分平面的递推计数六年级.docx
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分平面的递推计数六年级
知识图谱
计数第01讲_分平面的递推计数-一、分平面的递推计数直线或角分平面封闭图形分平面组合图形分平面
一:
分平面的递推计数
知识精讲
分平面(无边界)问题的总体思路是增量分析,即先求出新画图形与已有图形的交点数,进而推出它使平面增加了几部分.其中,求交点数是最关键的一步.为了使平面被划分成的部分尽量多,显然应让交点也尽量多.
一.直线或角分平面
1.直线:
第条直线与前n条直线最多有n个交点,被截为段,可使平面增加部分.
2.角:
第个角与前n个角最多有个交点,被截为段(拐弯处视为一段),可使平面增加部分.
二.封闭图形分平面
1.n边形:
与直线类似,先数每条边与之前图形的交点数,再乘n即为n边形与之前图形的交点数,进而求出平面增加的部分数.
2.圆:
任意两个不同的圆最多有2个交点.
三.组合图形分平面
1.封闭图形间的组合:
与单种封闭图形分平面类似,建议先画圆.
2.直线与封闭图形间的组合:
建议先画直线.
三点剖析
重难点:
本类型题目的关键是不同图形之间交点数的求法.此外,对于组合图形分平面,若最后画直线,容易多算一部分.因此,建议先画直线.
题模精讲
题模一 直线或角分平面
例1.1.1、
5条直线最多把平面划分为多少部分?
n条直线呢?
答案:
16;
解析:
1条直线,把平面分成部分;2条直线,直线间增加1个交点,把平面分成部分;3条直线,直线间增加2个交点,把平面分成部分;4条直线,直线间增加3个交点,把平面分成部分;5条直线,直线间增加4个交点,把平面分成部分.
第n条直线与前条直线最多有个交点,故其最多被分成n段.每段使原来平面的一部分一分为二,即可增加n部分.开始时平面只有一部分,故n条直线最多将平面分成部分.
例1.1.2、
用直线把一个平面分成50部分,至少要在平面上画_______条直线.
答案:
10
解析:
1条直线,把平面分成部分;2条直线,直线间增加1个交点,把平面分成部分;3条直线,直线间增加2个交点,把平面分成部分;4条直线,直线间增加3个交点,把平面分成部分……设n条直线把一个平面分成50部分,则有,可得,即至少要在平面上画10条直线.
例1.1.3、
五个角最多可以把平面分成多少部分?
答案:
43
解析:
显然应让交点尽量多.两个角最多把平面分成7部分,第三个角与之前最多有个交点,被分为8段(转角处为一段),可使平面增加8部分.类似的,第四、五个角可使平面增加12、16部分.综上,五个角最多可以把平面分成部分.
题模二 封闭图形分平面
例1.2.1、
一个圆能把平面分成两个区域,两个圆最多能把平面分成四个区域,那么四个圆最多能把平面分成________个区域.
答案:
14
解析:
时,第个圆与前n个圆最多有2n个交点,使得自身被分为2n段,每段使原来的一个区域一分为二,故第个圆最多可使平面增加2n部分,四个圆最多能把平面分成部分.
例1.2.2、
如果在一个平面上画出8个三角形,最多可以把平面分成几个部分?
答案:
170
解析:
1个三角形可以把平面分成2部分;
画第2个三角形时,它与前面的三角形最多有6个交点,这6个交点会把新画的三角形分成6段,每一段都会使整个平面多分出一个部分,因此2个三角形可以把平面分成个部分;
画第3个三角形,它与前面的图形有12个交点,同理可知,平面增加了12个部分,因此2个三角形可以把平面分成个部分;……
第n个三角形与前面的图形有个交点,平面增加了个部分,
综上,n个三角形最多把平面分成个部分.
因此8个三角形最多可以把平面分成个部分.
例1.2.3、
如果在一个平面上画出4个凸五边形,最多可以把平面分成________个部分.
答案:
62
解析:
增量分析.每画一个凸五边形,最多可与之前的n个凸五边形有个交点,可使平面增加部分.因此,画4个凸五边形最多可以把平面分成个部分.
题模三 组合图形分平面
例1.3.1、
有10条直线和2个圆,最多可以把平面分成________个部分.
答案:
98
解析:
增量分析.先画直线,画完第1条直线后平面被分为2部分.时,第n条直线与之前图形最多有个交点,可使平面增加n部分;第1个圆与直线最多有个交点,可使平面增加20部分;第2个圆与之前的图形最多有个交点,可使平面增加22部分.因此,10条直线和2个圆最多可以把平面分成部分.
例1.3.2、
在一个平面上画1条直线,2个三角形和3个长方形,那么最多可把这个平面分成多少部分?
答案:
78
解析:
依次画3个长方形、2个三角形和1条直线,通过增量分析可得最多可把这个平面分成个部分.
随堂练习
随练1.1、
如果在一个平面上画出8条直线,最多可以把平面分成几个部分?
如果画8个圆,最多可以分成几个部分?
答案:
37个;58个
解析:
根据上面第4题的解答可知:
新增直线被分为几部分,区域数量自然也就增加几部分,所以可以将8条直线的情况写为如下的一张数表:
8个圆也是同样的道理:
随练1.2、
用直线把一个平面分成100部分,至少要在平面上画_______条直线.
答案:
14
解析:
1条直线,把平面分成部分;2条直线,直线间增加1个交点,把平面分成部分;3条直线,直线间增加2个交点,把平面分成部分;4条直线,直线间增加3个交点,把平面分成部分……设n条直线把一个平面分成100部分,则有,可得,即至少要在平面上画14条直线.
随练1.3、
在一个平面上画出20个圆,最多可以把平面分成_______个部分.
答案:
382
解析:
一个圆最多能把平面分成2个部分;
2个圆最多能把平面分成个部分;
3个圆最多能把平面分成个部分;
现在加入第4个圆,为了使分成的部分最多,第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点,因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧,而每一段圆弧将原来的部分一分为二,即增加了一个部分,于是4个圆最多将平面分成个部分;
同理,5个圆最多将平面分成个部分
……
那么20个圆,最多可以把平面分成部分.
随练1.4、
在一个平面上画出6个正方形,最多可以把平面分成几个部分?
答案:
122
解析:
第1个正方形将平面分为2部分,第2个正方形与第1个最多有8个交点,即被分为8段,每段使原来的1部分一分为二,即可增加8部分.同理,第个正方形与之前的n个正方形最多有个交点,将使平面增加部分.因此,6个正方形最多可以把平面分成部分.
随练1.5、
在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线,最多可以把平面分成几个部分?
答案:
68
解析:
第1个三角形将平面分为2部分,第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点,即被分为6段,每段使原来的1部分一分为二,即可增加6部分,同理第3个三角形使平面增加个部分,至此共部分;每个圆与1个三角形最多有6个交点,两圆间还可有2个交点,故画完圆可再增加部分;直线与之前的5个图形最多有10个交点,故还能增加10部分.综上,共部分.
课后作业
作业1、
12条直线最多把平面划分为多少部分?
答案:
79
解析:
1条直线,把平面分成部分;2条直线,直线间增加1个交点,把平面分成部分;3条直线,直线间增加2个交点,把平面分成部分;……12条直线可把平面分成部分.
作业2、
在一个平面上画出50条直线,最多可以把平面分成_______个部分.
答案:
1276
解析:
1条直线,把平面分成部分;2条直线,直线间增加1个交点,把平面分成部分;3条直线,直线间增加2个交点,把平面分成部分;4条直线,直线间增加3个交点,把平面分成部分……50条直线,直线间增加49个交点,把平面分成部分.
作业3、
八个角最多可以把平面分成多少部分?
答案:
115
解析:
显然应让交点尽量多.两个角最多把平面分成7部分,第三个角与之前最多有个交点,被分为8段(转角处为一段),可使平面增加8部分.类似的,第四至八个角可使平面增加12、16、20、24、28部分.综上,八个角最多可以把平面分成部分.
作业4、
在一个平面上画出10个圆,最多可以把平面分成多少部分?
答案:
92
解析:
一个圆最多能把平面分成2个部分;
2个圆最多能把平面分成个部分;
3个圆最多能把平面分成个部分;
现在加入第4个圆,为了使分成的部分最多,第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点,因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧,而每一段圆弧将原来的部分一分为二,即增加了一个部分,于是4个圆最多将平面分成个部分;
同理,5个圆最多将平面分成个部分
……
那么10个圆,最多可以把平面分成部分.
作业5、
在一个平面上画出4个正六边形,最多可以把平面分成几个部分?
答案:
74
解析:
第1个正六边形将平面分为2部分,第2个正六边形与第1个最多有个交点,即被分为12段,每段使原来的1部分一分为二,即可增加12部分.同理,第3、4个正六边形将使平面增加24、36部分.因此,4个正六边形最多可以把平面分成部分.
作业6、
在一个平面上画出4个三角形、2条直线,最多可以把平面分成几个部分?
答案:
64
解析:
2条直线最多把平面分成4部分.第1个三角形与2条直线最多有个交点,可使平面增加6部分;第2、3、4个三角形分别能使平面增加12、18、24部分.因此,4个三角形、2条直线最多可以把平面分成个部分
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- 平面 计数 六年级