北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明含答案.docx
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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明含答案
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明(含答案)
一、选择题
1.由线段a,b,c组成的三角形,不是直角三角形的是( )
A.a=3,b=4,c=5 B.a=1,b=
c=
C.a=9,b=12,c=15 D.a=
b=2,c=
答案 D D中,a2+b2=7,c2=5,a2+b2≠c2,故选D.
2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )
A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条直角边对应相等
答案 D 当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS可以判定两直角三角形全等.
3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的( )
A.三个内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案 B 到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.
4.用反证法证明:
“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60° B.每一个内角小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角大于60°
答案 B 反证法第一步是提出与结论相反的假设.
5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )
图1-5-1
A.
B.4 C.2
D.5
答案 B ∵AD⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,
又∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.
∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,
∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.
∴BH=AC=4.
6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则点C的坐标是( )
A.(0,1) B.(0,-1)
C.(0,1)或(0,-1) D.(1,0)或(-1,0)
答案 C ∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.
∴CO=AO=
AB=1,∴C(0,1)或(0,-1).
7.下列命题中的假命题是( )
A.等腰三角形的顶角一定是锐角
B.等腰三角形的底角一定是锐角
C.等腰三角形至少有两个角相等
D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合
答案 A 等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.
8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是( )
A.∠C=2∠A B.BD=BC
C.△ABD是等腰三角形 D.点D为线段AC的中点
答案 D ∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.
∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.
∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,
∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.
9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为( )
A.18 B.16 C.14 D.8
答案 C 在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+8=14,故选C.
10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.
其中正确的是( )
图1-5-4
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案 A ∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,
∴∠BAP=∠CAP.
又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.
∴∠BAP=∠APQ.
∴QP∥AR.
在Rt△APR和Rt△APS中,
∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.
故①②均正确.
由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.
二、填空题
11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是 ,这个逆命题是 命题.
答案 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真
12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是 .
答案 17
解析 当7为腰长时,周长为7+7+3=17.
当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.
13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是 三角形.
答案 等边
解析 ∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC是等边三角形.
14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB的距离为 cm.
答案 2.6
解析 ∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,∴CD=
×7.8=2.6cm.故答案为2.6.
15.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为 .
答案 10
解析 ∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.
∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.
∴16+BC=26.∴BC=10.
16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为 .
答案 1+
解析 ∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.
又∵∠A=45°,∠B=30°,
∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.
∴AD=CD=1,BD=
=
=
.
∴AB=AD+DB=1+
.
17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC= .
答案 120°
解析 连接BD并延长.
∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,
∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.
又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,
∴∠ADC=∠5+∠6=120°.
18.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是 .
答案
解析 过点A作AE⊥BC于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=
BC=3,所以AE=
=
=4,所以S△ABC=
BC·AE=12.易知BP的最小值是
=
.
三、解答题
19.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,求BN的长.
答案 设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D是BC的中点,∴BD=3.在Rt△NBD中,x2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.
20.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE三等分∠ACB,CD⊥AB.
求证:
(1)AB=2BC;
(2)CE=AE=BE.
证明
(1)∵∠ACB=90°,CD、CE三等分∠ACB,
∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.
在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.
(2)由
(1)知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.
又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,
∴CE=BE.∴CE=AE=BE.
21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.
(1)求证:
BE=CF;
(2)求AE的长.
答案
(1)证明:
连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.
∵DG垂直平分BC,
∴DB=DC.
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,
∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.
(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,
又∠DAE=∠DAF,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF.
∴AE=AF=AC+CF.由
(1)知BE=CF,
∴AE=AC+BE=4+BE.
∴AE=4+8-AE.∴AE=6.
22.如图所示,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为vP=2cm/s,vQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为ts.
(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?
(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?
答案 由题意可知AP=2tcm,BQ=tcm(0≤t≤3),则BP=AB-AP=(6-2t)cm.
(1)若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ为等边三角形.
(2)当PQ⊥BQ时,
∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,
解得t=1.5;
当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),
解得t=2.4.
综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.
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