=0 当0 当1≤x<2时 当x≥2时F(x)=1 故其分布函数为 27.求标准正态分布的上分位点, (1)=0.01,求; (2)=0.003,求,. 【解】 (1) 即 即 故 (2)由得 即 查表得 由得 即 查表得 28.设随机变量X的分布律为 X-2-1013 Pk1/51/61/51/1511/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值为0,1,4,9 故Y的分布律为 Y0149 Pk1/57/301/511/30 29.设P{X=k}=()k,k=1,2,…,令 求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】 30.设X~N(0,1). (1)求Y=eX的概率密度; (2)求Y=2X2+1的概率密度; (3)求Y=|X|的概率密度. 【解】 (1)当y≤0时, 当y>0时, 故 (2) 当y≤1时 当y>1时 故 (3) 当y≤0时 当y>0时 故 31.设随机变量X~U(0,1),试求: (1)Y=eX的分布函数及密度函数; (2)Z=-2lnX的分布函数及密度函数. 【解】 (1) 故 当时 当1 当y≥e时 即分布函数 故Y的密度函数为 (2)由P(0 当z≤0时, 当z>0时, 即分布函数 故Z的密度函数为 32.设随机变量X的密度函数为 f(x)= 试求Y=sinX的密度函数. 【解】 当y≤0时, 当0 当y≥1时, 故Y的密度函数为 33.设随机变量X的分布函数如下: 试填上 (1), (2),(3)项. 【解】由知②填1。 由右连续性知,故①为0。 从而③亦为0。 即 34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。 (i=1,2),P(Ai)=.且A1与A2相互独立。 再设C={每次抛掷出现6点}。 则 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数,设数字序列中要包含n个数字,则 X~b(n,0.1) 即 得n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 F(x)= 则F(x)是()随机变量的分布函数. (A)连续型;(B)离散型; (C)非连续亦非离散型. 【解】因为F(x)在(-∞,+∞)上单调不减右连续,且 所以F(x)是一个分布函数。 但是F(x)在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。 选(C) 37.设在区间[a,b]上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在[a,b]外,f(x)=0,则区间[a,b]等于() (A)[0,π/2];(B)[0,π]; (C)[-π/2,0];(D)[0,]. 【解】在上sinx≥0,且.故f(x)是密度函数。 在上.故f(x)不是密度函数。 在上,故f(x)不是密度函数。 在上,当时,sinx<0,f(x)也不是密度函数。 故选(A)。 38.设随机变量X~N(0,σ2),问: 当σ取何值时,X落入区间(1,3)的概率最大? 【解】因为 利用微积分中求极值的方法,有 得,则 又 故为极大值点且惟一。 故当时X落入区间(1,3)的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(λ),每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立,求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律. 【解】 设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下,Y~b(m,p),即 由全概率公式有 此题说明: 进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布,购买这种物品的人数仍服从泊松分布,但参数改变为λp. 40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明: Y=1-e-2X在区间(0,1)上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为 由于P(X>0)=1,故0<1-e-2X<1,即P(0 当y≤0时,FY(y)=0 当y≥1时,FY(y)=1 当0 即Y的密度函数为 即Y~U(0,1) 41.设随机变量X的密度函数为 f(x)= 若k使得P{X≥k}=2/3,求k的取值范围.(2000研考) 【解】由P(X≥k)=知P(X 若k<0,P(X 若0≤k≤1,P(X 当k=1时P(X 若1≤k≤3时P(X 若3 若k>6,则P(X 故只有当1≤k≤3时满足P(X≥k)=. 42.设随机变量X的分布函数为 F(x)= 求X的概率分布.(1991研考) 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知X的概率分布为 X-113 P0.40.40.2 43.设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率. 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数,若设P(A)=p,则 X~b(3,p) 由P(X≥1)=知P(X=0)=(1-p)3= 故p= 44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少? 【解】 45.若随机变量X~N(2,σ2),且P{2 P{X<0}=. 【解】 故 因此 46.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂;以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求 (1)全部能出厂的概率α; (2)其中恰好有两台不能出厂的概率β; (3)其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试},B={仪器能出厂},则 ={能直接出厂},AB={经调试后能出厂} 由题意知B=∪AB,且 令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数,则X~6(n,0.94), 故 47.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩,则X~N(72,σ2) 故 查表知,即σ=12 从而X~N(72,122) 故 48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求: (1)该电子元件损坏的概率α; (2)该电子元件损坏时,电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V},A2={电压在200~240V}, A3={电压超过240V},B={元件损坏}。 由X~N(220,252)知 由全概率公式有 由贝叶斯公式有 49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】 因为P(1 当y≤e2时FY(y)=P(Y≤y)=0. 当e2 当y≥e4时, 即 故 50.设随机变量X的密度函数为 fX(x)= 求随机变量Y=eX的密度函数fY(y).(1995研考) 【解】P(Y≥1)=1 当y≤1时, 当y>1时, 即 故 51.设随机变量X的密度函数为 fX(x)=, 求Y=1-的密度函数fY(y). 【解】 故 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布. (1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布; (2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.(1993研考) 【解】 (1)当t<0时, 当t≥0时,事件{T>t}与{N(t)=0}等价,有 即 即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 (2) 53.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=-1}=1/8,P{X=1}=1/4.在事件{-1 【解】显然当x<-1时F(x)=0;而x≥1时F(x)=1 由题知 当-1 此时 当x=-1时, 故X的分布函数 54.设随机变量X服从正态分N(μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22),且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},试比较σ1与σ2的大小.(2006研考) 解: 依题意,,则 , . 因为,即 , 所以有,即.
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