学年度苏教版高中数学苏教版必修一学案33 幂函数.docx
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学年度苏教版高中数学苏教版必修一学案33幂函数
学习目标
1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.
知识点一 幂函数的概念
思考 y=
,y=x,y=x2三个函数有什么共同特征?
梳理 一般地,我们把形如____________的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1.在同一平面直角坐标系内函数
(1)y=x;
(2)y=
;(3)y=x2;(4)y=x-1;(5)y=x3的图象如图.
2.五个幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
增
在[0,+∞)上____,在(-∞,0]上____
在(0,+∞)上___,
在(-∞,0)上____
知识点三 一般幂函数的图象特征
思考 类比y=x3的图象和性质,研究y=x5的图象与性质.
梳理 一般幂函数特征
(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点________.
(2)α>0时,幂函数的图象通过________,并且在区间[0,+∞)上是单调______函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象________;当0<α<1时,幂函数的图象____________.
(3)当________时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是单调减函数.
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.
(5)在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从____到____的顺序排列.
类型一 幂函数的概念
例1 已知y=(m2+2m-2)
+2n-3是幂函数,求m,n的值.
反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x,指数为一常数这三个条件,才是幂函数.如:
y=3x2,y=(2x)3,y=
4都不是幂函数.
跟踪训练1 在函数y=
,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数为________.
类型二 幂函数的图象及应用
例2 若点(
,2)在幂函数f(x)的图象上,点(2,
)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,
(1)f(x)>g(x);
(2)f(x)=g(x);(3)f(x) 引申探究 若对于例2中的f(x),g(x),定义h(x)= 试画出h(x)的图象. 反思与感悟 注意本题中对f(x)>g(x),f(x)=g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程,是以后常用的方法. 跟踪训练2 幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA.那么αβ等于________. 类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小 例3 设a= ,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系是________. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点: 指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性,特别是要善于应用“搭桥”法进行分组,常数0和1是常用的中间量. 跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小. (1) 0.3与 0.3; (2) -1与 -1; (3) 0.3与 . 命题角度2 幂函数性质的综合应用 例4 已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足 < 的a的取值范围. 反思与感悟 幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,也可由这些性质去限制α的取值. 跟踪训练4 已知幂函数f(x)= (m∈N*). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若函数还经过点(2, ),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围. 1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点 ,则k+α等于________. 2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2, ),则f(4)的值等于________. 3.设α∈{-1,1, ,3},则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为________. 4.下列是y= 的图象的是________.(填序号) 5.以下结论正确的是________. ①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线; ②幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点; ③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大; ④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限. 1.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)当α>0时,图象过点(0,0),(1,1),在第一象限的图象上升;当α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立. (2)曲线在第一象限的凹凸性: 当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸. 3.在具体应用时,不一定是y=xα,α=-1, ,1,2,3这五个已研究熟的幂函数,这时可根据需要构造幂函数,并针对性地研究某一方面的性质. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 底数为x,指数为常数. 梳理 y=xα 知识点二 2.R R R [0,+∞) {x|x≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减 知识点三 思考 y=x3与y=x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0 梳理 (1)(1,1) (2)原点 增 下凸 上凸 (3)α<0 小 大 题型探究 例1 解 由题意得 解得 所以m=-3或1,n= . 跟踪训练1 y= 解析 因为y= =x-2,所以是幂函数; y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数; y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1=x0(x≠0),可以看出,常数函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),所以常数函数y=1不是幂函数. 例2解 设f(x)=xα,因为点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,所以,将点( ,2)代入f(x)=xα中,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2.同理可求得g(x)=x-2. 在同一坐标系里作出函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象(如图所示),观察图象可得: (1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x); (2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x); (3)当-1 引申探究 解 h(x)的图象如图所示: 跟踪训练2 1 解析 由条件知,M( , ), N( , ), ∴ =( )α, =( )β, ∴( )αβ=[( )β]α=( )α= , ∴αβ=1. 例3 b>a>c 解析 ∵y= x在R上为单调减函数, ∴ < ,即a ∵f(x)= 在(0,+∞)上为单调增函数, ∴ > ,即a>c.∴b>a>c. 跟踪训练3 解 (1)∵0<0.3<1, ∴y=x0.3在(0,+∞)上为单调增函数. 又 > , ∴ 0.3> 0.3. (2)∵y=x-1在(-∞,0)上是单调减函数, 又- <- , ∴ -1> -1. (3)∵y=x0.3在(0,+∞)上为单调增函数, ∴由 >0.3,可得 0.3>0.30.3.① 又y=0.3x在(-∞,+∞)上为单调减函数, ∴0.30.3> .② 由①②知 0.3> . 例4 解 因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0, 解得m<3.又因为m∈N*,所以m=1,2. 因为函数的图象关于y轴对称, 所以3m-9为偶数,故m=1. 则原不等式可化为 < . 因为y= 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,
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