01相交线与平行线单元拔高讲义.docx
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01相交线与平行线单元拔高讲义
同位角、内错角、同旁内角(讲义)
一、知识点睛
1.同位角、内错角、同旁内角:
2.平行线的判定:
①两条直线被第三条直线所截,____________相等,两直线平行;
②两条直线被第三条直线所截,____________相等,两直线平行;
③两条直线被第三条直线所截,____________互补,两直线平行.
3.平行线的性质:
①两直线平行,____________相等;
②两直线平行,____________相等;
③两直线平行,____________互补.
二、精讲精练
1.
如图所示:
(1)∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角;
(2)∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角;
(3)∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角;
(4)∠6和∠4是同位角吗?
(5)∠1和∠4是内错角吗?
(6)∠5和∠6是同位角吗
2.如图所示:
(1)∠NOP和∠OMD是直线_______和直线_______被直线_______所截得到的_______角;
(2)∠BON和∠DMN是直线_______和直线_______被直线_______所截得到的_______角;
(3)∠AOM和∠CMO是直线_______和直线_______被直线_______所截得到的_________角.
3.如图,在所标识的角中,是内错角的是()
A.∠1和∠BB.∠1和∠3
C.∠3和∠BD.∠2和∠3
第3题图第4题图
4.如图,判断正误:
①∠1和∠4是同位角;()
②∠1和∠5是同位角;()
③∠1和∠3是内错角;()
④∠1和∠2是同旁内角.()
5.如图,若∠1=∠A,则______∥______,
理由是:
___________________________________________.
若∠ADE=_________,则DE∥BC,
理由是:
___________________________________________.
若∠1=________,则DF∥AC,
理由是:
___________________________________________.
若∠DEC+∠C=180°,则______∥______,
理由是:
___________________________________________.
6.如图,已知∠1=30°,∠B=60°,∠D=60°,AB⊥AC.
(1)∠DAB+∠B=____________.
(2)AD与BC平行吗?
______;AB与CD平行吗?
______.
7.推理是由一个或几个已知条件出发,推导出一个未知结论的思维过程.以下是一个题目及完整的推理过程,请填写推理的依据.
如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1=∠2,请说明
AB∥CD.
推理过程如下:
∵∠3=∠2(________________________________)
∠1=∠2(________________________________)
∴∠1=∠3(________________________________)
∴AB∥CD(________________________________)
8.如图,直线a和直线b被直线c所截,给出下列条件:
①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;
④∠5+∠8=180°.其中能判断a∥b的条件是()
A.①②
B.②④
C.①②④
D.①②③④
9.如图,已知AD∥BC,∠B=30°,DB平分∠ADE,则∠DEC等于()
A.30°B.60°C.90°D.120°
第9题图第10题图
10.如图,AD∥BC,AB∥CD,点E在CB的延长线上,∠C=50°,则∠DAB=______.
11.
如图,易拉罐的上下底面互相平行,用吸管吸饮料时,若
∠1=110°,则∠2=______.理由可叙述如下:
∵AB∥CD
∴∠1=∠3(____________________________)
∵∠1=110°(____________________________)
∴∠3=110°(____________________________)
∴∠2=______(平角的定义)
12.请根据给出的图形完成推理过程:
(1)若∠1=∠2,则______∥______,
理由是:
__________________________________________.
(2)若∠DAB+∠ABC=180°,则______∥______,
理由是:
__________________________________________.
(3)若______∥______,则∠C+∠ABC=180°,
理由是:
__________________________________________.
(4)若______∥______,则∠3=∠C,
理由是:
__________________________________________.
13.请根据题意,完成推理并填空:
如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D.
求证:
BD∥CE.
证明:
如图,
∵∠A=∠F(__________________________________)
∴AC∥DF(__________________________________)
∴∠D=_______(__________________________________)
又∵∠C=∠D(__________________________________)
∴∠1=∠C(__________________________________)
∴BD∥CE(__________________________________)
三、回顾与思考
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
一、知识点睛
2.①同位角;②内错角;③同旁内角.
3.①同位角;②内错角;③同旁内角.
二、精讲精练
1.
(1)abc同位
(2)abd内错
(3)cda同旁内(4)不是
(5)不是(6)是
2.
(1)OPCDNQ同位
(2)ABCDNQ同位
(3)ABCDNQ同旁内
3.D
4.①×②√③√④√
5.ABEF同位角相等,两直线平行
∠B同位角相等,两直线平行
∠DFE内错角相等,两直线平行
DEBC同旁内角互补,两直线平行
6.180°平行平行
7.对顶角相等已知等量代换同位角相等,两直线平行
8.D
9.B
10.50°
11.70°两直线平行,同位角相等已知等量代换70°
12.
(1)ABCD内错角相等,两直线平行
(2)ADBC同旁内角互补,两直线平行
(3)ABCD两直线平行,同旁内角互补
(4)ADBC两直线平行,内错角相等
13.已知内错角相等,两直线平行∠1
两直线平行,内错角相等已知
等量代换同位角相等,两直线平行
同位角、内错角、同旁内角(随堂测试)
1.如图所示:
(1)∠1和∠2是直线_______和直线_______被直线_______所截得到的________角;
(2)∠3和∠A是直线_______和直线_______被直线_______所截得到的________角;
(3)∠C和∠1是直线_______和直线_______被直线_______所截得到的________角;
(4)∠3和∠C是直线_______和直线_______被直线_______所截得到的________角.
2.
如图所示:
(1)若∠2=__________,则AB∥CD,
理由是_____________________________________________.
(2)若∠B+_______=180°,则AB∥CD,
理由是_____________________________________________.
(3)若AD∥BC,则_______=∠5,
理由是_____________________________________________.
3.
请根据题意,完成推理并填空:
如图,已知∠1=∠2.
求证:
∠C+∠dbC=180°.
证明:
如图,
∵∠1=∠DGF(______________________________)
∠1=∠2(______________________________)
∴∠DGF=∠2(______________________________)
∴EC∥DB(______________________________)
∴∠C+∠dbC=180°(______________________________)
【参考答案】
1.
(1)CDABBD内错
(2)CDABAD同位
(3)BCBDCD同旁内
(4)ADBCCD内错
2.
(1)∠4内错角相等,两直线平行
(2)∠BCD同旁内角互补,两直线平行
(3)∠B两直线平行,同位角相等
3.对顶角相等已知等量代换
同位角相等,两直线平行两直线平行,同旁内角互补
同位角、内错角、同旁内角(作业)
1.如图,直线CD与∠O的两边相交.
(1)∠O和∠2是直线______和直线______被直线_______
所截得到的_________角;
(2)∠2和∠8是直线______和直线______被直线_______
所截得到的_________角;
(3)∠2和∠5是直线______和直线______被直线_______
所截得到的_________角.
第1题图第2题图
2.如图,判断正误:
①∠1和∠5是同位角;()
②∠2和∠5是内错角;()
③∠3和∠5是内错角;()
④∠1和∠4是同旁内角.()
3.如图,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠DBE=∠A,则BE_____AC.理由如下:
∵BE平分∠ABD(______________________________)
∴∠ABE=∠DBE(角平分线的定义)
∵∠DBE=∠A(______________________________)∴_______=∠A(______________________________)∴BE_____AC(______________________________)
4.已知:
如图,AB∥ED,∠ECF=70°,则∠BAF=__________.
理由可叙述如下:
∵AB∥CD(______________________________)
∴∠BAC=∠ECF(______________________________)
∵∠ECF=70°(______________________________)
∴∠BAC=_______(______________________________)
∴∠BAF=_______(平角的定义)
5.已知:
如图,E为DF上的点,B为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D.
求证:
AC∥DF.
证明:
如图,
∵∠1=∠2(__________________________________)
∠1=∠3(__________________________________)∴∠2=∠3(__________________________________)∴BD∥CE(__________________________________)∴∠C=∠ABD(__________________________________)∵∠C=∠D(__________________________________)∴∠D=∠ABD(__________________________________)
∴AC∥DF(__________________________________)
【参考答案】
1.
(1)CDOBOA同位
(2)OAOBCD内错
(3)OAOBCD同旁内
2.①×②×③×④√
3.∥已知已知∠ABE等量代换
∥内错角相等,两直线平行
4.110°已知两直线平行,内错角相等
已知70°等量代换110°
5.已知对顶角相等等量代换
同位角相等,两直线平行
两直线平行,同位角相等
已知等量代换内错角相等,两直线平行
与角有关的辅助线(讲义)
一、知识点睛
1.为了解决几何问题,在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线.辅助线通常画成________.
2.辅助线的原则:
添加辅助线,构造新图形,形成新关系,建立______和______之间的桥梁,把问题转化成自己已经会解的情况.
3.辅助线的作用:
①________________________________________________;
②________________________________________________.
4.添加辅助线的注意事项:
明确目的,多次尝试.
二、精讲精练
1.如图,AB∥CD,∠E=27°,∠C=52°,则∠EAB的度数为______________.
2.如图,∠BAF=46°,∠ACE=136°,CD⊥CE.
求证:
AB∥CD.
3.已知:
如图,直线MN∥GH,∠ABC=130°,∠HDC=40°.
你认为AB⊥MN吗?
请说明理由.
4.已知:
如图,AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点.
求证:
∠EPF=∠AEP+∠CFP.
5.如图,l1∥l2,∠1=105°,∠2=40°,则∠3=___________.
6.已知:
如图,AB∥EF,∠B=25°,∠D=30°,∠E=10°,则∠BCD=________.
7.已知:
如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D.请问β和α之间有怎样的数量关系?
并说明理由.
8.已知:
如图,CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC.
求证:
AB∥GF.
9.已知:
如图,在四边形ABDC中.
求证:
∠BDC=∠A+∠B+∠C.
三、回顾与思考
_______________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
一、知识点睛
1.虚线;
2.已知,未知
3.①把分散的条件转为集中
②把复杂的图形转化为基本图形
二、精讲精练
1.79°
2.
证明:
如图,延长DC到点G.
∵CD⊥CE
∴∠ECG=90°
∵∠ACE=136°
∴∠1=∠ACE-∠ECG
=136°-90°
=46°
∵∠BAF=46°
∴∠1=∠BAF
∴AB∥CD
3.
解:
MN⊥AB,理由如下:
如图,延长AB交GH于点F.
∵∠HDC=40°
∠HDC=∠BDF
∴∠BDF=40°
∵∠ABD是△BFD的一个外角
∴∠ABD=∠BFD+∠BDF
∵∠ABC=130°
∴∠BFD=∠ABD-∠BDF
=130°-40°
=90°
∵MN∥GH
∴∠AEN=∠BFD=90°
∴MN⊥AB(垂直的定义)
4.
证明:
如图,过点P作MN∥AB.
∵CD∥AB
∴AB∥MN∥CD
∴∠1=∠2
∠3=∠4
∴∠EPF=∠2+∠4
=∠1+∠3
即∠EPF=∠AEP+∠CFP
5.115°
6.45°
7.
解:
β=2α,理由如下:
如图,过点C作MN∥AB.
∵MN∥AB
AB∥ED
∴MN∥ED
即MN∥AB∥ED
∴∠1+∠D=180°
∠2+∠B=180°
∠A+∠E=180°
∵α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D
∴α=180°,β=360°
∴β=2α
8.
证明:
如图,延长CB交FG于点M,交FM于点M,延长FE交CM于点N.
∵CD∥EF
∴∠2=∠FNM
∵∠BMG是△FMN的一个外角
∴∠BMG=∠1+∠FNM
=∠1+∠2
∵∠ABC=∠1+∠2
∴∠BMG=∠ABC
∴AB∥GF
9.
证明:
如图,延长BD交AC于点E.
∵∠BDC是△CDE的一个外角
∴∠BDC=∠1+∠C
∵∠1是△ABE的一个外角
∴∠1=∠A+∠B
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
与角有关的辅助线(随堂测试)
10.如图,AB⊥EF于点O,BD与MN相交于点C,∠1=35°,∠B=125°,你认为直线EF∥MN吗?
请说明理由.
11.如图,AB∥CD,∠α=150°,∠β=80︒,求∠∠γ的度数.
【参考答案】
1.解:
EF∥MN
理由如下:
如图,延长AB交MN于点G.
∵∠1=35°(已知)
∴∠BCG=35°(对顶角相等)
∵∠ABC是△BCG的一个外角(外角的定义)
∴∠ABC=∠BGC+∠BCG(三角形的外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∵∠ABC=125°(已知)
∴∠BGC=∠ABC-∠BCG
=125°-35°
=90°(等式的性质)
∵AB⊥EF(已知)
∴∠AOF=90°(垂直的性质)
∴∠AOF=∠BGC(等量代换)
∴EF∥MN(同位角相等,两直线平行)
2.
解:
如图,过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD
EF∥AB
∴EF∥CD
即CD∥AB∥EF
∴∠α+∠AEF=180°
∠γ=∠DEF
∵∠α=150°
∴∠AEF=30°
∵∠β=80°
∴∠DEF=50°
∴∠γ=50°
与角有关的辅助线(作业)
12.已知:
如图,∠B+∠E+∠D=360°.
求证:
AB∥CD.
13.已知:
如图,AB∥CD,∠1=∠2.
求证:
∠3=∠4.
14.已知:
如图,∠BED=∠B+∠D.
求证:
AB∥CD.
15.已知:
如图,AB∥CD.
求证:
∠1+∠3-∠2=180°.
【参考答案】
1.证明:
如图,过点E作EF∥AB.
∵EF∥AB
∴∠B+∠BEF=180°
∵∠B+∠BED+∠D=360°
∴∠FED+∠D=180°
∴EF∥CD
∴AB∥CD
2.证明:
如图,延长BE交CD于点G.
∵AB∥CD
∴∠1=∠5
∵∠1=∠2
∴∠2=∠5
∴BG∥CF
∴∠3=∠4
3.证明:
如图,过点E作EF∥AB.
∴∠BEF=∠B
∴∠BED=∠DEF+∠BEF
=∠DEF+∠B
∵∠BED=∠B+∠D
∴∠D=∠DEF
∴EF∥CD
∴AB∥CD
4.
证明:
如图,延长EA交CD于点F.
∵AB∥CD
∴∠1=∠4
∵∠4是△CEF的一个外角
∴∠4=∠2+∠ECF
∵∠ECF=180°-∠3
∴∠4=∠2+180°-∠3
∴∠4+∠3-∠2=180°
∴∠1+∠3-∠2=180°
角的相关计算和证明(讲义)
一、知识点睛
在证明的过程中,
由平行想到____________、____________、____________;
由垂直想到__________________、_____________________;
由外角想到________________________________________.
二、精讲精练
1.如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=45°,∠CEF=155°,则
∠BCE=__________.
第1题图第2题图
2.如图,在正方形ABCD中,∠ADC=∠DCB=90°,G是B
边上一点,连接DG,AE⊥DG于E,CF⊥DG于F.若
∠DAE=25°,则∠GCF=_________.
3.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=∠C=45°,在Rt△AFG中,∠G=90°,∠F=∠FAG=45°,∠CAG=20°,则∠AEB=_________,∠ADC=_________.
第3题图第4题图
4.如图,ED⊥AB于D,EF∥AC,∠A=35°,则∠DEF=________.
5.如图,在△ABC中,∠B=60°,P为BC上一点,且∠1=∠2,
则∠APD=________.
6.已知:
如图,直线BD交CF于点D,交AE于点B,连接AD,BC,∠1+∠2=180°,∠A=∠C.求证:
DA∥CB.
证明:
如图,
∵∠1+∠2=180°(__________________________)
∠2+∠CDB=180°(__________________________)
∴_______=_______(__________________________)∴______∥________(__________________________)∴∠A+∠CDA=180°(__________________________)∵∠A=∠C(__________________________)∴_______+_______=180°(__________________________)∴DA∥CB(__________________________)
7.已知:
如图,E,F分别在AB,CD上,EC⊥AF,垂足为O,∠1+∠C=90°,∠2=∠D.求证:
AB∥CD.
8.如图,在△ABC中,∠B=35°,∠C=75°,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,求∠EAD的度数.
9.已知:
如图,BP平分∠ABC,CP平分∠ACE.
求证:
∠A=2∠P.
证明:
如图,设∠PBC=α,∠PCE=β
∵BP平分∠ABC(_________
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