微积分公式及定积分计算练习.docx

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微积分公式及定积分计算练习

微稅分公式与定稅分廿算练习（附加三角函

数公茨）

一、基本导数公式

⑴（C°

（2）宀旷（3）（g）'=cosx

⑷（cosx）=-sinx（5）（kmx）=sec2x^（cotx）=-esc2x

（7）（secx）=secx・tanx（8）（cscx）=-cscxcotx

（log*）'=—1—（arcsinx）=2_.（arccosx）=_--^=

⑫'7x\na丁1一2（⑷”1一2^（arctanx/^^Carccotx；=-占肋（0=1

二、导数的四则运算法剧

（w±v）=11±Vr（MV）=ll'v+UV

三、高阶导数的运算法剧

（1）［"（WWxF—WQWx）1'”

⑴d（c）=0⑵〃（x"）=“严么⑶〃（sinx）=cosxdx

（4）〃（cosx）=_sin人〃v（5）d（tanx）=sec2xdx伦）d（cotx）=-esc2xdx

（7）d（secx）=secx・tanxdx侶）d（escx）=-escxcotxdx

^.d（ex\=exdx.^.d（ax\=ax\nadx,.

⑼'丿（10'丿（11）

d（arctanx）=〔】、dxd（arccot-v）=-〔】、dx

七.基本稅分公式

+c

\na

⑺j*sinxdx=-cosx+c

f——dx=fsec2xdx=tanx+c⑻」cos*xJ

dx=arctanx+c

f—L—=fesc2xdx=-cotx+cf—

⑼」siirxJ（10」1+对

fdx=arcsinx+c

（11）Jl-F

八、补充秋分公貳

Jtanxdx=-In|cosx|+cJcotxdx=In|sinx|+c

Jsecxdx=ln|secx+tanx|+cjescxdx=In|cscx-cotx\+c

c11xfl»x-a

dx=\nx+yjx2±a2

J1..Jx=arcsin-+c[1.

九.下列常用凑flt分公茨

枳分塑

换元公式

Jf（ax+bylx=—jf（or+/"/（ov+b）

u=ax+b

”（才艸・加=丄”（兀字3“）

1（=好

jf（Inx）—dx=^/（Inx"（Inx）

X

u=Inx

u=ex

u=ax

J/（sinx）・cosxdx=|/（sinx^l（sinx）

u=sinx

Jf（cosx）・sinxdx=-J/（cosx*/（cosx）

U=COSX

j/（tanx）sec2xdx=J/（tanx）t/（tanx）

u=tanx

Jf（cotx）・esc2xdx=|/（cotx）c/（cotx）

u=cotX

j/'（arctanx）•—匚tAv=j/（arctanx）c/（arctanx）

u=arctanx

ff（arcsinx）-,dx=f/（arcsina（arcsinx）

厂Vl-x2J

w=arcsinx

十、分部积分法公式

⑴形如J""%,令«=dv=eaxdx形』Xsin皿令U=Xn,dv=sinxdx形』x”cos皿令十,dv=COsxdx⑵形如JV，!

aiCtanXcix,令“=arctanxclv=xnclx形如JV4,令u=Inxtdv=x'ldx

⑶形如FShl皿」严CQSxdx令“=严,血x,cosx均可十一、第二换元稅分法中的三角換元公貳

⑴J/x=osin/⑵J，+Fx=atant（3）~ax=asect

【将殊角的三角函数值】

（1）sin0=0

兀1

sin—=_

（2）62（3）

龙>/3

sin—=——

32

sin—=1

（4）2

（5）sin龙=0

（1）cosO=1

k73

cos—=——

62

（1）tan0=0

（2）

tanM

63

（3）

tan?

=^

（4）

tan—

2不存在（5）tan^=0

（1）8t°不存在

（2）

cot-=V3

6

（3）

cot—

3

（4）

7Tc

cot—=0

2（5）co”不存在

十二.重要公式

（1）

（10）

limex=oo

（12）

（系数不为0的怖况）

1-cosx-

sinx〜xtanx〜xarcsinx〜xarctanx~xln（l+x）~U~2—l~xlz

十四、三角函数公衣

1•两角和公实

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A一3）=sinAcosB一cosAsinBcos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sin4sin3

z4c、tanA+tan3z4补tanA-tanB

tan（A+B）=tan（A-B）=

1-tanAtanB1+tanAtanB

/,cotA・cot3—1z4c、cotAcotB+\

cot（A+B）=cot（A_B）=

cotB+cotAcotB-cotA

2•二倍角公式

sin2A=2sinAcosAcos2A=cosA-sin2A=l-2sin2A=2cos2A-l

2tan>4

tan2A=—

1-tan"A

3•半角公成

.A/1-cosAA/1+cosA

Sin7_V—2—COS2~\—2—

4

•和差化秋公

6•万能公衣

2tanI

1+tan

2tan—

2

sina=cosa=

1-tan2—

—tana=

2-1-tan2-

22

7•平方关系

sin2x+cos2x=1sec2x-tan2x=\csc2x-cot2x=l

8.fl«关系

tanx・cotx=lsecx-cosx=1cscxsinx=\

9•商数关系

sinxcosx

tanx=cotx=

cosxsinx

十五.几种常见的St分方程

dy

1•可分离变量的做分方程：

页

=/（x）g（y）

/1（x）gi（y）^+z（x）g2（y）dy=o

2•齐次做分方程:

解为广"平（4s

dv

3.—阶拔性非齐次St分方程：

^+，，（A）V=（?

（A）

髙考定稅分应用常见題型大全

选择题（共21小愿）

1.（2012.）$0图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,囲点P怡好取自明彫部分

A.1

B.1

C.1

D・1

4

5

6

7

2.（2010.）由曲ay=x2,y=x3围成的齐闭图形面枳为（）

A.1

B.1

C.1

D.7

12

4

3

12

2,汪[0,1]

3•设f（x）=l2-^圧（1，2],因数图象与x讷围成討闭区域的而枳为（）

A.3

B.

4

5

C.

5

6

D.

6

7

4

（2对丄）

dx

4.

定枳分1

X

的值为（

）

A.

9

B.

3+ln2

c.

3-ln2

D.

6+ln2

4

5.如图所示，曲Sy=x2和曲Sy=V^围成一个叶形图（明影跚分），貝面枳是（）

D・返

2

J2开（x+cosx）dx

6.飞=（）

D.4

A.TtB.2C.

-n

7.已知函»f（x）的定义域Jl[-2,4],且f（4）=f（・2）虬f（x）为f（x）的导函数,

函数y=f（x）的图象如图所示，團平面区锁f（2a+b）<1（a^O,b^O）所围成的而枳是

8.

foVdx与fo1exdx相比有关系氏（

）

A.

2

B.2

/o'e'dx

Jo1e/Je”dx

C.

2

D.z

（f

JJexdx=（01e'dx

9.

若a=

jJTO丄HQ

T

「1,b=Jo

cosxdx,则a与b的关系是（

A.

a

B.a>b

C.a=b

10.

ra

J0

（{1-

Cx-1）2

"X2）%值是（

）

A.

7T_

1

B.兀_

■1C・兀一

.1

4

3

4

32

3

Srsinxdx

）

D.a+b=O

D.兀

11.若f（x）=2

A.1

2+e2-e

X>1

hX<1（e为自然对数的U数），则；of3）

1

2-e2+e

B.1

2+e

c.

D.

dx,

=（

丄

-・e

12.已知f（x）=2-|x|,M3dx=（

A.3B.4C.

）

3.5

D.

4.5

13.设f（x）=3-|x-1|,|J22f（x）dx=（

A.7

B.8

C.

7.5

D.

6.5

14.枳分『三aVa2-x2dx；

15.

f

巳知函数

A.

1/2

16.

是（

A.4

（x）二

C.

na2

D.

2na2

cosx,

"x+b0

B.1

C.2

D.3/2

_3兀

由因数y=cosx（0wxw2h）的图象与頁线*2Ky=l

Bi围成的一f封团图％的面枳

C.7T“

T+1

°2n

17.曲Sy=x3在点（1,1）5b的幼裁与x轴及直线xT两围成的三角形曲而枳为（）

A・丄B・2

126

C.1

3

D.丄

2

A.16

B.18

C.20

D.22

19.如图中阴影跚分的面枳是（

尸sin.（x-

20.曲线

A.V2

T

-手）（0

44与坐标轴围成的面枳是（）

B.2-^2C.V2D.QV2

2p

k

21.如图，P（3a,a）是反比网函y=x（k>0）与00的一个交点，图中明影册分的面枳

髙考定稅分应用常见題型大全（含答案）

参考答案与試题解析

选择題（共21小題）

1.（2012.）50图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,IM点P恰好取自明影部分

的側率为（）

考/定枳分在求面枳中的应用;JI・501974

专趣：

计算臥

分析：

根H題意，易得正方形OABC的面枳，观察图形可得，阴黔部分由因数XX与戶"匚围成，由定枳分公式，廿算可得阴黔部分的面枳，逍而由几何槪塑公衣廿算可得答案.

解答：

解:

禺据题意,正方形OABC的面枳为1x1=1,

_222

而明黔部分由因数y=x与戶换围成，貝面枳为山（讥・x）dx=（亏/・2）|上瓦

1

6_1

则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的御率为二乞；故选C.

fiih本题考査几何枫世的廿算，涉及定枳分在求面枳中的应用，关进是正彌卄算出阴影跚分的面枳・

考点：

定枳分在求面枳中的应用.501974

专趣：

计算题.

分析：

要求曲8y=x,y=x3围应的討阳图形面枳,根据定稅分的几何意义,只要求/o1（x2-

Xs）dxU可.

解答：

解：

由题意得，两曲线的交点坐标是（1,1）,（0,0）故枳分区间是[0,1]

—X1-AXl~-

所求封闭图形的面枳为丿oUx2・x3）dx=3412,

故选A.

目评：

本题考査定枳分的星胡知识，由定枳分求曲线围戒封闭图形的面枳.

x2,xE[0,1]

3•设f（x）=l2_x»圧（1，2],因数图象与x抽围成討ffl区域的而枳为（）

A.3B.4C._5D._6

4567

考点：

分段函数的解折貳*法及其图象的作法；因数的图象；定枳分在求面枳中的应用.501974

专趣：

计算題；数形结合.

分析「利用坐标系屮作出函数图象的形状，通过定枳分的企貳，分别对两部分用定枳分求出其面枳，再把它们«|加，即可求出围戒的封用区域曲血图形的面枳.

故选C

自评：

本題考査分段因数的图象相定枳分的运用，考查枳分与曲ii图形面枳的关系，属干中時題•解題关邃是找出被枳函数的原函数，注恿运算的准确性・

考点：

定枳分；傲枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974

专题:

廿算臥

分析：

由題设条件，求岀被枳函数的原函数，然后根掘槪枳分基本定理求岀定枳分的值即可.解答：

r2（2x+-）dx

解:

1X=（x2+lnx）|i2=（22+ln2）-（12+ln1）=3+ln2

故选B.

Sih本題考査求定枳分，求解的关建是拿常住定枳分的定义及相关因数的导数的求法，属于基胡題・

考/定枳分；定枳分的简单应用.501974

专題：

计算臥

分析：

味立由曲Sy=x2fn曲找X仮两个解桥貳求出交点坐林，然后在XG（0,1）区间上

利用定枳分的方法求出围应的面枳即可.

（x=l（x=0解得（尸1或ty=o,

设曲线与頁线围应的面枳力s,

_1

囲s=J'o1（Vx-X2）dx=3

故选：

C

目评：

考查学生求因数交点帝法的能力，利用定枳分求图形而枳的能力.

J2开（x+cosx）dx

6.一"=（）

A.TiB.2

考fi：

a枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974

专题:

计算臥

分析：

1

由于F（x）=2x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F（x）二f（x）,ffi据J?

f（x）dx=F（x）『公氏即可求出值.

解苔：

1

解：

•・•（2x2++sinx）=x+cosx,

=（2x2+sinx）2

=2.

故笞案为:

2.

点评：

此題考査学生拿捋函数的求导法则，会求因数的定枳分运算，是一道基就臥

7.已知函at（x）的定艾域为［-2,4］,flf（4）=f（-2）=1,f'（x）^f（x）的导函数,

函数y=f*（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）<1（a5：

0fbMO）两围成的面枳是

考点:

定枳分的简单应用.501974

分ffi：

ffilg导函数的图象，分桥原函数的性喷或作出原函数的草图，找出a、b満足曲条件,画出平面区域，即可*解.

解答•

2解:

由图可知［・2,0）上f（x）<0,

函数f（x）在［・2,0）上单期递«,（0,4］上r（x）>o,

•••因数f（x）在（0,4］上单调递增,

故在［・2,4］上，f（x）的最大值为f（4）=f（・2）=1,

r-2<2a-Hb<4

《a>0

.-.f（2a+b）<1（azO,b^O）=>〔b》0

表示的平而区域如图所示：

故选B.

Sih本題考査了导数与函数单燜It的关系及找性规则问题的绘台应用，属干高苗題•解决时要注意数形结合思想应用.

2

8.

j01exdx与Jo*exdx相比有关系式（

C.z

（f01exdx）2=f01exdx

考点:

定枳分的简单应用;定枳分.501974

专题：

计算亂

分析：

2

根据枳分所表示的几何意义是WiSx=0,x=1及函9y=ex或y=e‘在图象第一象限岡W与坐标轴围成的面枳，只需酉出函数图象规察而枳大小即可.

解皐解:

/Mix表示的几何意义是WSSx=0,x=1及函fiy=ex在图象第一象限职与坐标轴围成的面枳,

Jo'ex"dx表示的几何豆义是111^x=0,x=1及函»y=ex'在图象第一象限同*与坐标箱囲成的面枳,

如因

22

••当0e“,故有：

joexdx>f01e'dx

故选B.

定枳分运算是求导的逆运算，解題的关邃是求原因数，也可u于基雷題.

Jrsinxdx|

9.若圧T,b=；Ocosxdx,Ha与b的关系是（）

A.abC.a二bD.a+b=O

考点：

定枳分的简单应用.501974专題：

计算臥

cos114.6°=sin24.6°,

b=」0cosxdx=sinxI0=Sjn1-sin0=sin1-sin57.3°,

・•・b>a.

故选A.

Sih本题考査定枳分的应用，是基础題.解题时娶汰真审題，仔细解答.

考点：

定枳分的简单应用.501974

专题：

计算題.

分桥：

根据枳分两表示的几何意义是以（1,0）为岡心，1为半径第一象限岡％与施物裁XX?

在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，只需求出風的面枳秦以呱分之一与Uft物我在第一象限的部分与x轴flisx=i围成的图形的面枳即可.

解答：

解；枳分所表示曲几何意义是£1（1,0）为風心，1为半径第一象限同扳与施掏找y=x?

在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，

故只需求出岡的而枳秦以呱分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和頁线x=1围应的图形的面枳之差.

I仃7T、勺7T1311

即打（Ji匸"17巨-恭）d*=E.瑞/djz.gxiLt_i故苔案选A

目评：

本題主要考查了定枳分，定枳分运算是*导的逆运算，解題的关邃是求原因数，也可利用几何意义怖求R,BT1«8

考点:

定枳分的简单应用.501974

专題：

廿算臥

分析：

由于因数力分段函数，枚将枳分区同分为两部分，进而分别求出祁应的枳分，即可得到结论.

解答：

解：

Spf（x）dx=sJxdx+/\（-ex）dx_^x2丨|[寺-/+e故选C.

点评：

本題車点考查定枳分，解趣的关址是將枳分区冋分为两部分，再分别求出相应的枳分.

12.Bfflf（x）=2-|x|,H；-lf3）dx=（）

A.3B.4C.3.5D.4.5

由題意，『°匹⑴山二j匕1（2+Q如凭（2-"气由就可求定枳分的E.

解：

由題意，

J3[f（x）dx=J11（2+x）dx+q（2~x）dx_（）|j十

（2x-丄21

12X丿I也2・2+4・2=3.5

故选C.

点本題考查定枳分的it算，解題的关扯是利用定枳分的性质化为两个定枳分的和.

评：

13.设f（x）=3・|x・1|,呱J/（x）dx=（）

A.7B.8C.7.5D.6.5

考点:

定枳分的简单应用.501974

专趣：

廿算臥

分析：

J/（x）dx=/*（3・|x・1|）dx,将J*（3・|x・1|）dx转化成丿（2+x）dx+/,2

（4・x）dx,然后根曾定枳分的定义先求岀被枳函数的原函数，於后求解即可.

解苔：

丄，

解：

J22f（x）dx=J-22（3-|x-1|）dx=f2（2+x）dx+fi2（4-x）dx=（2x+2x2）|丄

2'+（4x-2X2）h2=7

故选A.

fii?

：

本趣壬要考查了定积分，定枳分运第是求导的逆运算，同时考査了转化与划IH的思想，属于SMg.

14.枳分-aVa2~x2

D.

考点：

定枳分的简单应用;定枳分.501974

专題：

计算臥

分析：

J2_―2

本蝕利用定枳分的几何意艾it算定枳分，即求被枳因数x与x轴所围成的图形的面枳,围成的图象是半个亂

解苔：

raa/2-―av

解：

禺稠定枳分的几何意艾，则」-aVaxdx表示岡心在原点，半径为3的岡的上半同的面枳，

故J爲需F嗨"3兮兀/

故选B.

fiih本小題主要考查定枳分、定枳分的几何意义、岡的面枳等基罐知识，考查考査数形结

合思亂属于基妣題・

15.巳知因数1一齢1,0

A.1/2B.1C.2D.3/2

考点:

定枳分在求面枳中的应用.501974

专題：

廿算题.

分析：

根据几何图形用定枳分表示岀所围成的封闻图形的面枳，求岀函数f（x）的枳分，求岀所求即可.

解iJ彳（-x+1）dx+J°jtcosxdx

解：

由題意图象与X轴所围戒图形的面枳为一厅

=（・2*+x）|0'+sinx2

1

=2+1

=2

点评：

本題考査定枳分在求面枳中的应用，求解的关邃是正确利用定枳分的运算规则求岀定枳分的值，本题易因力对两个知识直不熟悉公述用猜而导致錯误，牢固拿捋好基隅知识很車雯.

3兀

16.由因数y=cosx（0wxw2ii）的图象与頁线“巳及yT两围成的一个齐闭图形的而枳是（）

A.4B.3兀-C.兀*D.°

考点:

定枳分在求面枳中的应用.501974专題:

计算题.

分:

丫』

由题意可知函数*COSX（0WXW2ti）的图象与頁线"2及y卄围成的一个封囲图竺

9

形可利用定枳分进｛亍廿算，只要求门（1-cosx）dxI!

PnJ.然后根据枳分的运算公式进行求解即可.

解答：

__3兀

解：

由函数0cosx（owxw2ii）的图象与ISX=^~gy=1围成的一个封用图形的面枳，

3打3尺

29

就是：

fc（1-cosx）dx=（x-sinx）|c

Sih本题考査余弦因数的图象，定枳分，考查廿算能力，解題的关进是两挟封冈图形的面枳之和规是上跚頁接枳分騷去下跚枳分.

17.曲Sy=x3在点（1,1）ft的幼找与x轴员直线xT所围成的三角形的而枳为（）

A.1