最新考研数三真题及解析资料.docx
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最新考研数三真题及解析资料
在上海,随着轨道交通的发展,地铁商铺应运而生,并且在重要的商业圈已经形成一定的气候,投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。
在人民广场地下“的美”购物中心,有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。
调研课题:
4、“体验化”消费
情感性手工艺品。
不少人把自制的手机挂坠作为礼物送给亲人朋友,不仅特别,还很有心思。
每逢情人节、母亲节等节假日,顾客特别多。
我们大学生没有固定的经济来源,但我们也不乏缺少潮流时尚的理念,没有哪个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品,珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道,简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。
因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。
然而我们女生更注重的是感性消费,我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上,所以要想在饰品行业有立足之地,又尚未具备雄厚的资金条件的话,就有必要与传统首饰区别开来,自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。
在现代文化影响下,当今大学生对新鲜事物是最为敏感的群体,他们最渴望为社会主流承认又最喜欢标新立异,他们追随时尚,同时也在制造时尚。
“DIY自制饰品”已成为一种时尚的生活方式和态度。
在“DIY自制饰品”过程中实现自己的个性化追求,这在年轻的学生一代中尤为突出。
“DIY自制饰品”的形式多种多样,对于动手能力强的学生来说更受欢迎。
图1-5购物是对消费环境的要求分布
调研提纲:
服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□
创业首先要有“风险意识”,要能承受住风险和失败。
还要有责任感,要对公司、员工、投资者负责。
务实精神也必不可少,必须踏实做事;2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x
(1)
设函数f(x)在区间[1,1]上连续,则x0是函数gx()0ftdt()的()
x
A跳跃间断点.B可去间断点.
C无穷间断点.D振荡间断点.
(2)
如图,曲线段方程为yfx(),函数在区间[0,a]上有连续导数,则定积分xf(xdx)等于()A曲边梯形ABOD面积.
B梯形ABOD面积.
C曲边三角形ACD面积.
D三角形ACD面积.
(3)
设fxy(,)ex2y4,则函数在原点偏导数存在的情况是()
Afx(0,0)存在,fy(0,0)存在Bfx(0,0)存在,fy(0,0)不存在
Cfx(0,0)不存在,fy(0,0)存在Dfx(0,0)不存在,fy(0,0)不存在
(4)
设函数f连续.若
fx2y2
Fuv,dxdy,
Duvxy其中区域Duv为图中阴影部分,
F
则
()
u
2v2v
AvfuB
fuCvfuD
fuuu
(5)设A为n阶非0矩阵E为n阶单位矩阵若A3O,则()
AEA不可逆,EA不可逆.BEA不可逆,EA可逆.
CEA可逆,EA可逆.DEA可逆,EA不可逆.
12
(6)设A则在实数域上与A合同的矩阵为()
2
1
A2
1
1
.
2
B2
1
1
.
2
C2
1
1
.
2
D1
2
2
.
1
(7)随机变量X,Y独立同分布,且X分布函数为Fx,则ZmaxXY,分布函数为
()
AF2x.BFxFy.
C11Fx2.D1Fx1Fy.(8)随机变量XN0,1,YN1,4且相关系数XY1,则()
APY2X11.
BPY2X11.
CPY2X11.
DPY2X11.
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设函数fx()在(,)内连续,则c.
xc
æ1öx+x
(10)函数fxx1x4,求积分2fxdx
.
(11)设D(xy,)|x2y21,则(x2ydxdy).
D
(12)微分方程xyy0,y
(1)1,求方程的特解y.
(13)
设3阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则4A1E.
(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PXEX2.
三、解答题:
15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)
1sinx求极限lim0x2lnx.
x
(16)(本题满分10分)设zz(xy,)是由方程x2y2zxyz所确定的函数,其中具有2阶导数且1,
(I)求dz
(II)
记uxy,x1yxzyz,求
ux.
(17)(本题满分11分)计算maxxy,1dxdy,其中D{(xy,)0x2,0y2}
D
(18)(本题满分10分)
设fx是周期为2的连续函数,
t22
(I)证明对任意实数t都有tfxdx0fxdx
xt2
(II)证明Gx02fttfsdsdt是周期为2的周期函数.
(19)(本题满分10分)
设银行存款的年利率为r0.05,并依年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n年取出(10+9n)万元,并能按此规律一
直提取下去,问A至少应为多少万元?
(20)(本题满分12分)
设n元线性方程组Axb,其中
2a1
2
Aa2a
2a
1
2ann
x11
x20
,x,b,
xn0
(I)证明行列式An1an;
(II)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1;
(III)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.
(21)(本题满分10分)
设A为3阶矩阵,1,2为A的分别属于特征值1,1特征向量,向量3满足
A323.
(1)证明1,2,3线性无关;
(2)令P1,2,3,求P1AP.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立,X概率分布为PXi
i1,0,1,Y的概率密
10y1
度为fYy,记ZXY.
0其它
1
求:
(I)PZX0;
2
(II)Z的概率密度fZ(z).
(23)(本题满分11分)设X1,X2,,Xn是总体N(,2)的简单随机样本.记
1n
XXi,S2
1n(XiX)2,TX21S2
ni1n1i1n
(I)证明T是2的无偏估计量;(II)当0,1时,求DT.
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、选择题
(1)【答案】B
x
ftdt()
【详解】limgx()lim0limfxf0,
x0x0xx0
所以x0是函数g(x)的可去间断点.
(2)【答案】C
aaaa
【详解】xf(xdx)xdfx()xfx()a0fxdxafa()()fxdx()
0000
aa其中af(a)是矩形ABOC面积,f(xdx)为曲边梯形ABOD的面积,所以xf(xdx)为
00
曲边三角形的面积.
(3)【答案】C
x204x
【详解】fx(0,0)lim
fx(,0)f(0,0)lime1lime1
x0x0x0xx0x
ex1ex1ex1ex1
limlim1,limlim1x0xx0xx0xx0x
故fx(0,0)不存在.
02y4y22
fy(0,0)limf(0,y)f(0,0)lime1lime1lim
y0
y0y0y0yy0yy0y
所以fy(0,0)存在.故选C
(4)【答案】A
fu2v2vu2u
【详解】用极坐标得Fuv,dudvdvfr(r)rdrv1frdr
(2)
01Duv
F2
所以
vfu
u
(5)【答案】C
【详解】(EAE)(AA2)EA3E,(EAE)(AA2)EA3E故EA,EA均可逆.
(6)【答案】D
12
【详解】记D,
21
122122
则ED14,又EA14
2121
所以A和D有相同的特征多项式,所以A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对称矩阵,所以A和D相似.由于实对称矩阵相似必合同,故D正确.
(7)【答案】A
【详解】FzPZzPZmaxXY,zPXzPYzFzFzFz2
(8)【答案】D
【详解】用排除法.设YaXb,由XY1,知道X,Y正相关,得a0,排除A、C由X~N(0,1),Y~N(1,4),得EX0,EY1,所以EY()EaX(b)aEXba0b1,所以b1.排除B.故选择D
二、填空题
(9)【答案】1
2x,xc
【详解】由题设知c|x|0,所以fx()x21,cxc
2x,xc
22,limfxlim22
因为limfxlim(x1)c1
xcxcxcxcxc
又因为f(x)在(,)内连续,f(x)必在xc处连续
22所以limfxlimfxfc(),即c1
c1
xcxcc
(10)【答案】
ln3
【详解】fx,令t1x,得ft2t
1xt2
2x2
xx
121
所以2fxdx2x22dx2lnx2ln6ln2
2ln3
(11)【答案】
4
【详解】(x2ydxdy)利用函数奇偶性xdxdy2
1x2ydxdy2
2
DDD
12d1rrdr2
2004
1
(12)【答案】y
x
dyy
【详解】由,两端积分得lnylnxC1,所以C,又y
(1)1,所以dxx
1
y
.x
(13)【答案】3
【详解】A的特征值为1,2,2,所以A1的特征值为1,12,12,所以4A1E的特征值为4113,41211,41211所以4A1E3113
(14)【答案】
e1
【详解】由DXEX2(EX)2,得EX2DX(EX)2,又因为X服从参数为1的泊松
2
分布,所以DXEX1,所以EX2112,所以PX21e11e1
2!
2
三、解答题
(15)【详解】
方法一:
limx0x12lnsinxxlimx0x12ln1sinxx1
sinxxcosx1sinx1
limx0x3limx03x2limx06x6
1sinxxcosxsinxxcosxsinx
方法二:
limx0x2lnx洛必达法则limx02x2sinxlimx02x3
xsinx1洛必达法则lim06x26
x
(16)【详解】(I)2xdx2ydydzxyzdxdydz
1dz2xdx2ydy
2xdx2ydy
dz11
z2xz2y
(II)由上一问可知,,
x1y1
1zz12x2y12y2x2
所以uxy,()()
xyxyxy11xy11
z2x
u2(12x)2(112)2(123x)2(12)3x.
所以
x1111
(17)
【详解】曲线xy1将区域分成两个区域D1和D2D3,为了便于计算继续对区域分割,最后为
maxxy,1dxdy
D
xydxdydxdydxdy
D1D2D3
1
2222
dx1dydxx1dy1dx1xydy
0002x
12ln2ln2
ln2
(18)【详解】方法一:
(I)由积分的性质知对任意的实数t,
t202t2
tfxdxtfxdx0fxdx2fxdx
t2tt0令x2u,则2fxdx0f2udu0fudutfxdx
t20202
所以tfxdxtfxdx0fxdxtfxdx0fxdx
t222
(II)由
(1)知,对任意的t有tfxdx0fxdx,记a0fxdx,则
x
Gx()20fuduax.所以,对任意的x,
x2x
Gx
(2)Gx()20fuduax
(2)20fuduax
x22
2xfudu2a20fudu2a0所以Gx是周期为2的周期函数.
t2方法二:
(I)设Ft()tfxdx(),由于Ft()ft
(2)ft()0,所以F(t)为常数,
22从而有Ft()F(0).而F(0)0fxdx(),所以Ft()0fxdx(),即
t22
tfxdx()0fxdx().
t222
(II)由(I)知,对任意的t有tfxdx0fxdx,记a0fxdx,则
xx2
Gx()20fuduax,Gx
(2)20fuduax
(2)由于对任意x,Gx
(2)2fx
(2)a2fx()a,Gx()2fx()a所以Gx
(2)Gx()0,从而Gx
(2)Gx()是常数即有Gx
(2)Gx()G
(2)G(0)0所以Gx是周期为2的周期函数.
(19)【详解】方法一:
设An为用于第n年提取(109)n万元的贴现值,则
An(1r)n(109)n
109n19nn
故An1Ann1(1r)n10n1(1r)nn1(1r)n2009n1(1r)n设Sx()nxnx(1,1)
n1
nxx
因为Sx()x(n1x)x(1x)(1x)2x(1,1)
11
所以S()S()420(万元)1r1.05故A20094203980(万元),即至少应存入3980万元.方法二:
设第t年取款后的余款是yt,由题意知yt满足方程
yt(10.05)yt1(109)t,即yt1.05yt1(109)t
(1)
(1)对应的齐次方程yt1.05yt10的通解为ytC(1.05)t设
(1)的通解为yt*atb,代入
(1)解得a180,b3980所以
(1)的通解为ytC(1.05)t180t3980
由y0A,yt0得AC3980C0故A至少为3980万元.
(20)【详解】(I)证法一:
2a1
证法二:
记Dn|A|,下面用数学归纳法证明Dn(n1)an.当n1时,D12a,结论成立.
2a12
当n2时,D223a,结论成立.a2a假设结论对小于n的情况成立.将Dn按第1行展开得
0
Dn2aDn1
2aa2
1
2a1
a2
1
2a
a21
2aDn1aD2n22anan1an2
(1)an2(n1)an
故|A|(n1)an证法三:
记Dn|A|,将其按第一列展开得Dn2aDn1aD2n2,
所以DnaDn1aDn1aD2n2aD(n1aDn2)
a2(Dn2aDn3)an2(D2aD1)an即DnanaDn1anaa(n1aDn2)2anaD2n2
(n2)anan2D2(n1)anan1D1
(n1)anan12a(n1)an
(II)因为方程组有唯一解,所以由AxB知A0,又A(n1)an,故a0.由克莱姆法则,将Dn的第1列换成b,得行列式为
112a1
02a1a22a1a22aa22an1
Dn1na
11
a22aa22a
(n1)(n1)
Dn1n
所以x1
Dn(n1)a
(III)方程组有无穷多解,由A0,有a0,则方程组为
01
01
x11
x20
01xn10
0xn0
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1,所以方程组有无穷多解,其通解为k1000T0100T,k为任意常数.
(21)【详解】(I)
证法一:
假设1,2,3线性相关.因为1,2分别属于不同特征值的特征向量,故1,2线性无关,则3可由1,2线性表出,不妨设3l11l22,其中l1,l2不全为零(若l1,l2同时为0,则3为0,由A323可知20,而特征向量都是非0向量,矛盾)
A11,A22
A3232l11l22,又A3Al(11l22)l11l22
l11l222l11l22,整理得:
2l1120则1,2线性相关,矛盾.所以,1,2,3线性无关.
证法二:
设存在
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