高届高级物理一轮复习优化方案全套学案第四章曲线运动万有引力与航天4第四节万有引力与航天.docx
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高届高级物理一轮复习优化方案全套学案第四章曲线运动万有引力与航天4第四节万有引力与航天
第四节 万有引力与航天
【基础梳理】
提示:
椭圆 一个焦点 面积 半长轴 公转周期 质量m1和m2的乘积 它们之间距离r的二次方 G 质量分布均匀
【自我诊断】
判一判
(1)所有物体之间都存在万有引力.( )
(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心.( )
(3)两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大.( )
(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关.( )
(5)同步卫星可以定点在北京市的正上方.( )
(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度.( )
提示:
(1)√
(2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
做一做
(2019·吉林长春高三质检)2016年2月11日,美国科学家宣布探测到引力波,证实了爱因斯坦100年前的预测,弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”.双星的运动是产生引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a星的周期为T,a、b两颗星的距离为l,a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的),则( )
A.b星的周期为T
B.a星的线速度大小为
C.a、b两颗星的轨道半径之比为
D.a、b两颗星的质量之比为
提示:
选B.a、b两颗星体是围绕同一点绕行的双星系统,故周期T相同,选项A错误;由ra-rb=Δr,ra+rb=l得ra=,rb=,所以=,选项C错误;a星的线速度v==,选项B正确;由maω2ra=mbω2rb,得==,选项D错误.
对万有引力定律的理解及应用
【知识提炼】
1.地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果,其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力,另一个分力等于重力.
(1)在两极,向心力等于零,重力等于万有引力;
(2)除两极外,物体的重力都比万有引力小;
(3)在赤道处,物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上,则有F=F向+mg,所以mg=F-F向=-mRω.
2.星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转);mg=G,得g=.
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为g′,mg′=,得g′=
所以=.
3.天体质量和密度常用的估算方法
使用方法
示意图
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
G=mr
M=
只能得到中心天体的质量
r、v
G=m
M=
v、T
G=mT=
M=
利用天体表面重力加速度
g、R
mg=
M=
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
G=mrM=ρπR3
ρ=
当r=R时
ρ=
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg=M=ρπR3
ρ=
【典题例析】
(多选)近期天文学界有很多新发现,若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T、引力常量为G.下列说法正确的是( )
A.如果该星体的自转周期T<2π,则该星体会解体
B.如果该星体的自转周期T>2π,则该星体会解体
C.该星体表面的引力加速度为
D.如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动,则该卫星的速度大小为
[审题指导] 解体的临界条件是万有引力恰好完全提供向心力.
[解析] 如果在该星体“赤道”表面有一物体,质量为m′,当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需的向心力时,即G>m′R时,有T>2π,此时,星体处于稳定状态不会解体,而当该星体的自转周期T<2π时,星体会解体,故选项A正确,B错误;在该星体表面,有G=m′g′,所以g′=G,故选项C错误;如果有质量为m″的卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动,有G=m″,解得v=,故选项D正确.
[答案] AD
【迁移题组】
迁移1 开普勒三定律在椭圆轨道上的应用
1.(多选)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A.从P到M所用的时间等于
B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大
C.从P到Q阶段,速率逐渐变小
D.从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功
解析:
选CD.在海王星从P到Q的运动过程中,由于引力与速度的夹角大于90°,因此引力做负功,根据动能定理可知,速率越来越小,C项正确;海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间,因此从P到M的时间小于,A项错误;由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用,引力做功不改变海王星的机械能,即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒,B项错误;从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°,因此引力做负功,从Q到N的过程中,引力与速度的夹角小于90°,因此引力做正功,即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功,D项正确.
迁移2 星球附近重力加速度的求解
2.宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象.若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A.0 B.
C.D.
解析:
选B.飞船受到的万有引力等于它在该处所受的重力,即G=mg,得g=,选项B正确.
迁移3 天体质量和密度的计算
3.(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月,我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10-11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3
C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3
解析:
选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力,根据G=m,M=ρ·πR3,得ρ=,代入数据解得ρ≈5×1015kg/m3,C正确.
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径.卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径.卫星的轨道半径大于等于天体的半径.
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间.自转周期与公转周期一般不相等.
卫星运行规律及特点
【知识提炼】
1.卫星的轨道
(1)赤道轨道:
卫星的轨道在赤道平面内,同步卫星就是其中的一种.
(2)极地轨道:
卫星的轨道过南北两极,即在垂直于赤道的平面内,如极地气象卫星.
(3)其他轨道:
除以上两种轨道外的卫星轨道,且轨道平面一定通过地球的球心.
2.地球同步卫星的特点:
六个“一定”
3.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
4.解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时,万有引力等于重力,即G=mg,整理得GM=gR2,称为黄金代换.(g表示天体表面的重力加速度)
(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即
G=m=mrω2=m=man.
【典题例析】
(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍.P与Q的周期之比约为( )
A.2∶1 B.4∶1
C.8∶1D.16∶1
[解析] 由开普勒第三定律得=k,故===,C正确.
[答案] C
【迁移题组】
迁移1 卫星运行参量的比较
1.地球赤道上有一物体随地球的自转,所受的向心力为F1,向心加速度为a1,线速度为v1,角速度为ω1;绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略),所受的向心力为F2,向心加速度为a2,线速度为v2,角速度为ω2;地球的同步卫星所受的向心力为F3,向心加速度为a3,线速度为v3,角速度为ω3;地球表面的重力加速度为g,第一宇宙速度为v,假设三者质量相等,则( )
A.F1=F2>F3B.a1=a2=g>a3
C.v1=v2=v>v3D.ω1=ω3<ω2
解析:
选D.地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同,角速度相同,即ω1=ω3,根据关系式v=ωr和a=ω2r可知,v1<v3,a1<a3;人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动,它们受到的地球的引力提供向心力,即G=mω2r==ma可得v=,a=G,ω=,可见,轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小,即v2>v3,a2>a3,ω2>ω3;绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度,即v2=v,其向心加速度等于重力加速度,即a2=g;所以v=v2>v3>v1,g=a2>a3>a1,ω2>ω3=ω1,又因为F=ma,所以F2>F3>F1.由以上分析可见,选项A、B、C错误,D正确.
迁移2 同步卫星的运行规律分析
2.(2016·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为( )
A.1hB.4h
C.8hD.16h
解析:
选B.设地球半径为R,画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图,如图所示.由图中几何关系可得,同步卫星的最小轨道半径r=2R.设地球自转周期的最小值为T,则由开普勒第三定律可得,=,解得T≈4h,选项B正确.
迁移3 宇宙速度问题
3.(多选)据悉,2020年我国将进行第一次火星探测,向火星发射轨道探测器和火星巡视器.已知火星的质量约为地球质量的,火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C.发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D.火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的
解析:
选CD.要将火星探测器发射到火星上去,必须脱离地球引力,即发射速度要大于第二宇宙速度,火星探测器仍在太阳系内运转,因此从地球上发射时,发射速度要小于第三宇宙速度,选项A、B错误,C正确;由第一宇宙速度的概念,得G=m,则v1= ,故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为 =,选项D正确.
迁移角度
解决办法
易错警示
卫星运行参量的比较
万有引力提供向心力“黄金代换”法
注意比较对象是否脱离地面,若脱离,则可用“高轨低速、低轨高速”的结论来判断;若未脱离,则可与地球看成一个整体,利用v=rω来判断
同步卫星的运行特点
结论法
充分利用同步卫星轨道的六个“一定”的特点,利用与地球同步转动的特点来分析计算
宇宙速度问题
临界条件判断法“黄金代换”法
利用近地卫星特点得出第一宇宙速度的表达式v1==,并充分理解环绕速度、脱离速度、逃逸速度的含义
双星及多星模型
【知识提炼】
1.模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近.
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动.
(2)多星系统的结构
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供,故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
两星转动方向相同,周期、角速度相等
—
2.思维引导
【跟进题组】
1.(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100s时,它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和D.各自的自转角速度
解析:
选BC.由题意可知,合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈,则两中子星的周期相等,且均为T=
s,两中子星的角速度均为ω=,两中子星构成了双星模型,假设两中子星的质量分别为m1,m2,轨道半径分别为r1、r2,速率分别为v1、v2,则有:
G=m1ω2r1、=m2ω2r2,又r1+r2=L=400km,解得m1+m2=,A错误,B正确;又由v1=ωr1、v2=ωr2,则v1+v2=ω(r1+r2)=ωL,C正确;由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度,D错误.
2.(多选)2018年5月25日21时46分,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动,进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道.当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示,人们称为地月系统拉格朗日点)上时,会在月球与地球的共同引力作用下,几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动,下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)( )
A.“鹊桥”位于L2点时,“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等
B.“鹊桥”位于L2点时,“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度
C.L3和L2到地球中心的距离相等
D.“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大
解析:
选ABD.“鹊桥”位于L2点时,由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动,所以“鹊桥”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等,又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期,故选项A正确;“鹊桥”位于L2点时,由于“鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同,“鹊桥”的轨道半径大,根据公式a=r分析可知,“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度,故选项B正确;如果L3和L2到地球中心的距离相等,则“鹊桥”在L2点受到月球与地球引力的合力更大,加速度更大,所以周期更短,故L2到地球中心的距离大于L3到地球中心的距离,选项C错误;在5个点中,L2点离地球最远,所以在L2点“鹊桥”所受合力最大,故选项D正确.
卫星的变轨问题
【知识提炼】
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示.
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.
(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
示意图
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与向心力的大小关系
G G>m 变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 新圆轨道上运动的速率比原轨道的小,周期比原轨道的大 新圆轨道上运动的速率比原轨道的大,周期比原轨道的小 动能减少、势能增大、机械能增大 动能增大、势能减小、机械能减小 【典题例析】 如图所示,1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图,1轨道的半径为R,2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图,3轨道与2轨道相切于B点,O点为地球球心,AB为椭圆的长轴,三轨道和地心都在同一平面内.已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等,引力常量为G,地球质量为M,三颗卫星的质量相等,则下列说法正确的是( ) A.卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能 B.若卫星在1轨道上的速率为v1,卫星在2轨道A点的速率为vA,则v1<vA C.若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3,卫星在2轨道A点的加速度大小为aA,则aA<a1<a3 D.若OA=0.4R,则卫星在2轨道B点的速率vB> [审题突破] 卫星变轨过程中速度变化要从离心、向心的角度来分析,而加速度要从受力的角度来分析. [解析] 2、3轨道在B点相切,卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的,卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度,因卫星质量相同,所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能,A错误;以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点,则v4<vA,又因v1<v4,所以v1<vA,B正确;加速度是万有引力产生的,只需要比较卫星到地心的高度即可,应是aA>a1>a3,C错误;由开普勒第三定律可知,2轨道的半长轴为R,OB=1.6R,3轨道上的线速度v3=,又因vB<v3,所以vB<,D错误. [答案] B 【迁移题组】 迁移1 卫星变轨过程中运动参量的变化分析 1.(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号单独运行时相比,组合体运行的( ) A.周期变大 B.速率变大 C.动能变大D.向心加速度变大 解析: 选C.组合体比天宫二号质量大,轨道半径R不变,根据=m,可得v=,可知与天宫二号单独运行时相比,组合体运行的速率不变,B项错误;又T=,则周期T不变,A项错误;质量变大、速率不变,动能变大,C项正确;向心加速度a=,不变,D项错误. 迁移2 卫星的追及、相遇问题 2.(2019·江西重点中学联考)小型登月器连接在航天站上,一起绕月球做匀速圆周运动,其轨道半径为月球半径的3倍,某时刻,航天站使登月器减速分离,登月器沿如图所示的椭圆轨道登月,在月球表面逗留一段时间完成科考工作后,经快速启动仍沿原椭圆轨道返回,当第一次回到分离点时恰与航天站对接,登月器的快速启动时间可以忽略不计,整个过程中航天站保持原轨道绕月运行.已知月球表面的重力加速度为g,月球半径为R,不考虑月球自转的影响,则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( ) A.10π-6πB.6π-4π C.10π-2πD.6π-2π 解析: 选B.当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时,应用牛顿第二定律有=m,r=3R,则有T=2π=6π.在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力,可得GM=gR2,所以T=6π ①,登月器在椭圆轨道上运行的周期用T1表示,航天站在圆轨道上运行的周期用T2表示,对登月器和航天站依据开普勒第三定律有== ②,为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接,登月器可以在月球表面停留的时间t应满足t=nT2-T1(其中n=1、2、3、…) ③,联立①②③式得t=6πn-4π(其中n=1、2、3、…),当n=1时,登月器可以在月球上停留的时间最短,即tmin=6π-4π. 1.从引力和向心力的关系分析变轨问题 (1)卫星突然加速(通过发动机瞬间喷气实现,喷气时间不计),则万有引力不足以提供向心力,<m,卫星将做离心运动,变轨到更高的轨道. (2)当卫星突然减速时,卫星所需向心力减小,万有引力大于向心力,卫星变轨到较低的轨道. 2.变轨问题考查的热点 (1)运动参量的比较: 两个轨道切点处,加速度由=ma分析,式中“r”表示卫星到地心的距离,a大小相等;由于变轨时发动机要点火工作,故线速度大小不等. (2)能量的比较: 在离心运动过程中(发动机已关闭),卫星克服引力做功,其动能向引力势能转化,机械能保持不变.两个不同的轨道上(圆轨道或椭圆轨道),轨道越高卫星的机械能越大. 卫星运动规律分析 [典例] (多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后,先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系列过程,在离月面4m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止);最后关闭发动机,探测器自由下落.已知探测器的质量约为1.3×103kg,地球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重力加速度大小约为9.8m/s2.则此探测器( ) A.在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9m/s B.悬停时受到的反冲作用力约为2×103N C.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒 D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 核心考点 1.万有引力定律的应用. 2.受力平衡. 3.机械能守恒条件. 命题技巧 1.探测器的运动分成若干阶段. 2.通过月球与地球的数据对比,可得月球上的重力加速度. 3.万有引力提供向心力用来解决速度问题. 核心素养 1.物理观念: 运动观念、受力观念. 2.科学思维: 卫星运动模型. [审题关键] (1)悬停状态时探测器的受力平衡. (2)由地球与月球质量和半径的比可得月球表面重力加速度. [解析] 设月球表面的重力加速度为g月,则==·=×3.72,解得g月≈1.7m/s2.由v2=2g月h得,着陆前的速度为v==m/s≈3.7m/s,选项A错误.悬停时受到的反冲力F=mg月≈2×103N,选项B正确.从离开近月圆轨道到着陆过程中,除月球引力做功外,还有其他外力做功,故机械能不守恒,选项C错误.设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2,则===<1,故v1 [答案] BD 易错展示 (1)变轨过程中,除引力做功外还有其他力做功. (2)关闭发动机前悬停状态的速度为零. 【对点训练】 2017年6月15日,我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功将硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”发射升空,卫星顺利进入预定轨道.此次发射任务圆满成功,填补了我国空间X射线探测卫星的空白,实现了我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越.已知“慧眼”卫星A做圆周运动的轨道半径约为地球半径的1.1倍,地球同步卫星B做圆周运动的轨道半径约为地球半径的6.6倍,C为赤道上某建筑物,则( ) A.A和B的线速度之比约为1∶6 B.B和C的向心加速度之比约为1∶6.6 C.A和C的角速度之比约为∶36 D.A和C的向心加速度之比约为237.6∶1 解析: 选D.根据v=可知,A和B的线速度之比约为vA∶vB=∶=∶1,选项A错误;B和C的角速度相同,根据a=ω2r可知B和C的向心加速度之比约为aB∶aC=6.6R∶R=6.6∶1,选项B错误;根据ω=可知,ωA∶ωB=∶=6∶1,选项C错误;根据a=可知,aA∶aB=6.62∶1.12=36∶1,则aA∶aC=237.6∶1,选项D正确. (2019·浙江名校协作体高三联考)我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射,将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信.“墨子”将由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道.此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7.G7属地球静止轨道卫星(高度约为36000千米),它将使北斗系统的可靠性进一步提高.关于卫星以下说法中正确的是
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