华师大九年级上教案 第24章图形的相似 全章教案.docx
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华师大九年级上教案第24章图形的相似全章教案
第24章图形的相似24.1相似的图形
教学目标:
理解相似形的概念,了解相似形是两个图形之间的关系。
由于需要的不同,要制定出大小不一定相同的图形,培养学生的观察能力。
教学过程:
一、导入新课
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片,供同学观察,并看课本第42页的图,提出问题:
这几组图片有什么相同的地方呢?
这些图片大小虽然不一样,但形状是相同。
二、讲解新课
由于不同的需要,我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的,也有2寸的,也有更大的,这些大小不一样的相片,其形状是相同。
同学们想一想,在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样,但形状相同,如果不相同会有什么后果呢?
大小不相同的中国地图或世界地图,其形状也是相同的,只是由于需要的不同,印制成大小不一的图片。
对于某一地区,也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同,同学们想一想,如果两张地图(同一地区)的形状不一样,那就会给我们许多错觉,就会产生许多麻烦的事情。
在日常生活中我们会看到许多这样形状相同,而大小不一定相同的图形。
在数学上,我们把具有相同形状的图形称为相似形。
同学们你还能说出哪些相似的图形吗?
(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。
画一个图形
放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等。
如图所示的是一些相似的图形。
想一想:
放大镜下的图形和原来的图形相似吗?
你看过哈哈镜吗?
哈哈镜中的形像与你本人相似吗?
还有一些图形,看起来有点相像,但它们不是相似的图形。
为什么有一部分图形看起来相像,但不相似呢?
这就是数学上说的相似图形还有其特征,就是这章要探索的内容。
三、课堂练习
课本第43页试一试,你能画出两个或更多的相似形吗?
四、小结
形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形,相似形在日常生活中经常碰到。
五、作业
P441、2。
24.2相似图形的特征
第一课时相似图形的特征
(一)
教学目标:
1、了解成比例线段的意义,会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质,会求出未知线段的长。
教学过程:
一、复习引入
挂上两张中国地图,问:
1.这两个图形有什么联系?
它们都是平面图形,它们的形状相同,大小不相同,是相似形。
2.这两个图形是相似图形,为什么有些图形是相似的,而有的图形看起来相像又不会相似呢?
相似的两个图形有什么主要特征呢?
为了探究相似图形的特征,本节课先学习线段的成比例。
二、新课
先从这两张相似的地图上研究。
1.成比例线段:
请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置,如果我们用A、B、C分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置,请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离,即线段AB=__cm,上海到福州的直线距离,即线段BC=__cm,在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置,也量一量A′B′=__cm,B′C′=__cm。
在地图上量出的AB与A′B′,BC与B′C′长度是否相等?
为什么会不一样呢?
线段AB与A′B′,BC与B′C′有什么关系呢?
请同学们算一算它们两线段的长度的比,即AB:
A′B′,BC:
B′C′会有什么样的结果呢?
我们会得到AB与
A′B′这两条线段的比与BC,B′C′这两条线段的比是相等的,即
BC。
B′C′ABA′B′=
对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线
ac段的长度的比相等,即=,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比bd
例线段。
若线段a、b、c、d成比例,即a:
b=c:
d,那么其内项乘积等于外项乘积。
a·d=b·c,其他的比例性质也都适用。
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段就是成比例线段,实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的,同学们不妨再量一量北京到福州的距离,即AC与A′C′,然后再算AC;A′C′,看看是否成比
ACAB例。
如果≠,那会出现什么情况?
A′C′A′B′
ab如果=那么b叫做a、c的比例中项,也可以写成b2=acbc
例1:
在比例尺为1:
400000地图上,量得甲、乙两地的距离为15厘米,求甲、乙两地的实际距离。
例2:
线段a=15厘米,b=20厘米,c=75毫米,d=0.1米,求:
ab与,这四条线段会成比例吗?
bc
例3:
如图AB=21,AD=15,CE=40,并且
AC的长。
三、练习
ADAE=,求ABAC
1.
(1)根据图示求线段比ACACCDACCD、、、、CDCBDBADCB
(2)指出图中成比例的线段。
2、等腰三角形两腰的比是多少?
等腰三角形的腰与底边的比是多少?
四、小结
同学回忆
1、什么样的线段成比例线段?
2、线段成比例与线段比有什么区别?
3、比例有哪些性质?
五、作业
P471、2、3
第二课时相似图形的特征
(二)
教学目标:
知道相似图形的两个特征:
对应边成比例,对应角相等。
识别两个多边形是否相似的方法。
教学过程:
一、复习
1.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a、b,c、d会成比例吗?
2.两张相似的地图中的对应线段有什么关系?
(都成比例)
二、新课
相似的两张地图中的对应线段都会成比例,对于一般的相似多边形,这个结论是否成立呢?
同学们动手量一量,算一算,用刻度尺和量角器量一量课本第48页两个相似四边形的边长,量一量它们的内角,由一位同学把量得的结果写在黑板上,其他同学把量得的结果与同伴交流。
同学们会发现有什么关系呢?
经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例,对应角会相等,再观察课本中两个相似的五边形,是否也具有一样的结果?
反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系?
同学用格点图画相似的两个三角形,也观察、度量,它们是否也具有这种关?
对应边成比例,对应角相等。
由此可以得到两个相似多边形的特征:
(由同学回答,教师板书)对应边成比例,对应角相等。
实际上这两个特征,也是我们识别两个多边形是否相似的方法。
即如果两个多边形的对应边都成比例,对应角都分别相等,那么这两个多边形相似。
识别两个多边形是否相似的标准有:
(边数相同),对应边要(成比例),
对应角要(都相等)。
(填号内要求同学填)
想一想:
(1)两个三角形一定是相似形吗?
两个等腰三角形呢?
两个等边三角形呢?
两个等腰直角三角形呢?
-
(2)所有的菱形都相似吗?
所有矩形呢?
正方形呢?
例1:
矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中,AB=1.5cm,BC=4.5cm,A′B′=0.8cm,B′C′=2.4cm,这两个矩形相似吗?
为什么?
例2:
(课本第49页例题)
三、练习
1.课本第50页练习。
2.(补充):
(1)矩形ABCD与矩形A′B′C′D′
中,已知AB=16cm,AD=10cm,A′D′=6cm,矩
形A′B′C′D′的面积为57cm2,这两个矩形相似吗?
为什么?
3.如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似
的,且C′D′⊥B′C′,根据图中的条件,求出未知的
边x,y及角a。
四、小结
1.两个多边形是否相似的两个标准是什么?
2.相似多边形具有什么特征?
五、作业
P512,4,5。
24.3相似三角形
1.相似三角形
教学目标:
1.知道相似三角形的概念;会根据概念判断两个三角形相似。
2.能说出相似三角形的相似比,由相似比求出未知的边长。
教学过程:
一、复习
什么是相似形?
识别两个多边形是否相似的标准是什么?
二、新课
1.相似三角形的有关概念:
由复习中引入,如果两个多边形的对应边成比例,对应角都相等,那么这两个多边形相似。
三角形是最简单的多边形。
由此可以说什么样的两个三角形相似?
如果两个三角形的三条边都成比例,三个角对应相等,那么这两个三角形相似,如在△ABC与△A′B′C′中,∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ABBCAC=那么△ABC与△A′B′C′相似,记作△A′B′B′C′A′C′
ABC∽△A′B′C′;“∽”是表示相似的符号,读作“相似于”,这样两三角形相似就读作:
“△ABC相似于△A′B′C′”。
由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,所以点A的对应顶点是A′,B与B′是对应顶点,C与C′是对应顶点,书写相似时,通常把对应顶点写在对应位置上,以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应
ABBCAC边.如果记===K,那么这个K就表示这两个相似A′B′B′C′A′C′
三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比,它有顺序关系.如△ABC
∽△A′B′C′,它的相似比为K,即指ABK,那么△A′B′C′与△A′B′
ABC的相似比应是A′B′K了,应为多少呢?
同学们想一想?
AB
2.△ABC中,D,E是AB、AC的中点,连结DE,那么△ADE与△ABC相似吗?
为什么?
如果相似,它们的相似比为多少?
如果点D不是AB中点,是AB上任意一点,过D作DE∥BC,交AC边于E,那么△ADE与ABC是否也会相似呢?
判断它们是否相似,由①对应角是否相等,②对应边是否成比例去考虑。
能否得对应角相等?
根据平行线性质与一个公共角可以推出①,而对应边是否成比例呢?
目前还没有什么依据,同学们不妨用刻度尺量一量,算一算是否成比例?
通过度量,计算发现ADAEDE==.ABACBC
所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。
若是如图DE∥BC,与BA、CA延长线交于D、E,那么△ADE与△ABC还会相似吗?
试一试看。
如果相似写出它们对应边的比例式.
AB3.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比K=1,你会发现什么呢?
A′B′
=BCAC==1,所以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′,B′C′A′C′
因此这两个三角形不仅形状相同,且大小也相同,这样的三角形称之为全等三角形,全等三角形是相似三角形的特例,试问:
全等的两个三角形一定相似吗?
相似的两个三角形会全等吗?
全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别?
4.例:
如果一个三角形的三边长分别是5、12、13,与其相似的三角
形的最长.边是39,那么较大三角形的周长是多少?
较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?
分析:
这两个三角形会相似,对应边是哪些边?
相似比是多少?
哪一个三角形较大?
要计算出它的周长还需求什么?
根据什么来求?
三、练习
判断下列两个三角形是否相似?
简单说明理由,如果相似,写出对应边的比例
四、小结
1.填空。
_______的三角形叫做相似三角形。
2.两个相似三角形的相似比为1,这两个三角形有什么关系?
3、如果一条直线平行于三角形一边,与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?
指出它们的对应边。
五、作业
P541、2、3。
2.相似三角形的识别
第一课时相似三角形的识别
(一)
教学目标:
1.会说出识别两个三角形相似的方法,有两个角分别相等的两个三角形相似。
2.会用这种方法判断两个三角形是否相似。
教学过程:
一、复习
1.两个矩形一定会相似吗?
为什么?
2.如何判断两个三角形是否相似?
根据定义:
对应角相等,对应边成比例。
3.如图△ABC与△′B′C′会相似吗?
为
什么?
是否存在识别两个三角形相似的简便方
法?
本节就是探索这方面的识别两个三角形相
似的方法。
二、新课讲解
同学们观察你与你的同伴所用的三角尺,以及老师用的三角板,如有一个角是30°的直角三角尺,它们的大小不一样。
这些三角形是相似的,我们就从平常所用的三角尺入手探索。
(1)是45°角的三角尺,是等腰直角三角形会相似。
(2)是30°的三角尺,那么另一个锐角为60°,有一个直角,因此它们的三个角都相等,同学们量一量它们的对应边,是否成比例呢?
这样,从直观上看,一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等,它们好像就会“相似”。
是这样吗?
请同学们动手试一试:
1.画两个三角形,使它们的三个角分别相等。
画△ABC与△DEF,使∠A=∠D、∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中,同学们画几个角相等?
为什么?
实际画图中,只画∠A=∠D,∠B=∠E,则第三个角∠C与∠F一定会相等,这是根据三角形内角和为180°所确定的。
2.用刻度尺量一量各边长,它们的对应边是否会成比例?
与同伴交流,是否有相同结果。
3.发现什么现象:
发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4.两个矩形的四个角也都分别相等,它们为什么不会相似呢?
这是由于三角形具有它特殊的性质。
三角形有稳定性,而四边形有不稳定性。
于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法:
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似,简单地说:
两角对应相等,两三角形相似。
同学们思考,能否再简便一些,仅有一对角对应相等的两个三角形,是否一定会相似呢?
例题:
1.如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中,∠
C=∠C′=90°,∠A=∠A′,判断这两个三角形是否相似。
2.在△ABC与△A′B′C′中,∠A=∠A′=50°,∠B=70°,∠B′=60°,这两个三角形相似吗?
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE
∽△EFC。
三、练习
1.△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,找出图中所有的相似三角形。
2.△ABC中,D是AB的边上一点,过点D作一直线与AC相交于E,要使△ADE与△ABC会相似,你怎样画这条直线,并说明理由。
和你的同伴交流作法是否一样?
四、小结
本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法:
有两个角对应相等的两个三角形相似。
五、作业
P641
第二课时相似三角形的识别
(二)
教学目标
1.会说出识别两个三角形相似的方法:
有两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边对应成比例的两个三角形相似。
2.能依据条件,灵活运用三种识别方法,正确判断两个三角形相似。
教学过程
一、复习
1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?
有两种方法,
(1)是根据定义;
(2)是有两个角对应相等
的两个三角形相似。
12.如图△ABC中,D、E是AB、AC上三等分点(即AD=3
1AB,AE=,那么△ADE与△ABC相似吗?
你用的是哪一3
种方法?
由于没有两个角对应相等,同学们可以动手量一量,量什么东西后可以判断它们能否相似?
(可能有一部分同学用量角器量角,有一部分同学量线段,看看能否成比例)无论哪一种,都应肯定他们,是正确的,要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。
二、新课讲解
同学们通过量角或量线段计算之后,得出:
△ADE∽△ABC。
从已知条件看,
1△ADE与△ABC有一对应角相等,即∠A=∠A(是公共角),而一个条件是AD=AB,3
1AD1AE1ADAEAE=,即是=,=ADE的两条边AD、AE与△ABC的3AB3AC3ABAC
两条边AB、AC会对应成比例,它们的夹角又相等,符合这样条件的两个三角形也会相似吗?
我们再做一次实验。
观察图,如果有一点E在边AC上,那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢
?
1图中两个三角形的一组对应边AD与AB,将点E由点A开3
1ADAE始在AC上移动,可以发现当AEAC时,△ADE与△ABC相似。
此时=3ABAC
同学们画两个三角形,△ABC与△A′B′C′,使之∠A=∠A′,AB=2A′
BCB′,AC=2A′C′,量一量BC与B′C′的长,计算BC:
B′CB′C′
ABAC相等?
再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′,它们是否对应A′B′A′C′
相等呢?
这样的两个三角形相似吗?
于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法:
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简单地说;两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角,如果不是夹角,它们不一定会相似。
你能画出有两边会对应成比例,有一个角相等,但它们不相似的两个三角形吗?
(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B=∠B′,
例题:
1.(课本中例3)判断图中△AEB与△FEC是否相似?
2.如图△ABC中,D、E是AB、AC上点,AB=7.8,AD=3,AC=6,CE=2.1,试判断△ADE与△ABC是否会相似,小张同学的判断理由是这样的:
解:
因为AC=AE+CE,而AC=6,CE=2.1,
故AE=6-2.1=3.9
ADAE由于≠ABAC
所以△ADE与△ABC不会相似。
你同意小张同学的判断吗?
请你说说理由。
小张同学的判断是错误的。
ABACA′B′A′C′
AD3AE3.91ADAE因为==所以AC6AB7.82ACAB
而∠A是公共角,∠A=∠A,
所以△ADE∽△ACB.
请同学再做一次实验,看看如果两个三角形的三条边都成比例,那么这两个三角形是否相似?
看课本58页“做一做”。
通过实验得出:
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简单说成:
三边成比例两三角形相似。
例:
△ABC和△A′B′C′中,AB=6cm,BC=8cm,AC=l0cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm,试判定它们是否相似,并说明理由。
三、练习
课本59页练习1、2,3.
四、小结
到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法,请同学回忆说出.
五、作业
P644
3.相似三角形的性质
教学目标
会说出相似三角形的性质:
对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
教学过程
一、复习
1.识别两个三角形相似的简便方法有哪些?
2.在△ABC与△A′B′C′中,AB=l0cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm,这两个三角形相似吗?
说明理由。
如果相似,它们的相似比是多少?
二、新课讲解
上述两个三角形是相似的,它们对应边的比就是相似比,△ABC∽△A′B′C′,相似比为AC=2。
A′C′
相似的两个三角形,它们的对应角相等,对应边会成比例,除此之外,还会得出什么结果呢?
一个三角形内有三条主要线段;高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似,那么这些对应的线段有什么关系呢?
我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
同学画出上述的两个三角形,作对应边AB和A′B′边上的高,用刻
CD度尺量一量CD与C′D等于多少呢?
与它们的相似比相等吗?
C′D′
得出结论:
相似三角形对应高的比等于相似比。
我们能否用说理的方法来说明这
个结论呢?
同学们用上面类似方法,得出:
相似三角形对应中线的比等于相似比;相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?
两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?
看如图的三个三角形,三角形
(2)的各边长分别是
(1)的2倍,(3)的各边长分别是
(1)的3倍,所以它们都是相似的,填空:
(2)与
(1)的相似比为(),
(2)与
(1)的面积比为(),
(3)与
(1)的相似比为(),(3)与
(1)的面积比为()
(3)与
(2)的相似比为(),(3)与
(2)的面积比为()。
以上可以看出当相似比为K时,面积比为K2。
对于一般相似的三角形都具有这种关系,可以得出结论:
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、练习
1.△ABC∽△A′B′C′,相似比为3:
2,则对应中线的比等于()。
2.相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比为(),周长比为(),面积比为()
13.△ABC∽△A′B′c′,相似比为,已知△A′B′C′的面积为3
18cm2,那么△ABC的面积为()。
四、小结
(填空形式,同学回答)相似三角形()相等,()的比等于相似比,面积的比等于()。
五、作业
P642、6
4、相似三角形的应用
教学目标
会应用相似三角形的有关性质,测量简单的物体的高度或宽度。
教学过程
一、复习
1、相似三角形有哪些性质?
2.如图,B、C、E、F是在同一直线上,AB⊥
BF,DE⊥BF,AC∥DF,
(1)△DEF与△ABC相似吗?
为什么?
(2)若DE=1,EF=2,BC=10,那么AB等于多少?
二、例题讲解
第二题我们根据两个三角形相似,对应边成比例,列出比例式计算出AB的长。
人们从很早开始,就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1:
古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:
为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比
较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB,即可近似
算出金字塔的高度OB,如果O′B′=l,A′B′=2,
AB=274,求金字塔的高度OB。
这实际上与上述问题是一样的。
例2.我军一小分队到达某河岸,为了测量河宽,
只用简单的工具,就可以很快计算河的宽度,在河对
岸选定一个目标作为点A,再在河的这一岸上选点B
和C,使AB⊥BC,然后选点E,使EC⊥BC,用眼睛测
视确定BC和AE的交点D,此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=
50
米,就能算出两岸间的大致距离AB。
例2:
如图24.3.13,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.
解∵∠ADB=∠EDC,
∠ABC=∠ECD=90°,
∴△ABD∽△ECD(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似),
∴
解得ABBD,ECCDBDECABCD
12050.100(米)60
答:
两岸间的大致距离为100米.
图24.3.13图24.3.14
这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.
例3:
如图24.3.14,已知:
D、E是△ABC的边AB、AC上的点,且∠ADE=∠C.求证:
AD·AB=AE·AC.
证明∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两
个角对应相等,那么这两个三角形相似).
∴ADAE,ACAB
∴AD·AB=AE·AC.
三、练习
1.到操场上用例1的方法测量旗杆的高,并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。
2.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比,在某一时刻,有人测得高为1.8米的竹竿的影长为3米,此时某高楼影长为60米,那么高楼的高度为多少米?
四、小结
本节课学习应用相似三角形的性质,测量计算物体的高度,在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似,它们对应的边是哪一边,利用比例的性质求证答案。
五、作业
P64习题24、3第6题
24.4中位线
教学目标
1、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题。
2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、进一步训练说理的能力。
4、
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