函数单调性.docx
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函数单调性
课题:
§1.3函数的单调性
一、教材分析
函数的单调性是人教版第一章第3节内容。
它是函数的重要性质之一,它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起,所以本节课在教材中的作用如下
(1)函数的单调性起着承前启后的作用。
一方面,初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用,函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系;函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
(2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材,这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象,概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性,既有从图像上进行观察的直观方法,又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法,最后将两种方法统一起来,形成根据观察图像得出猜想结论,进而用推理证明猜想的体系。
同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题,有利于学生数学能力的提高。
(3)函数的单调性有着广泛的实际应用。
在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。
它体现了函数的变化趋势和变化特点,在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用,为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。
2、学情分析
从学生的知识上看,学生已经学过一次函数,二次函数,反比例函数等简单函数,函数的概念及函数的表示,能画出一些简单函数的图像,从图像的直观变化,学生能粗略的得到函数增减性的定义,所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看,通过初中对函数的认识与实验,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看,学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题,也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质,学生也容易产生共鸣,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
但是如何运用数学符号将自然语言的描述提升为形式化的定义,学生接受起来比较困难?
在教学中要多引导,让学生真正的理解函数单调性的定义。
三、教学目标分析
(一)知识与技能目标
1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义
2、会根据函数的图像判断函数的单调性
3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数
(二)过程目标
1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力
2、通过利用定义证明单调性,进一步加强逻辑推理能力及判断推理
能力的培养
(三)情感态度价值观
1、通过本节课的教学,启发学生养成细心观察,分析归纳,严谨论
证的良好习惯
2、通过问题链的引入,激发学生学习数学的兴趣,学生通过积极参
与教学活动,获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习数学
的自信心
四、教学重难点分析
教学重点
1.形成增(减)函数的形式化定义
2.函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质,并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用,
教学难点
1.形成增(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述;
2.由于判断或证明函数的单调性,常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.
5、教法与学法分析
(1)教法:
为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:
1.通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性。
2.在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念。
3.在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并顺利地完成书面表达。
(2)学法
在教学过程中,教师设置问题情景让学生想办法解决;通过教师的启发点拨,学生的不断探索,最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。
然后通过对函数单调性的概念的学习理解,最终把问题解决。
整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中;同时让学生体验到了学习数学的快乐,培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
六、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、
引
入
课
题
观察图象,指出区别:
引导学生说出图像中y随x的变化趋势
对单调函数有一个初步的认识
二、
推
进
新
课
画出下列函数的图象,观察其变化规律
请作出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象,并观察自变量变化时,函数值的变化规律.
1.f(x)=x
从左至右图象上升还是下降______?
在区间_________上,随着x的增大,f(x)的值随着________.
2.f(x)=x2
在区间____________上,f(x)的值随着x的增大而________.
在区间____________上,f(x)的值随着x的增大而________.
学生动手画出题目中的图像,并且描述图像变化规律
训练学生动手作图能力
三、
概
念
形
成
(2)引出增(减)函数的概念
如何利用数学符号语言描述“y随x的增大而增大”和“y随x的增大而减小”?
(3)给出增(减)函数的定义:
1.增函数:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 (4)提问: 同学们能不能仿照这样的描述给出减函数的定义呢? (5)思考: 增(减)函数定义中需要注意的关键点有哪些? 注意: ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1 (6)函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 学生思考、交流探讨,指导学生从定性分析到定量分析,从直观认识过渡到数学符号表述) (学生思考, 模仿描述) 引导学生由图像迁移到单调增减函数的定义,并会模仿老师根据增函数定义给出减函数定义,帮助学生理解函数定义中的关键点,防止出错。 四、 自 主 探 究 例 题 如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数 的图象,根据图象说出 的单调区间,以及在每一单调区间上,函数 是增函数还减函数。 学生根据单调函数的定义判断该函数的增减性 使学生领悟单调函数的增减性要考虑到定义域区间 五、 巩 固 练 习 借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间. 解: (略)(个别学生提问) 思考: 画出反比例函数 的图象. 这个函数的定义域是什么? 它在定义域I上的单调性怎样? 证明你的结论. 说明: 本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象. 学生先在草稿纸上做出该函数图像 训练学生作图能力,和检验学生对知识的掌握度 六、 课堂 小结, 知识 梳理 1、增、减函数的定义。 函数单调性是对定义域的某个区间而言的,反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。 2、函数单调性的判断方法: (1)利用图象观察; (2)利用定义证明: 3、函数单调性证明的步骤: 取值→作差→变形→定号→下结论 学生和老师一起总结 训练学生归纳总结能力 七、 作 业 布 置 1.书面作业: 课本P45习题1.3(A组)第1-5题. 2.提高作业: 设f(x)是定义在R上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y), 求f(0)、f (1)的值; 若f(3)=1,求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集. 七、板书设计 函数的单调性 一、创设情境,引入课题 二、归纳探索,形成概念 三、掌握证法,适当延展 【例1: 】 【例2: 】 四、归纳小结,提高认识 八、教学反思 1、新课标明确指出: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,不仅把函数看成是变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求,从结合实际问题出发,,让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。 数学新课标还提到: 要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知,观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。 所以在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上,让学生通过观察函数图像的变化规律,然后归纳猜测,勇于实践探究式的教学方法,取得了较好的教学成果。 2、函数的单调性是函数的一个重要性质 在理解函数单调性的定义时,值得注意下列三点: (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.在讨论函数的单调性时,特别要注意,若f(x)在区间D1,D2上分别是增函数,但f(x)不一定在区间D1∪D2上是增函数,例如: 函数f(x)= 在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,+∞)上也是增函数,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不是增函数,f (1) (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊性替代. (3)由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数且f(x1) x1 2.判断函数的单调性或单调区间时,可以结合函数的图象升降进行判定,对于一般函数需用增、减函数定义加以证明,用定义的证明函数的单调性学生还存在问题较多。 3.一次函数、二次函数、反比例函数及 (a>0)型的函数的单调性和单调区间要记熟,把它们作为性质,可应用到一般函数单调性的判断上. 4.由于时间的限制,这节课对二次函数单调性的讨论及应用进行的并不充分,下节课对于函数的单调性的定义的可逆性,已知二次函数在某个区间的增减性,求参数的取值等问题还需进一步探讨。
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- 函数 调性