八年级上《轴对称图形》过关测试含答案.docx
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八年级上《轴对称图形》过关测试含答案
八年级上《轴对称图形》过关测试含答案
一、选择题
1.2008年北京车展上,我国自主品牌的轿车不论在设计上还是在性能上,都引起了外国许多专家的赞叹,下面是我国自主品牌的轿车的车标,其中是轴对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,该图案对称轴的条数是( )
A.4条B.3条C.2条D.1条
3.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是( )
A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD=∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断
4.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个内角是60°,那么这个三角形是( )
A.等边三角形B.等腰直角三角形
C.等腰三角形D.含30°角的直角三角形
5.有两个角相等的梯形是( )
A.等腰梯形B.直角梯形
C.一般梯形D.直角梯形和等腰梯形
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P点是BD的中点,若AD=6,则CP的长为( )
A.3B.3.5C.4D.4.5
7.若△ABC的边长为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形C.任意三角形D.不能确定
8.如图,在等边△ABC中,BD、CE是两条中线,则∠1的度数为( )
A.90°B.30°C.120°D.150°
9.A,B是平面内的两个定点,在平面内找一点C,使△ABC构成等腰直角三角形,这样的C点可找( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
10.如图,D、E是等边△ABC的边BC上的三等分点,O为△ABC内一点,且△ODE为等边三角形,则图中等腰三角形的个数是( )
A.4个B.5个C.6个D.7个
二、填空题
11.线段AB关于直线MN对称,则 垂直平分 .
12.在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B= .
13.如图,点Q在∠AOB的平分线上,QA⊥OA,QB⊥OB,A、B分别为垂足,则AQ= .
14.等腰三角形的周长为18cm,其中一边为8cm,则另两边的长分别为 .
15.如图,在△ABC中,∠ACB=130°,AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N,则∠MCN= .
16.如图,OP平分∠AOB,PB⊥OB,OA=8cm,PB=3cm,则△POA的面积等于 cm2.
17.给出一个梯形ABCD,AD∥BC,下面四个论断:
①∠A=∠D;②AB=CD;③∠B=∠C;④AC=BD.其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是 (填序号).
18.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,BC=AC,∠ACD=30°,则∠D= .
三、解答题
19.如图,在正方形网格内有∠AOB,请你利用网格画出∠AOB的平分线,并说明理由.
20.如图,△ABC绕点A旋转到AB′C′,BC与B′C′交于P,试说明AP平分∠BPC′.
21.如图,已知AB=AC,BD=DC,AD的延长线交BC于点E.
(1)试说明BE=EC;
(2)试说明AD⊥BC.
22.如图梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,BD⊥CD,求∠C的度数.
23.如图,在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F,使AD=BE=CF.
(1)试说明△DEF是等边三角形;
(2)连接AE、BF、CD,两两相交于点P、Q、R,则△PQR为何种三角形?
试说明理由.
24.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥DC于点F,BG⊥CD于点G,试说明PE+PF=BG.
《第2章轴对称图形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1.2008年北京车展上,我国自主品牌的轿车不论在设计上还是在性能上,都引起了外国许多专家的赞叹,下面是我国自主品牌的轿车的车标,其中是轴对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】轴对称图形.
【分析】结合车标图案,根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:
第一个图形,不是轴对称图形,故选项错误;
第二个图形,是轴对称图形,故选项正确;
第三个图形,不是轴对称图形,故选项错误;
第四个图形,不是轴对称图形,故选项错误;
第五个图形,是轴对称图形,故选项正确.
故选B.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念:
熟记轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合是解题的关键.
2.如图,该图案对称轴的条数是( )
A.4条B.3条C.2条D.1条
【考点】轴对称图形.
【分析】根据该图形的特点结合轴对称图形的定义得出即可.
【解答】解:
该图案对称轴的条数是2条.
故选C.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念.判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
3.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是( )
A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD=∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】首先根据题意画出图形,然后由MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,根据线段垂直平分线的性质可得:
AC=BC,AD=BD,则可证得∠DAB=∠CBA,∠DAB=∠DBA,继而求得答案.
【解答】解:
∵MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,
∴AC=BC,AD=BD,
∴∠DAB=∠CBA,∠DAB=∠DBA,
如图1,∠CAD=∠CAB+∠DAB,∠CBD=∠CBA+∠DBA,
∴∠CAD=∠CBD;
如图2,∠CAD=∠CAB﹣∠DAB,∠CBD=∠CBA﹣∠DBA,
∴∠CAD=∠CBD.
故选B.
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.注意垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
4.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个内角是60°,那么这个三角形是( )
A.等边三角形B.等腰直角三角形
C.等腰三角形D.含30°角的直角三角形
【考点】生活中的轴对称现象.
【分析】三角形是轴对称图形,则该三角形是等腰三角形,根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形,即可作出判断.
【解答】解:
因为三角形是轴对称图形,则该三角形是等腰三角形,
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形.
故选A.
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法,是需要熟记的内容.
5.有两个角相等的梯形是( )
A.等腰梯形B.直角梯形
C.一般梯形D.直角梯形和等腰梯形
【考点】梯形.
【分析】由直角梯形中有两个直角,等腰梯形同一底上的两个角相等,即可求得答案.
【解答】解:
∵直角梯形中有两个直角,等腰梯形同一底上的两个角相等,
∴有两个角相等的梯形是直角梯形和等腰梯形.
故选D.
【点评】此题考查了直角梯形与等腰梯形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意直角梯形中有两个直角,等腰梯形同一底上的两个角相等.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P点是BD的中点,若AD=6,则CP的长为( )
A.3B.3.5C.4D.4.5
【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质.
【分析】由题意推出BD=AD,然后,在Rt△BCD中,CP=
BD,即可推出CP的长度.
【解答】解:
∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=30°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠DBA=30°,
∴BD=AD,
∵AD=6,
∴BD=6,
∵P点是BD的中点,
∴CP=
BD=3.
故选A.
【点评】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质,关键在于根据已知推出BD=AD,求出BD的长度.
7.若△ABC的边长为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形C.任意三角形D.不能确定
【考点】因式分解的应用.
【分析】利用完全平方公式进行局部因式分解,再根据非负数的性质进行分析.
【解答】解:
∵a2+b2+c2=ab+bc+ca,
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0,
(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,
∴a=b=c,
∴三角形是等边三角形.
故选B.
【点评】此题考查了完全平方公式的运用和非负数的性质,即几个非负数的和为0,则这几个非负数同时为0.
8.如图,在等边△ABC中,BD、CE是两条中线,则∠1的度数为( )
A.90°B.30°C.120°D.150°
【考点】等边三角形的性质.
【分析】先根据在等边△ABC中,BD、CE是两条中线得出∠AEC与∠ADB的度数,再根据四边形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:
∵△ABC是等边三角形,BD、CE是两条中线,
∴∠AEC=∠ADB=90°,∠A=60°,
∴∠1=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°.
故选C.
【点评】本题考查的是等边三角形的性质,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
9.A,B是平面内的两个定点,在平面内找一点C,使△ABC构成等腰直角三角形,这样的C点可找( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
【考点】等腰直角三角形.
【分析】分三种情况考虑:
当A为直角顶点时,过A作AB的垂线,以A为圆心,AB长为半径画弧,与垂线交于C3、C4两点;当B为直角顶点时,过B作AB的垂线,以B为圆心,BA长为半径画弧,与垂线交于C5、C6;当C为直角顶点时,以上两种情况的交点即为C1、C2,综上,得到所有满足题意的点C的个数.
【解答】解:
A,B是平面内的两个定点,在平面内找一点C,使△ABC构成等腰直角三角形,
如图所示:
则这样的C点有6个,
故选C.
【点评】此题考查了等腰直角三角形,利用了分类的思想,根据等腰直角三角形的性质找全满足题意的C点是本题的关键.
10.如图,D、E是等边△ABC的边BC上的三等分点,O为△ABC内一点,且△ODE为等边三角形,则图中等腰三角形的个数是( )
A.4个B.5个C.6个D.7个
【考点】等腰三角形的判定;等边三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形判定和等边三角形性质得出△ODE、△ABC,求出∠ODE=∠OED=60°,OE=EC,OD=OB,求出∠OBC=∠OCB=30°,求出∠OBA=∠OCB=30°,即可得出、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC也是等腰三角形.
【解答】解:
等腰三角形有△ODE、△ABC、△ODB、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC,共7个,
故选D.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质的应用,注意:
有两边相等的三角形是等腰三角形,有两角相等的三角形是等腰三角形.
二、填空题
11.线段AB关于直线MN对称,则 MN 垂直平分 AB .
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据对称轴垂直平分对应点的连线可知:
线段AB关于直线MN对称,则MN垂直平分AB.
【解答】解:
线段AB关于直线MN对称,则MN垂直平分AB.
故填MN,AB.
【点评】主要考查了轴对称的性质.对称轴垂直平分对应点的连线.
12.在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B= 65° .
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案.
【解答】解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠A=50°,
∴∠B=(180°﹣50°)÷2=65°.
故答案为:
65°.
【点评】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握,此题难度不大,属于基础题.
13.如图,点Q在∠AOB的平分线上,QA⊥OA,QB⊥OB,A、B分别为垂足,则AQ= BQ .
【考点】角平分线的性质.
【分析】由角平分线的性质可得AQ=BQ.
【解答】解:
∵OQ平分∠AOB,且QA⊥OA,QB⊥OB,
∴AQ=BQ,
故答案为:
BQ.
【点评】本题主要考查角平分线的性质,掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
14.等腰三角形的周长为18cm,其中一边为8cm,则另两边的长分别为 2cm、8cm或5cm、5cm .
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】分8cm是腰长与底边长两种情况讨论求解.
【解答】解:
①8cm是腰长时,18﹣8×2=2cm,
所以,其余两边长为2cm、8cm,
②8cm是底边时,
(18﹣8)=5cm,
所以,其余两边长为5cm、5cm,
故答案为:
2cm、8cm或5cm、5cm.
【点评】本题主要考查了等腰三角形两腰相等的性质,难点在于要分情况讨论求解.
15.如图,在△ABC中,∠ACB=130°,AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N,则∠MCN= 80° .
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】首先由在△ABC中,∠ACB=130°,可求得∠A+∠B的度数,然后由AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N,根据线段垂直平分线的性质,可得AM=CM,BN=CN,即可得∠ACM=∠A,∠BCN=∠B,继而求得∠ACM+∠BCN的度数,则可求得答案.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠ACB=130°,
∴∠A+∠B=50°,
∵AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N,
∴AM=CM,BN=CN,
∴∠ACM=∠A,∠BCN=∠B,
∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=50°,
∴∠CMN=∠ACB﹣(∠ACM+∠BCN)=80°.
故答案为:
80°.
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.注意求得∠ACM+∠BCN=∠A+∠B是关键.
16.如图,OP平分∠AOB,PB⊥OB,OA=8cm,PB=3cm,则△POA的面积等于 12 cm2.
【考点】角平分线的性质.
【分析】过点P作PD⊥OA于点D,根据角平分线的性质求出PD的长,再由三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:
过点P作PD⊥OA于点D,
∵OP平分∠AOB,PB⊥OB,PB=3cm,
∴PD=PB=3cm,
∵OA=8cm,
∴S△POA=
OA•PD=
×8×3=12cm2.
故答案为:
12.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
17.给出一个梯形ABCD,AD∥BC,下面四个论断:
①∠A=∠D;②AB=CD;③∠B=∠C;④AC=BD.其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是 ①②③④ (填序号).
【考点】等腰梯形的判定.
【分析】由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形得出①③能判定梯形ABCD为等腰梯形;
由两腰相等的梯形是等腰梯形得出②能判定梯形ABCD为等腰梯形;
由两条对角线相等的梯形是等腰梯形得出④能判定梯形ABCD为等腰梯形;即可得出结果.
【解答】解:
①能判定;理由如下:
在梯形ABCD,AD∥BC,
∵∠A=∠D,
∴四边形ABCD是等腰梯形(同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形),
∴①能判定;
同理:
③能判定;
②能判定;理由如下:
在梯形ABCD,AD∥BC,
∵AB=CD,
∴四边形ABCD是等腰梯形(两腰相等的梯形是等腰梯形),
∴②能判定;
④能判定;理由如下:
在梯形ABCD,AD∥BC,
∵AC=BD,
∴四边形ABCD是等腰梯形(两条对角线相等的梯形是等腰梯形),
∴④能判定;
故答案为:
①②③④.
【点评】本题考查了等腰梯形的判定方法;熟练掌握等腰梯形的判定方法,并能进行推理论证是解决问题的关键.
18.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,BC=AC,∠ACD=30°,则∠D= 110° .
【考点】等腰梯形的性质.
【分析】由等腰梯形的性质得出∠B=∠BCD,设∠ACB=x,则∠B=∠BCD=x+30°,由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠BAC=∠B=x+30°,∠DAC=∠ACB=x,∠B+∠BAD=180°,得出方程,解方程求出∠BCD,即可得出∠D的度数.
【解答】解:
∵四边形ABCD是等腰梯形,AB=DC,
∴∠B=∠BCD,
设∠ACB=x,则∠B=∠BCD=x+30°,
∵BC=AC,
∴∠BAC=∠B=x+30°,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=x,∠B+∠BAD=180°,
即x+30+x+30+x=180°,
解得:
x=40°,
∴∠D=180°﹣∠BCD=180°﹣70°=110°.
故答案为:
110°.
【点评】本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质;熟练掌握等腰梯形和等腰三角形的性质,由角的关系得出方程是解决问题的关键.
三、解答题
19.如图,在正方形网格内有∠AOB,请你利用网格画出∠AOB的平分线,并说明理由.
【考点】作图—复杂作图.
【分析】利用边边边构造全等三角形,可得对应角相等,从而画出∠AOB的平分线.
【解答】解:
如图所示:
OC即为所求∠AOB的平分线.
【点评】考查角平分线上一点的确定;构造三角形全等或确定等腰三角形底边中点是解决本题的主要方法.
20.如图,△ABC绕点A旋转到AB′C′,BC与B′C′交于P,试说明AP平分∠BPC′.
【考点】旋转的性质.
【专题】证明题.
【分析】作AD⊥BC于D,AD′⊥B′C′于D′,如图,先根据旋转的性质得到△ABC≌△A′B′C′,则根据全等三角形的性质得到AD=AD′,然后根据角平分线的性质即可得到AP平分∠BPC′.
【解答】证明:
作AD⊥BC于D,AD′⊥B′C′于D′,如图,
∵△ABC绕点A旋转到AB′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′,
∴AD=AD′,
∴AP平分∠BPC′.
【点评】本题考查了旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了角平分线的性质.
21.如图,已知AB=AC,BD=DC,AD的延长线交BC于点E.
(1)试说明BE=EC;
(2)试说明AD⊥BC.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】
(1)根据SSS证明△ABD与△ACD全等,再利用等腰三角形的性质证明即可;
(2)根据等腰三角形的性质证明即可.
【解答】证明:
在△ABD与△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD,
∴△ABC是等腰三角形,
∴BE=EC;
(2)∵△ABC是等腰三角形,BE=EC,
∴AD⊥BC.
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质,以及等腰三角形的性质解答,关键是根据SSS证明△ABD与△ACD全等.
22.如图梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,BD⊥CD,求∠C的度数.
【考点】等腰梯形的性质.
【分析】由AB=AD=CD,可知∠ABD=∠ADB,又AD∥BC,可推得BD为∠B的平分线,而由题可知梯形ABCD为等腰梯形,则∠B=∠C,那么在RT△BDC中,
∠C+∠C=90°,可求得∠C=60°.
【解答】解:
∵AB=AD=CD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠DBC
∴BD为∠B的平分线
∵AD∥BC,AB=AD=CD
∴梯形ABCD为等腰梯形
∴∠B=∠C
∵BD⊥CD
∴
∠C+∠C=90°
∴∠C=60°
【点评】先根据已知条件可知四边形为等腰梯形,然后根据等腰梯形的性质和已知条件求解.
23.如图,在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F,使AD=BE=CF.
(1)试说明△DEF是等边三角形;
(2)连接AE、BF、CD,两两相交于点P、Q、R,则△PQR为何种三角形?
试说明理由.
【考点】等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由△ABC是等边三角形,AD=BE=CF,易证得△ADF≌△BED,即可得DF=DE,同理可得DF=EF,即可证得:
△DEF是等边三角形;
(2)由
(1)证得△ADF≌△BED,得到BD=AF,通过△ABF≌△CBD,得到∠ABF=∠BCD,求得∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°,同理∠PQR=∠PRQ=60°,于是得到结论.
【解答】证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∵AD=BE=CF,
∴AF=BD,
在△ADF和△BED中,
,
∴△ADF≌△BED(SAS),
∴DF=DE,
同理DE=EF,
∴DE=DF=EF.
∴△DEF是等边三角形;
(2)△PQR是等边三角形,
理由:
由
(1)证得△ADF≌△BED,
∴BD=AF,
在△ABF与△CBD中,
,
∴△ABF≌△CBD,
∴∠ABF=∠BCD,
∵∠ABF+∠CBF=60°,
∴∠CBF+∠BCF=60°,
∵∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°,
同理∠PQR=∠PRQ=60°,
∴△PQR是等边三角形.
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键.
24.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥DC于点F,BG⊥CD于点G,试说明PE+PF=BG.
【考点】等腰梯形的性质.
【专题】证明题.
【分析】过P作PH⊥BG,把BG分成两段,根据矩形得到PF=HG,再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH,继而可得出结论.
【解答】证明:
过点P作PH⊥BG,垂足为H,
∵BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG,
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°,
∴四边形PHGF是矩形,
∴PF=HG,PH∥CD,
∴∠BPH=∠C,
在等腰梯形ABCD中,∠PBE=∠C,
∴∠PBE=∠BPH,
又∠PEB=∠BHP=90°,BP=PB,
在△PBE和△BPH中
∴△PBE≌△BPH(AAS),
∴PE=BH,
∴PE+PF=BH+HG=BG.
【点评】本题考查了等腰梯形的性质,利用“截长补短法”的截长,即把较长的线段截为两段,再分别证明线段相等,从而问题得以解决.
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