信号检测估计_第二章-随机信号分析.ppt
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第0章前言第一章基础知识第二章随机信号分析第三章信号检测的基本理论第四章确知信号的检测第五章随机参量信号的检测第六章估计的基本理论参数估计第七章信号波形估计第八章功率谱估计,教学内容,信号检测理论,信号估计理论,第二章随机信号分析,21引言工程实际和各种物理现象中存在一类随时间变化的信号,它们是时间t的函数。
确定性信号特征:
信号的大小随着时间的变化具有某种规律性,这种信号是可以再现的,可以用明确的数学关系进行描述。
随机信号特征:
信号的大小随着时间的变化不具有某种明确的变化规律,信号在任何时刻出现的大小无法预料,这种信号是无法再现的,无法用明确的数学关系进行描述。
实际生活中的随机信号:
通信信号,电视信号,气象信号,生物医学信号等。
2.2随机过程的一般表述1.随机过程的一般概念n部接收机噪声输出记录如下。
t1t2t3,第二章随机信号分析,讨论:
随机过程与随机变量之间的关系。
假设:
n个时刻(t1,t2,tn)对随机过程X(t)各样本函数进行均匀采样。
概念:
在时刻ti,采样结果为x1(ti),x2(ti),xn(ti),(i=1,2,n)由此构成一个随机变量X(t=ti)=X(ti)=Xi。
如果n足够大,采样间隔足够小,n个随机变量可以描述随机过程X(t)。
时间序列概念:
由于Xk的下标经常表示等间隔的时间刻量,常称X1,X2,Xn为时间序列。
离散随机变量特征:
Xk的取值有有限个。
连续随机变量特征:
Xk的取值有无限个。
第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,2.随机过程的定义定义:
随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合;也可以叫做样本函数的总体或集合。
用X(t)表示。
3.随机过程的统计特性的描述随机过程的统计特征是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。
设X(t)表示一个随机过程,则在任意一个时刻t1,X(t1)是一个随机变量。
随机变量的统计特性,可以用分布函数或概率密度函数去描述。
第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,4.随机过程的数字特征在许多场合,除关心随机过程的n维分布外,还需要关心随机过程的数字特性,比如,随机过程的数学期望、方差及相关函数等。
第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,1)数学期望(mean)随机过程X(t)的数学期望被定义为,数学期望的物理意义:
信号或噪声的直流成分。
其平方是信号或噪声的直流功率。
对于离散随机序列X(n),其数学期望被定义为,说明:
随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。
第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,数学期望的性质:
第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,方差的主要性质:
2)方差(Variance)随机过程的方差定义为,方差的物理意义:
信号或噪声交流功率。
主要用于说明随机信号偏离其均值的程度。
第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,3)自协方差,与自相关函数,衡量随机过程任意两个时刻上获得随机变量的统计相关特性时,常用协方差函数和相关函数来表示。
定义:
式中:
t1与t2是任意的两个时刻;mX(t1)与mX(t2)为在t1及t2得到的数学期望;用途:
用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。
(1)自协方差函数,第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,
(2)自相关函数,定义:
用途1:
用来判断广义平稳;用途2:
用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
(3)自协方差(自相关系数)与自相关函数之间的关系二者之间的关系式,,第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,(4)统计独立、不相关、正交的概念,同一随机过程中两个不同时刻样值之间统计独立、不相关、正交的概念如下:
第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,例题:
设随机振幅信号X(t)=Xcos(0t)。
式中0是常数,X为标准正态随机变量。
求随机变量X(t)的数学期望、方差、相关函数、协方差。
分析:
因为X是标准正态分布,所以数学期望为0,方差为1,,解:
因为X是标准正态分布,所以随机变量的概率密度函数为,第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,根据相关数字特征的定义及相关性质,求得,第二章随机信号分析2.2随机过程的一般表述,2.3平稳随机过程平稳随机过程狭义平稳概念:
是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。
也就是说,如果对于任意的n和,随机过程X(t)的n维概率密度函数满足,则称X(t)是平稳随机过程。
该平稳称为严格平稳,狭义平稳或严平稳。
注意:
显然,一维分布与时间t无关,二维分布只与两个变量的时间差有关。
第二章随机信号分析,2.广义平稳过程广义平稳概念:
若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关,而其相关函数仅与有关,则称这个随机过程为广义平稳随机过程。
说明:
电路系统中的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程。
因此,研究平稳随机过程有重要的实际意义。
判断方法:
若,则X(t)广义平稳。
第二章随机信号分析2.3平稳随机过程,3.各态历经的平稳随机过程1)问题的提出问题:
求解平稳随机过程的统计特性(即数学期望,自相关函数等),需要预先确定X(t)的一族样本函数和一维、二维概率密度函数,实际上是不易办到的。
办法:
通过对一个样本函数长时间的观测,以得到这个过程的数字特征。
新问题:
方式是否可行呢?
结论:
事实已经证明:
如果一个平稳随机过程,只要满足一些较宽的条件,其集平均(统计平均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替,这就是各态历经性。
第二章随机信号分析2.3平稳随机过程,2)各态历经性设x(t)是X(t)的一个样本,则时间平均的特征值定义:
各态历经性概念:
对于一个平稳的随机过程,如果统计平均时间平均,则称这个随机过程具有各态历经性(Ergodicity),简称遍历性。
第二章随机信号分析2.3平稳随机过程,判断方法:
若,说明:
一般来说,在一个随机过程中,不同样本函数的时间平均值不一定是相同的,而统计平均则是一定的。
因此,一般的随机过程的时间平均集平均(即统计平均),只有平稳随机过程才有可能是各态历经的。
就称X(t)是具有“各态历经性”的平稳随机过程。
第二章随机信号分析2.3平稳随机过程,注意:
均方差(或标准差)与变量有相同的量刚。
结论:
第二章随机信号分析2.3平稳随机过程,2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,确知信号的相关:
是衡量两个确定信号之间的关联程度.随机过程的相关:
是衡量随机过程中两个随机变量之间的关联程度.讨论随机过程自相关函数的主要目的:
除了判定广义平稳之外,它还能够把时域和频域巧妙的结合起来,更加方便和全面地了解随机过程。
第二章随机信号分析,1.自相关函数定义,2.自相关函数的性质1),物理意义:
R(0)为X(t)的均方值(平均功率)。
自相关函数在=0处的数值等于该过程的平均功率(包括直流功率和交流功率)。
2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,2)对偶性:
对于实平稳随机过程,RX()RX(-)即自相关函数是的偶函数。
证明:
证毕.,3)当0时,自相关函数取最大值,即,证明:
证毕.,2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,4),说明:
当两个随机变量在时间间隔很大的时候,可将二者看成是相互独立的。
5),2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,推论:
利用R()的图形(如下图所示),就可以求出该过程的各种成份的功率(直流功率,交流功率,总功率),3.功率谱密度付氏变换沟通了确定信号时域和频域的关系,那么为什么随机过程在频率域中要讨论功率谱密度,而不讨论付氏变换呢?
主要原因有二。
1)对于随机过程来说,它由许许多多个样本函数来构成,所以我们无法求其付氏变换,可以说,随机过程不存在付氏变换。
2)随机过程属于功率信号而不属于能量信号,所以我们讨论功率谱密度。
确定功率信号f(t)的功率谱定义:
2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,定义:
若设随机过程X(t)一次实现的截断函数为XT(t),XT(t)的付氏变换为XT(),则样本函数的功率谱为,随机过程的平均功率谱密度(简称功率谱)定义:
该随机过程的平均功率为:
4.功率谱密度的性质1)非负性PX()02)对偶性PX()PX(),2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,5.功率谱密度与自相关函数的关系经推导得到结论:
平稳随机过程在自相关函数绝对可积的条件下,维纳欣辛公式成立,既有,,条件,结论:
这样在应用上,无论从时间域还是频率域都可以描述随机过程。
2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,例:
随机相位正弦波X(t)sin(ct+),其中是在(02)内均匀分布的随机变量。
c是常数。
求:
(1)X(t)是否广义平稳?
(2)X(t)是否各态历经?
(3)X(t)功率谱密度PX()=?
。
解题思路:
(1)根据判定广义平稳的条件,如果mx(t)为常数,而RX(t,t+)仅与有关,则X(t)广义平稳。
(2)若时间平均统计平均,则X(t)是各态历经的随机过程。
(3)根据维纳欣辛关系,有,2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,6.互功率谱密度与互相关函数的关系1)定义互相关函数定义:
互相关函数用于取自两个随机过程中的两个随机变量,定义如下:
广义联合平稳定义:
如果两个平稳随机过程均满足平稳性,那么他们之间的互相关函数是时间间隔=t1-t2的一维函数,既有互功率谱密度定义:
互相关函数与互功率谱密度也是一对付氏变换,条件是不是RXY()绝对可积。
2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,3)互功率谱密度的特点特点:
互功率谱不象自功率谱那样有物理意义。
目的:
引入互功率谱概念主要是为了能在频率域中描述两个平稳随机过程的相关性。
应用:
在实际应用中,常常采用对线性系统测量输入输出的互谱密度以确定系统的性能,即传递函数H()。
另外,在一些习题的计算与推导过程中也常涉及到互谱密度的概念。
2)互相关函数的特点
(1)一般不是的偶函数,(与R()不同),即没有对称性;
(2)一般不成立|RXY(0)|RXY()|(3)RXY()RYX(-),2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,2.5复随机过程,1.复随机变量定义:
若X和Y均为实随机变量,则称Z=X+jY为复随机变量。
将均值、方差、协方差推广到复随机变量时,要求如下:
第二章随机信号分析,当变量Y=0时,复随机变量Z的矩应该等于实随机变量X的矩,应该保持随机变量矩的特性,如方差非负性等。
(1)复随机变量数学期望定义,
(2)复随机变量方差定义,第二章随机信号分析,(3)复随机变量协方差定义,2.5复随机过程,2.5复随机过程,显然以上均值、方差、协方差的定义是合理的,符合要求的。
验证:
2.复随机变量的不相关、正交、统计独立的定义,
(1)若复随机变量Z1和Z2的协方差为零,则称Z1和Z2不相关。
(2)若复随机变量Z1和Z2有,则称Z1和Z2正交。
(3)若复随机变量Z1和Z2有有则称复随机变量Z1和Z2统计独立。
2.5复随机过程,3.复随机过程定义:
若X(t)和Y(t)均为实随机过程,则称Z(t)=X(t)+jY(t)为复随机变量。
(1)复随机过程Z(t)数学期望定义,
(2)复随机过程方差定义,(3)复随机过程自相关定义,2.5复随机过程,(4)复随机过程互相关定义,4.解析复随机过程的相关函数和功率谱密度,假设实随机过程X(t)与其希尔波特变换联合平稳,有关系式。
2.5复随机过程,2.4平稳随机过程的相关函数与率谱密度,5.窄带随机过程的复包络,窄带实随机过程的表达公式,其复过程的表达公式,经过整理有,25窄带过程的统计特性,窄带随机过程数学表示公式,其中:
A(t)是窄带随机过程包络函数;(t)是窄带随机过程的随机相位函数。
二者均为随机过程。
包络随时间做缓慢变化,看起来比较直观,相位的变化,则看不出来,只能理解。
1.窄带随机过程包络和相位的变
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- 信号 检测 估计 第二 随机 分析