高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数37合情推理与演绎推理试题理.docx
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高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数37合情推理与演绎推理试题理
考点测试37 合情推理与演绎推理
一、基础小题
1.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴;……,如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( )
A.只B.66只
C.63只D.62只
答案 B
解析 根据题意可知,第一天共有蜜蜂1+5=6只;第二天共有蜜蜂6+6×5=62只;第三天共有蜜蜂62+62×5=63只;……;故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66只,选B.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an=( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 由a1=1,可得a1+a2=4a2,即a2=,同理可得a3=,a4=,所以选B.
3.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28B.76
C.123D.199
答案 C
解析 记an+bn=f(n),则f(3)=f
(1)+f
(2)=1+3=4;f(4)=f
(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.
4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推各班人数都超过50人
B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质
C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D.在数列{an}中,a1=1,an=,由此归纳出{an}的通项公式
答案 C
解析 A、D是归纳推理;B是类比推理;C运用了“三段论”是演绎推理.
5.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:
若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )
A.f(x)B.-f(x)
C.g(x)D.-g(x)
答案 D
解析 由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当f(x)是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x).
6.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“a,c∈C,则a-c=0⇒a=c”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;④“若x∈R,则|x|<1⇒-1 其中类比结论正确的个数有( ) A.1B.2 C.3D.4 答案 B 解析 ①在复数C中,若两个复数满足a-b=0,则它们的实部和虚部均相等,则a、b相等,故①正确;②在有理数Q中,若a+b=c+d,则|a-c|+(b-d)=0,解得a=c,故②正确;③若a,b∈C,当a=1+i,b=i时,a-b=1>0,但a、b是两个虚数,不能比较大小,故③错误;④若Z∈C,当Z=i时,|Z|<1,但是Z是虚数,不能比较大小,故④错误,故只有两个结论正确,选B. 7.已知=2,=3,=4,…,若=a(a,t均为正实数),类比以上等式,可推测a,t的值,则t-a=( ) A.31B.41 C.55D.71 答案 B 解析 观察所给的等式,等号左边是,,,…,等号的右边是2,3,…,则第n个式子的左边是,右边是(n+1)·,故a=7,t=72-1=48.t-a=41,故选B. 8.已知结论: “在正△ABC中,若D是边BC的中点,G是△ABC的重心,则=2”.若把该结论推广到空间,则有结论: “在棱长都相等的四面体A-BCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”,则=( ) A.1B.2 C.3D.4 答案 C 解析 图设正四面体的棱长为1,则易知其高AM=,此时易知点O即为正四面体内切球的球心,设其半径为r,利用等积法有4××r=××,r=,故AO=AM-MO=-=,故AO∶OM=∶=3. 9.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: 按照上面的规律,第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为________. 答案 6n+2 解析 由图形间的关系可以看出,第一个图中有8根火柴棒,第二个图中有8+6根火柴棒,第三个图中有8+2×6根火柴棒,以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8+6(n-1),即6n+2. 10.在△ABC中,角C的内角平分线CE分△ABC的面积所成的比例为=.将这个结论类比到空间: 在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于点E,则类比的结论为________. 答案 = 解析 此类问题由平面类比到空间,则可由面积类比体积,由长度类比面积,由=,类比得=. 11.如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,……,则在第二十个拐弯处的正整数是________. 答案 211 解析 观察题图可知, 第一个拐弯处2=1+1, 第二个拐弯处4=1+1+2, 第三个拐弯处7=1+1+2+3, 第四个拐弯处11=1+1+2+3+4, 第五个拐弯处16=1+1+2+3+4+5, 发现规律: 拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第二十个拐弯处的正整数就是1+1+2+3+…+20=211. 12.对于命题: 如果O是线段AB上一点,则||·+||·=0;将它类比到平面的情形是: 若O是△ABC内一点,有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0;将它类比到空间的情形应该是: 若O是四面体A-BCD内一点,则有________. 答案 VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0 解析 由线段到平面,线段的长类比为面积, 由平面到空间,面积可以类比为体积, 由此可以类比得一命题为: O是四面体A-BCD内一点, 则有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0. 二、高考小题 13.[2016·北京高考]袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 B 解析 解法一: 假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C错误.故选B. 解法二: 设袋中共有2n个球,最终放入甲盒中k个红球,放入乙盒中s个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k个球,其中红球有s个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B. 14.[2014·北京高考]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ) A.2人B.3人 C.4人D.5人 答案 B 解析 用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人. 15.[2015·山东高考]观察下列各式: C=40; C+C=41; C+C+C=42; C+C+C+C=43; … 照此规律,当n∈N*时, C+C+C+…+C=________. 答案 4n-1 解析 由题知C+C+C+…+C=4n-1. 16.[2014·陕西高考]观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是________. 答案 F+V-E=2 解析 因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2. 17.[2014·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说: 我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说: 我没去过C城市; 丙说: 我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 答案 A 解析 根据甲、乙、丙说的可列表得 A B C 甲 √ × √ 乙 √ × × 丙 √ 18.[2015·福建高考]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0). 已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组: 其中运算⊕定义为: 0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于________. 答案 5 解析 因为x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=0⊕0⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码1101101的前3位码元都是对的;因为x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=1⊕0⊕1=1⊕1=0,所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的;因为x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1⊕1⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码1101101的第5位码元是错的,所以k=5. 三、模拟小题 19.[2016·广州调研]①已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是ah,如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为lr;②由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n-1=n2,则①②两个推理过程分别属于( ) A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理 C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理 答案 A 解析 ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;②由特殊到一般,此种推理为归纳推理,故选A. 20.[2017·河北石家庄质检]某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是( ) A.今天是周六B.今天是周四 C.A车周三限行D.C车周五限行 答案 B 解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E车明天可以上路,E车周四限行,所以今天不是周三;因为B车昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因为A,C两车连续四天都能上路行驶,所以今天不是周五,周二和周六,所以今天是周四,选B. 21.[2016·临沂模拟]如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点: 1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项(即横坐标为奇数项,纵坐标为偶数项),按如此规律下去,则a2009+a2010+a2011等于( ) A.1003B.1005 C.1006D.2011 答案 B 解析 观察点坐标的规律可知,偶数项的值等于其序号的一半. 则a4n-3=n,a4n-1=-n,a2n=n. 又2009=4×503-3,2011=4×503-1, ∴a2009=503,a2011=-503,a2010=1005. ∴a2009+a2010+a2011=1005. 22.[2016·郑州一检]设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x3+sinx+1图象的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到f(-2016)+f(-2015)+f(-2014)+…+f(2015)+f(2016)=( ) A.0B.2016 C.4032D.4033 答案 D 解析 函数y=x3与y=sinx均是奇函数,因此y=x3+sinx是奇函数,其图象关于点(0,0)对称,函数f(x)=x3+sinx+1的图象关于点(0,1)对称,于是有f(-x)+f(x)=2,因此f(-2016)+f(2016)=2,f(-2015)+f(2015)=2,…,f(0)=1,所求的和等于1+2016×2=4033,选D. 23.[2016·烟台诊断]已知cos=; coscos=; coscoscos=; … 根据以上等式,可猜想出的一般结论是________. 答案 coscos…cos=,n∈N* 解析 观察所给等式,左侧项数依次递增,角的分母是奇数列,右侧分母是2n,故可猜想出一般结论为cos·cos…cos=,n∈N*. 24.[2016·山东日照一模]36的所有正约数之和可按如下方法得到: 因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为________. 答案 465 解析 类比求36的所有正约数之和的方法,200的所有正约数之和可按如下方法求得: 因为200=23×52,所以200的所有正约数之和为(1+2+22+23)(1+5+52)=465. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.[2016·福建质检]阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ②, 由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ③. 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=, 代入③得sinA+sinB=2sincos. (1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明: cosA-cosB=-2sinsin; (2)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=1-cos2C,试判断△ABC的形状. (提示: 如果需要,也可以直接利用阅读材料及 (1)中的结论) 解 (1)证明: 因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,① cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,② ①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ.③ 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=, 代入③得cosA-cosB=-2sinsin. (2)由二倍角公式,cos2A-cos2B=1-cos2C可化为 1-2sin2A-1+2sin2B=1-1+2sin2C, 所以sin2A+sin2C=sin2B. 设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理可得a2+c2=b2. 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形. 2.[2017·福建质检]某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213°+cos217°-sin13°cos17°; ②sin215°+cos215°-sin15°cos15°; ③sin218°+cos212°-sin18°cos12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据 (1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解 (1)选择②式,计算如下: sin215°+cos215°-sin15°cos15° =1-sin30°=1-=. (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=. 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=. 3.[2016·北京海淀期末]设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (1)数表A如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可); 表1 1 2 3 -7 -2 1 0 1 (2)数表A如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数a的所有可能值; 表2 a a2-1 -a -a2 2-a 1-a2 a-2 a2 解 (1)解法一: 1 2 3 -7 -2 1 0 1 1 2 3 7 -2 1 0 -1 1 2 3 7 2 -1 0 1 解法二: 1 2 3 -7 -2 1 0 1 1 2 3 -7 2 -1 0 -1 1 2 3 7 2 -1 0 1 解法三: 1 2 3 -7 -2 1 0 1 -1 2 3 -7 2 1 0 1 -1 2 3 7 2 1 0 -1 (2)每一列所有数之和分别为2,0,-2,0,每一行所有数之和分别为-1,1. ①如果首先操作第三列,则 a a2-1 a -a2 2-a 1-a2 2-a a2 则第一行之和为2a-1,第二行之和为5-2a, 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以a≤或a≥. 当a≤时,则接下来只能操作第一行,则 -a 1-a2 -a a2 2-a 1-a2 2-a a2 此时每列之和分别为2-2a,2-2a2,2-2a,2a2, 必有2-2a2≥0,解得a=0,-1. 当a≥时,则接下来操作第二行,则 a a2-1 a -a2 a-2 a2-1 a-2 -a2 此时第4列和为负,不符合题意. ②如果首先操作第一行,则 -a 1-a2 a a2 2-a 1-a2 a-2 a2 则每一列之和分别为2-2a,2-2a2,2a-2,2a2, 当a=1时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉; 当a≠1时,2-2a,2a-2至少有一个为负数, 所以此时必须有2-2a2≥0,即-1≤a≤1,所以a=0或a=-1, 经检验,a=0或a=-1符合要求. 综上a=0,-1.
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