第6讲一元二次函数的图象和性质.docx
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第6讲一元二次函数的图象和性质
第六讲二次函数的图象和性质
【趣题引路】
例生产某商品xt需费用1000+5x+
x2元,出售该商品xt时的价格是每吨a+
元,其中a,b是常数,如果生产出的商品都能卖掉,并且当产量是150t时利润最大,这时的价格是每吨40元,求a,b的值.毛
解析设卖出xt的利润是y元,则
y=x(a+
)-(1000+5x+
x2)
=(
-
)x2+(a-5)x-1000.
又由题设知,当x=150时,y最大,因此
即
解得a=45,b=-30.
当b=-30时,
-
<0,
∴函数有最大值.
∴a=45,b=-30为所求.
点评
这是一个关于商品的利润问题,解决此类问题的关键是函数建模,使之转变为函数问题,利用一元二次函数的性质求解.二次函数的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等联系起来.
【知识延伸】
例1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是(8,0),顶点坐标是(6,-12),求这个二次函数的解析式.
解析方法一:
由题意可列方程组
解得a=3,b=-3b,c=96.
故函数解析式为y=3x2-36x+96;
方法二:
设所求解析式为y=a(x-6)2-12.
又图象过(8,0),
∴a(8-6)2-12=0,
∴a=3,
故函数解析式为y=3x2-36x+96;
方法三:
函数图象关于直线x=6对称,因此图象一定通过点(8,0)和点(4,0),即4,8是方程ax2+bx+c=0的两个根,因而二次函数可以写成y=a(x-4)(x-8).
又函数图象过(6,-12),
∴a(6-4)(6-8)=-12.
∴a=3.
故函数解析式为y=3x2-36x+96.
点评
在求二次函数解析式时,若已知抛物线上任意三点,常设一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);若已知顶点或对称轴,常设顶点式:
y=a(x+m)2+n,其中(-m,n)为顶点;若已知抛物线与x轴交点的坐标时,常设交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
例2已知抛物线y=x2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴下方,
(1)求证:
已知抛物线与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),其中x1 (2)求证: x1 解析 (1)由已知,得 △=p2-4q=4(x0+ )2-4y0>0,即△>0, ∴方程x2+px+q=0有两个实根,且不相等. 不妨设x1 (2)由韦达定理 又y0=x02+px0+q<0, 即x02-(x1+x2)x0+x1x2<0, (x0-x1)(x0-x2)<0, 即x1 (3)当点M为(1,-1999)时有x0=1,y0=-1999, 则由x1,x2为整数,(x1-1)(x2-1)也为整数,且x1-1>x2-1, 得 或 解得 或 点评 此题“△”的求值较新颖,值得借鉴;第(3)问利用二次三项式的因式分解过渡自然. 【好题妙解】 佳题新题品味 例设抛物线y=ax2+bx+c开口向下,与x轴交于-1与3处,试判断下列关系式哪些是正确的? (1)abc>0; (2)a+b+c=0;(3)a=- b;(4)3b=2c;(5)a-b+c>0;(6)5a+b+c>0;(7)c>2b; (8)9a+3b+c=0. 解析由开口向下知,a<0. 由于抛物线与x轴交于x1=-1与x2=3处. ∴y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. 即b=-2a,c=-3a.由此可知 abc=6a3<0表明 (1)错;a+b+c=-4a>0表示 (2)错;b=-2a表明(3)对;3b=-6a,2c=-6a表示(4)对;a-b+c=0表明(5)错;5a+b+c=0表明(6)错;c-2b=a<0,(7)错;9a+3b+c=0,(8)对. 中考真题欣赏 例(2003年北京市中考题)已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴一个交点为A(-1,0). (1)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标; (2)D是抛物线与y轴交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线解析式; (3)E是第二象限内到x轴,y轴的距离之比为5: 2的点,如果点E在 (2)中的抛物线上,且它与点A在抛物线对称轴同侧,问: 在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)由已知,-1为方程ax2+4ax+t=0的一根,设另一根为x2, 则-1+x2=- =-4 ∴x2=-3, 即抛物线与x轴另一交点为(-3,0); (2)由 (1)知(-1)·x2= ∴t=3a. 则抛物线解析式为y=ax2+4ax+3a, ∴D为(0,3a). 又AB∥CD∴C为(-4,3a), ∴│AB│=2,│CD│=4,梯形高为│3a│. ∴9= .3│a│,求得a=±1. 故所求抛物线为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3; (3)设E(x0,y0)则y0=- x0(x0<0). (i)若a=-1,则y0=-x02-4x0-3即- x0=-x02-4x0-3, 而此方程无实根; (ii)若a=1,则y0=x02+4x0+3,解方程- x0=x02+4x0+3,得x01=- x02=-6(舍去). ∴E(- ) ∵AE长度一定,只须PA+AE最小. 又点A关于x=-2的对称点为B(-3,0), ∴PA+PE=PB+PE≥BE. ∴P为BE与x=-2的交点时满足题设要求. 不难求得BE解析式为y= x+ 令x=-2,得y= ∴P(-2, ). 即存在这样的点P(-2, )满足(3)要求. 点评 本题难点在(3),关键是将△APE周长最小的条件转化为B、P、E三点共线,从而求点P. 竞赛样题展示 例1(1997年陕西数学竞赛题)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c的值的变化范围是() A.0 解析将(0,1),(-1,0)代入y=ax2+bx+c得 即 ∴S=a+b+c=2b. ∵二次函数y=ax2+bx+c顶点在第一象限, ∴- >0,又a=b-1, ∴- >0,即2b(b-1)<0. ∴0 选B. 点评 本题只给出两点,不能求出a、b、c具体的值,只能求出a、b、c之间的关系,据此再求S的取值范围. 例2(1993年江苏初中数学竞赛试题)已知 是两位数,二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点,这两点间距离不超过2. (1)求证: 0 (2)求出所有这样的两位数 . 解析 (1)设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),x1≠x2, 则x1,x2为方程x2+mx+n=0的两个不同实根. ∴x1+x2=-m,x1·x2=n. 又0<│x1-x2│≤2即0<(x1+x2)2-4x1x2≤4, 也即0 (2)∵m,n为整数(m≠0), ∴m2-4n=1,2,3,4,而m2被4除余0或1,故m2-4n被4除也余0或1, 从而只能有m2-4n=1或m2-4n=4. 解这两个不定方程,得: ∴所求两位数为10,32,56,20,43,68. 点评 一元二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标即是方程ax2+bx+c=0的两根,利用韦达定理即可求解. 全能训练 A卷 1.已知函数y=(m2+m)x2+mx+4, (1)m是何值时,y是x的一次函数? (2)m是何值时,y是x的二次函数? 2.已知抛物线y= x2与直线y=x+k有交点,求k的取值范围. 3.已知二次函数的图象经过点(1,0)和(-1,8),且与抛物线y=2x2的开口方向及形状相同. (1)求此二次函数解析式; (2)求其顶点坐标和与x轴交点坐标; (3)若将此抛物线绕顶点旋转180°后,求旋转后的抛物线的解析式. 4.二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移三个单位,得到二次函数y=x2-2x+1,求b,c的值. 5.已知抛物线y=x2+2x+(m-2),问: 当m取何值时,抛物线与y轴的交点在x轴的上方,在x轴的下方,抛物线过原点? 6.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,则下列关系成立的是() A.abc>0B.a+b+c<0 C.a2 A卷答案 1. (1)m=-1时,y是x的一次函数; (2)m≠0,且m≠1时,y是x的二次函数. 2.k≥- 3. (1)y=2x2-4x+2. (2)(1,0),(1,0)(3)y=-2x2+4x-2 4.b=-6,c=6. 5.在y=x2+2x+(m-2)中,令x=0,则y=m-2. 当m-2>0,即m>2时,抛物线与y轴交于x轴上方; 当m-2<0,即m<2时,抛物线与y轴交于x轴下方;当m-2=0,即m=2时,抛物线过原点. 6.D B卷 1.设一元二次方程x2+bx+c=0的两根为98,99,在二次函数y=x2+bx+c中,若x取0,1,2,…,100,曲则y的值能被6整除的个数是() A.33B.34C.65D.67 2.二次函数y=a2x2-4x+1有最小值-1,则a的值是(). A. B.- C.± D.±2 3.如图,已知抛物线y= x2+(k+ )x+(k+1)(k为常数),与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<0 (1)求此抛物线解析式; (2)设M、N是抛物线在x轴上方的两点,且与x轴的距离均为1,点P是抛物线顶点,问: 过M、N、C三点的圆与直线CP是否只有一个公共点C? 试证明你的结论. 4.已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),与y轴交于点E(0,-1). (1)求此二次函数的解析式; (2)若点Q(m,n)在此抛物线上,且-3≤m≤3,求n的取值范围; (3)设点B是此抛物线与x轴的另一个交点,P是抛物线上异于点B的一个动点,连结BP交y轴于点N(点N在点E的上方),若△AOE∽△BON,求点P的坐标. 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是C,它与x轴有两个不相同的交点A和B. (1)若点C的横坐标是3,A,B两点的距离是8,求方程ax2-(6a-b)x+9a-3b+c=0的根; (2)若点C到x轴的距离等于A、B两点距离的k倍,求证: b2-4ac=16k2. B卷答案 1.D由已知可得b=-197,c=98×99,则y=x2-197x+98×99=x(x+1)-198x+98×99. 要使6|y,则6|x(x+1).又2|x(x+1),只须3|x(x+1),则3|x或3|x+1. 当3|x时,共有[ ]+1=34个,当3|x+1时,共有[ ]=33个。 故67个,选D. 2.C.由题意得a2≠0,且 =-1,解得a=± . 3. (1)∵(OA+OB)2=OC2+16,∴(-x1+x2)2=OC2+16, ∴4(k+ )2-4×2(k+1)=(k+1)2+16, 得k1=-2,k2=4.∵x1<0 ∴k=-2,抛物线为y= x2- x-1. (2)过M,N,C三点的圆与直线CP只有一个公共点C. 如图4所示抛物线上的点M,N在x轴上方,且到x轴距离均为1, 设MN交y轴于点E,∴M(-1,1),N(4,1),且C(0,-1),P( ), 在Rt△MEC中,MC2=5. 同理NC2=20,又MN2=25,∴MN2=MC2+NC2, ∴∠MCN=90°,故MN是过M,N,C三点圆的直径,圆心D( 1), 作CF⊥DP于F,连结CD,则CFDE为矩形,FD=CE=2,CF=ED= . 又PF= 在Rt△CFP中,CP2=CF2+PF2=( )2+( )2= . 在△CDP中,DP2-CD2=( )2-( )2= =CP2.即DP2=CD2+CP2, ∴CP⊥CD,直线CP与⊙D相切于点C. 故直线CP和过M,N,C三点的圆只有一个公共点C. 4. (1)y= x2+ x-1; (2)- ≤n≤4; (3)求出B点的坐标为B(1,0),E(0,-1), 由△AOE∽△BON得 ∴ON= 则N(0, )或N(0,- ). 求出直线BN的解析式为y=- x+ .BN′的解析式为y= x- . 由此求得P为抛物线与直线BN的交点或BN′的交点,则 或 解得P(-4, )或P(-2,-1). 5.设二次函数y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-7),得b=-6a,c=-7a,点C的纵坐标为 即C(3,-16a),将b=-6a,c=-7a代入方程ax2-(6a-b)x+9a-3b+c=0, 得ax2-12ax+20a=0.∵a≠0,∴x2-12x+20=0,解得x1=2,x2=10. (2)∵C到x轴距离等于A,B两点距离的k倍,即│AB│=8, ∴│-16a│=8k,∴a2= k2,① 又由 =-16a,得b2-4ac=64a2,② 由①,②得,b2-4ac=16k2.毛
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