春九年级数学中考一轮复习《勾股定理的应用》自主复习达标测评附答案.docx
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春九年级数学中考一轮复习《勾股定理的应用》自主复习达标测评附答案
2021春九年级数学中考一轮复习《勾股定理的应用》自主复习达标测评(附答案)
1.为了打造“绿洲”,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮,已知AB=10米,BC=15米,∠B=150°,这种草皮每平方米售价2a元,则购买这种草皮需( )元.
A.75aB.50aC.
aD.150a
2.一根旗杆在离地面3米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部4米处,旗杆折断之前的高度是( )
A.5米B.7米C.8米D.9米
3.一架长10m的梯子斜靠在墙上,梯子底端到墙的距离为6m.若梯子顶端下滑1m,那么梯子底端在水平方向上滑动了( )
A.1mB.小于1mC.大于1mD.无法确定
4.如图,某小区有一块直角三角形的绿地,量得两直角边AC=6m,BC=8m,考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分,于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以BC为一直角边的直角三角形,则扩充方案共有( )
A.2种B.3种C.4种D.5种
5.如图,甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行,乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行,则2小时后,两船相距( )
A.40海里B.45海里C.50海里D.55海里
6.如图,有两棵树分别用线段AB和CD表示,树高AB=15米,CD=7米,两树间的距离BD=6米,一只鸟从一棵树的树梢(点A)飞到另一棵树的树梢(点C),则这只鸟飞行的最短距离AC=( )
A.6米B.8米C.10米D.12米
7.如图所示,一棵大树在离地面9米处断裂,断裂后树的顶部落在离底部12米处.这棵大树在折断之前是 米.
8.将一根24cm的筷子,置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中,如图,设筷子露出在杯子外面长为hcm,则h的最小值 ,h的最大值 .
9.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:
“仅有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何?
”题意是:
有一个池塘,其地面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′(示意图如图,则水深为 尺.
10.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,问船向岸边移动了 米.
11.甲、乙两船同时从港口A出发,甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行,乙船向南偏东55°航行.2小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛,若C、B两船相距40海里,则乙船的速度是 .
12.如图,一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段,中间一段AB恰好与地面平行,大树顶部落在离大树底部6m处,则大树折断前的高度是 .
13.如图,是矗立在高速公路地面上的一块交通警示牌,经测量得知PA=4米,AB=5米,∠PAD=45°,∠PBC=30°,则警示牌的高CD为 .(结果保留小数点后一位)
14.如图,已知点B在点A的北偏东32°,点C在点B的北偏西58°,CB=12,AB=9,AC=15,则△ABC的面积为 .
15.如图是高空秋千的示意图,小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B.最终荡到最高点C处,若∠AOC=90°,点A与点B的高度差AD=1米,水平距离BD=4米,则点C与点B的高度差CE为 米.
16.如图所示,等边△ABC表示一块地,DE,EF为这块地中的两条路,且点D为AB的中点,DE⊥AC,EF∥AB,已知AE=6m,求地块△EFC的周长.
17.如图所示,一架梯子AB斜靠在墙面上,且AB的长为2.5米.
(1)若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米,求这个梯子的顶端A距地面有多高?
(2)在
(1)的条件下,如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A',那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米?
18.如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=1.5千米,CH=1.2千米,HB=0.9千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?
请通过计算加以说明;
(2)求新路CH比原路CA少多少千米?
19.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力,如图,有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B,已知点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A,B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.
(1)求∠ACB的度数;
(2)海港C受台风影响吗?
为什么?
(3)若台风的速度为20千米/小时,当台风运动到点E处时,海港C刚好受到影响,当台风运动到点F时,海港C刚好不受影响,即CE=CF=250km,则台风影响该海港持续的时间有多长?
20.某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练.已知:
AB=10,BC=6,AC=8;机器人从点C出发,沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止;机器人移动速度为每秒2个单位,移动至拐角处调整方向需要1秒(即在B、A处拐弯时分别用时1秒).设机器人所用时间为t秒时,其所在位置用点P表示(机器人大小不计).
(1)点C到AB边的距离是 ;
(2)是否存在这样的时刻,使△PBC为等腰三角形?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
21.某中学A,B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地ABCD,学校为了绿化环境,计划在空地上种植花草,经测量∠ABC=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,AD=24米.
(1)求出四边形空地ABCD的面积;
(2)若每种植1平方米的花草需要投入120元,求学校共需投入多少元.
22.如图,距沿海某城市A正南220千米的B处,有一台风中心,其最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就减弱1级,该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动,且风力不变,若城市A所受风力达到或超过4级,则称为受台风影响.
(1)A城市是否会受台风影响?
为什么?
(2)若会,将持续多长时间?
(3)该城市受台风影响的最大风力为几级?
23.如图,BF,CG分别是△ABC的高线,点D,E分别是BC,GF的中点,连结DF,DG,DE.
(1)求证:
△DFG是等腰三角形;
(2)若BC=10,FG=6,求DE的长.
24.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AD⊥BC于点D.
(1)如图1所示,点M,N分别在线段AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°时,求线段AM的长;
(2)如图2,点M在线段AD的延长线上,点N在线段AC上,
(1)中其他条件不变.
①线段AM的长为 ;
②求线段AN的长.
参考答案
1.解:
如图,作BA边的高CD,设与AB的延长线交于点D,
∵∠ABC=150°,
∴∠DBC=30°,
∵CD⊥BD,BC=15米,
∴CD=7.5米,
∵AB=10米,
∴S△ABC=
AB×CD=
×10×7.5=37.5(平方米),
∵每平方米售价2a元,
∴购买这种草皮至少为37.5×2a=75a(元),
故选:
A.
2.解:
如图,由题意,AC⊥BC,AC=3米,BC=4米,旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB.
在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3米,BC=4米,
∴AB=
(米),
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8(米),
故选:
C.
3.解:
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10米,BC=6米,由勾股定理得AC=8米,
△A1BC1中,∠C=90°,A1B1=10米,B1C=7米,由勾股定理得A1C=
米,
∴AB1=AC﹣B1C=(8﹣
)米.
∵
,
∴
,
∴梯子底端在水平方向上滑动了小于1m,
故选:
B.
4.解:
如图1所示:
①AB=BD,
如图2所示:
②AB=AD,
如图3所示:
③BD=AD,
故选:
B.
5.解:
∵两船行驶的方向是西北方向和东北方向,
∴∠BOC=90°,
两小时后,两艘船分别行驶了20×2=40海里,15×2=30海里,
根据勾股定理得:
=50(海里).
故选:
C.
6.解:
如图,设大树高为AB=15m,
小树高为CD=7m,
过C点作CE⊥AB于E,则EBDC是矩形,
连接AC,
∴EB=7m,EC=6m,AE=AB﹣EB=15﹣7=8(m),
在Rt△AEC中,AC=
=10m,
故小鸟至少飞行10m.
故选:
C.
7.解:
因为AB=9米,AC=12米,
根据勾股定理得BC=
=15(米),
于是折断前树的高度是15+9=24(米).
故答案为:
24.
8.解:
当筷子与杯底垂直时h最大,h最大=24﹣12=12(cm).
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小,
此时,在杯子内部分=
=13(cm),
故h=24﹣13=11(cm).
故h的取值范围是11≤h≤12cm.
故答案为:
11cm;12cm.
9.解:
依题意画出图形,设芦苇长AB=AB′=x尺,则水深AC=(x﹣1)尺,
因为B'E=10尺,所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中,52+(x﹣1)2=x2,
解之得x=13,
即水深12尺,芦苇长13尺.
故答案为:
12.
10.解:
在Rt△ABC中:
∵∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米,
∴AB=
=
=15(米),
∵CD=10(米),
∴AD=
=6(米),
∴BD=AB﹣AD=15﹣6=9(米),
答:
船向岸边移动了9米,
故答案为:
9.
11.解:
∵甲的速度是12海里/时,时间是2小时,
∴AC=24海里.
∵∠EAC=35°,∠FAB=55°,
∴∠CAB=90°.
∵BC=40海里,
∴AB=
=32海里.
∵乙船也用2小时,
∴乙船的速度是16海里/时.
故答案为:
16海里/时.
12.解:
如图,作BE⊥DC于点E,
由题意得:
AD=BE=3m,AB=DE=2m,
∵DC=6m,
∴EC=4m,
∴由勾股定理得:
BC=
=5(m),
∴大树的高度为5+5=10(m),
故答案为:
10m.
13.解:
∵∠PAD=45°,∠DPA=90°,
∴∠PDA=45°,
∴DP=AP=4m,
∵∠PBC=30°,AB=8米,
∴tan30°=
,
解得:
DC=(3
﹣4)m≈1.2(米),
答:
警示牌的高CD为1.2米.
故答案为:
1.2(米).
14.解:
∵CB=12,AB=9,AC=15,
∴AC2=CB2+AB2,
∴△ABC是直角三角形,
∴△ABC的面积=
,
故答案为:
54
15.解:
作AF⊥BO于F,CG⊥BO于G,
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°,
∠AOF+∠OAF=90°,
∴∠COG=∠OAF,
在△AOF与△OCG中,
,
∴△AOF≌△OCG(AAS),
∴OG=AF=BD=4米,
设AO=x米,
在Rt△AFO中,AF2+OF2=AO2,即42+(x﹣1)2=x2,
解得x=8.5.
则CE=GB=OB﹣OG=8.5﹣4=4.5(米).
故答案为:
4.5.
16.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵DE⊥AC,
∴∠ADE=30°,
∴AD=2AE=12(cm),
∵点D为AB中点,
∴AB=2AD=24(cm),
∴AC=BC=AB=24(cm),
∴EC=AC﹣AE=24﹣6=18(cm),
∵EF∥AB,
∴∠CEF=∠A=60°,∠EFC=∠B=60°,
∴△EFC是等边三角形,
∴△EFC的周长=18×3=54(cm).
17.解:
(1)根据勾股定理:
所以梯子距离地面的高度为:
AO=
(米);
(2)梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′=(2﹣0.5)=1.5(米),
根据勾股定理:
OB′=
=2(米),
所以当梯子的顶端下滑0.5米时,梯子的底端水平后移了2﹣1.5=0.5(米),
答:
当梯子的顶端下滑0.5米时,梯子的底端水平后移了0.5米.
18.解:
(1)是,
理由是:
在△CHB中,
∵CH2+BH2=(1.2)2+(0.9)2=2.25,
BC2=2.25,
∴CH2+BH2=BC2,
∴CH⊥AB,
所以CH是从村庄C到河边的最近路;
(2)设AC=x千米,
在Rt△ACH中,由已知得AC=x,AH=x﹣0.9,CH=1.2,
由勾股定理得:
AC2=AH2+CH2
∴x2=(x﹣0.9)2+(1.2)2,
解这个方程,得x=1.25,
1.25﹣1.2=0.05(千米)
答:
新路CH比原路CA少0.05千米.
19.解:
(1)∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°;
(2)海港C受台风影响,
理由:
过点C作CD⊥AB,
∵△ABC是直角三角形,
∴AC×BC=CD×AB,
∴300×400=500×CD,
∴CD=240(km),
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域,
∴海港C受台风影响;
(3)当EC=250km,FC=250km时,正好影响C港口,
∵ED=
=70(km),
∴EF=140km,
∵台风的速度为20千米/小时,
∴140÷20=7(小时).
答:
台风影响该海港持续的时间为7小时.
20.解:
(1)∵AB=10,BC=6,AC=8,
∵62+82=102,
∴AB2=BC2+AC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴点C到AB边的距离=
;
(2)使△PBC为等腰三角形时,P在AB上时,
①BC=BP,
∵BP=2(t﹣1)﹣6,
∴2(t﹣1)﹣6=6,
解得:
t=7(s);
②CB=CP,
可得:
,
解得:
t=7.6(s);
③PB=CP,
2t﹣8=
,
解得:
t=6.5(s);
当P在AC上,CB=CP,
8﹣[2(t﹣2)﹣16]=6,
解得:
t=11(s).
综上所述,t的值为7或7.6或6.5或11秒.
故答案为:
(1)4.8.
21.解:
(1)连接AC.
在Rt△ABC中,因为∠ABC=90°,AB=20,BC=15,
所以AC=
=25(米).
在△ADC中,因为CD=7,AD=24,AC=25,
所以AD2+CD2=242+72=625=AC2.
所以△ADC是直角三角形,且∠ADC=90°.
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=
×15×20+
×7×24=234(平方米).
所以四边形空地ABCD的面积为234平方米.
(2)120×234=28080(元).
所以学校共需投入28080元.
22.解:
(1)该城市会受到这次台风的影响.
理由是:
如图,过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中,
∵∠ABD=30°,AB=220,
∴
,
∵城市受到的风力达到或超过四级,则称受台风影响,
∴受台风影响范围的半径为20×(12﹣4)=160.
∵110<160,
∴该城市会受到这次台风的影响.
(2)如图以A为圆心,160为半径作⊙A交BC于E、F.
则AE=AF=160.
∴台风影响该市持续的路程为:
EF=2DE=2
=60
.
∴台风影响该市的持续时间t=60
÷15=4
(小时).
(3)∵AD距台风中心最近,
∴该城市受到这次台风最大风力为:
12﹣(110÷20)=6.5(级).
23.
(1)证明:
∵BF,CG分别是△ABC的高线,
∴BF⊥AC,CG⊥AB,且点D为BC的中点,
∴DF=
BC,DG=
BC,
∴DF=DG,
∴△DFG是等腰三角形;
(2)解:
由
(1)知,DF=DG=
BC=5.
∵点E为GF的中点,FG=6,
∴EF=
GF=3,且DG⊥GF,
∴在直角△DEF中,由勾股定理知,DE=
=
=4.
24.解:
(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠ABC=∠BAD=∠CAD=∠ACB=45°,
∴
,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
根据勾股定理,
,
∴
,
∵∠AMN=30°,∠BMN=90°,
∴∠BMD=180°﹣90°﹣30°=60°,
∴∠MBD=30°,
∴BM=2DM,
在Rt△BDM中,∠BDM=90°,
由勾股定理得,BM2﹣DM2=BD2,
即
,
解得,
,
∴
;
(2)①∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠ABC=∠BAD=∠CAD=∠ACB=45°,
∴
,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
根据勾股定理,
,
∴
,
∵∠AMN=30°,∠BMN=90°,
∴∠BMD=180°﹣90°﹣30°=60°,
∴∠MBD=30°,
∴BM=2DM,
在Rt△BDM中,∠BDM=90°,
由勾股定理得,BM2﹣DM2=BD2,
即
,
解得,
,
∴AM=AD+DM=
;
故答案为:
;
②如图2,过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠AME=∠ADB=90°,
∴∠E=45°=∠BAD,
∴ME=MA,∠E=∠CAD=45°,
∵∠AMN=30°,∠BMN=90°,∠AME=90°,
∴∠BME=30°=∠AMN,
∴△BME≌△NMA(ASA),
∴BE=AN,
在Rt△AME中,∠AME=90°,
由①
,
∴
.
根据勾股定理,
=
,
∴AN=BE=AE﹣AB=
.
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