浙江省届中考数学第27讲《图形与变换1》名师讲练含答案.docx
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浙江省届中考数学第27讲《图形与变换1》名师讲练含答案
第27讲 图形与变换
第1课时 图形轴对称与中心对称
1.轴对称与轴对称图形
考试内容
考试
要求
轴对称
轴对称图形
a
定义
把一个图形沿某一条直线折叠,如果能够与另一个图形,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是,两个图形的对应点叫做对称点.
如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分能够完全,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的.
区别
轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.
轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形.
轴对称
的性质
1.对称点的连线被对称轴____________________;
2.对应线段____________________;
3.对应线段或延长线段的交点在____________________上;
4.成轴对称的两个图形.
c
2.中心对称与中心对称图形
考试内容
考试
要求
中心对称
中心对称图形
a
定义
把一个图形绕着一点旋转后,如果与另一个图形重合,那么这两个图形成中心对称,这个点叫做其对称中心,旋转前后重合的点叫做对称点.
把一个图形绕着某点旋转后,能与其自身重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做.
区别
中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.
中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形.
中心对
称的性
质
1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过____________________,而且被对称中心____________________;
2.成中心对称的两个图形.
c
考试内容
考试
要求
基本
思想
转化思想:
有关几条线段之和最短的问题,都是把它们转化到同一条直线上,然后利用“两点之间线段最短”来解决.
c
1.(2016·绍兴)我国传统建筑中,窗框(如图1)的图案玲珑剔透、千变万化,窗框一部分如图2,它是一个轴对称图形,其对称轴有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
2.(2016·湖州)为了迎接杭州G20峰会,某校开展了设计“YJG20”图标的活动,下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3.(2017·衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( )
A.
B.
C.
D.
4.(2017·丽水)如图,由6个小正方形组成的2×3网格中,任意选取5个小正方形并涂黑,则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____________________.
【问题】给出下列图形.
(1)这些图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是________;
(2)画出平行四边形ABCD关于DC所在直线对称的平行四边形A1B1C1D1;
(3)通过
(1)、
(2)解题体验,你想到哪些知识和方法?
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理轴对称图形和中心对称图形;轴对称和中心对称以及画图.
类型一 轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对称图形
(1)(2015·无锡)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.圆
(2)(2017·山东模拟)如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为________.
【解后感悟】
(1)轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图形折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后重合;
(2)解答的关键是菱形是中心对称图形,并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半.
1.
(1)如图,△ABC中,AB=AC,△ABC与△FEC关于点C成中心对称,连结AE,BF,当∠ACB为________度时,四边形ABFE为矩形( )
A.90°B.30°C.60°D.45°
(2)(2015·阳谷模拟)若∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1,P2,连结OP1,OP2,则下列结论最准确的是( )
A.OP1⊥OP2B.OP1=OP2
C.OP1≠OP2D.OP1⊥OP2且OP1=OP2
(3)(2017·温州模拟)如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种.
类型二 网格、平面直角坐标系中的图形变换
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.
【解后感悟】本题运用图形的轴对称变换及旋转变换.解答此类题目的关键是掌握旋转的特点,然后根据题意找到各点的对应点,然后顺次连结即可.
2.
(1)(2015·杭州模拟)如下图均为2×2的正方形网格,每个小正形的边长均为1,请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上,且位置不同的三角形.
(2)(2017·宁波)在4×4的方格中,△ABC的三个顶点都在格点上.
①在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可);
②将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的三角形.
(3)(2015·南昌)如图,正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称,已知A,D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).
(1)求对称中心的坐标;
(2)写出顶点B,C,B1,C1的坐标.
类型三 轴对称变换解决折叠问题
(1)(2016·齐齐哈尔)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连结MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为 .
【解后感悟】此题运用菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识,解题的关键是从题目中抽象出直角三角形.
(2)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在点B′,C′处,线段EC′与线段AF交于点G,连结DG,B′G.
求证:
①∠1=∠2;
②DG=B′G.
【解后感悟】本题运用轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的证明等知识,首先折叠问题是一种常见题型,折叠前后的两个图形对应边、对应角相等,也就是说折叠变换就是全等变换.另外本题考查了一种常见的解题思路,证明两条线段相等或两个角相等,可以证明它们所在的两个三角形全等.
3.
(1)(2015·莆田)数学兴趣小组开展以下折纸活动:
①对折矩形ABCD,使AD和BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
②再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN.
观察,探究可以得到∠ABM的度数是( )
A.25°B.30°C.36°D.45°
(2)(2016·河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连结AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为 .
类型四 轴对称变换解决最小值问题
(2015·内江)如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为( )
A.
B.2
C.2
D.
【解后感悟】此题主要运用了轴对称求最短路线以及正方形、等边三角形的性质,把线段PD与PE长度之和转化为两点之间线段最短是解题关键.
4.(2016·百色)如图,正△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是( )
A.4B.3
C.2
D.2+
【探索研究题】
(2017·台州)如图,矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上,BE=BF,将△AEH,△CFG分别沿边EH,FG折叠,当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的
时,则
为( )
A.
B.2C.
D.4
【方法与对策】利用菱形的翻折变换(折叠问题)为背景给出问题的信息,借助基本图形,即阴影部分是菱形,揭示数量关系,设AB=4y,BE=x,从而得出阴影部分边长为4y-2x,再由重叠部分面积是菱形ABCD面积的
,可得阴影部分边长为
=y,根据4y-2x=y,求出x,从而得出答案.
【对称图形的概念理解不透】
以下图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.矩形C.等腰梯形 D.平行四边形
参考答案
第27讲 图形与变换
第1课时 图形轴对称与中心对称
【考点概要】
1.重合 对称轴 重合 对称轴 垂直平分 相等 对称轴 全等 2.180° 180° 对称中心 对称中心平分 全等
【考题体验】
1.B 2.D 3.B 4.
【知识引擎】
【解析】
(1)①
(2)
(3)轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形以及对称变换画图.
【例题精析】
例1
(1)A
(2)12
例2
(1)如图所示:
点A1的坐标(2,-4);
(2)如图所示,点A2的坐标(-2,4).
例3
(1)如图,过点M作MF⊥DC于点F,∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,∴∠FMD=30°,∴FD=
MD=
,∴FM=DM×cos30°=
,∴MC=
=
,∴EC=MC-ME=
-1.故答案为:
-1.
(2)证明:
①由折叠知,∠1=∠CEF,又由平行四边形的性质知,CD∥AB,∴∠2=∠CEF,∴∠1=∠2.②由折叠知,BF=B′F,又∵DE=BF,∴DE=B′F,由①知∠1=∠2,∴GE=GF,又由平行四边形的性质知,CD∥AB,∴∠DEF=∠EFB,由折叠知,∠EFB=∠EFB′,∴∠DEF=∠EFB′,即∠DEG+∠1=∠GFB′+∠2,∴∠DEG=∠GFB′,∴△DEG≌△B′FG(SAS),∴DG=B′G.
例4 由题意,可得BE与AC交于点P.∵点B与D关于AC对称,∴PD=PB,∴PD+PE=PB+PE=BE最小.∵正方形ABCD的面积为12,∴AB=2
.又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=2
.故所求最小值为2
.故选B.
【变式拓展】
1.
(1)C
(2)D (3)3
2.
(1)
(2)①画出下列其中一个即可.
②
(3)①根据对称中心的性质,可得对称中心的坐标是D1D的中点,∵D1,D的坐标分别是(0,3),(0,2),∴对称中心的坐标是(0,2.5). ②∵A,D的坐标分别是(0,4),(0,2),∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是:
4-2=2,∴B,C的坐标分别是(-2,4),(-2,2),∵A1D1=2,D1的坐标是(0,3),A1的坐标是(0,1),∴B1,C1的坐标分别是(2,1),(2,3),综上,可得顶点B,C,B1,C1的坐标分别是(-2,4),(-2,2),(2,1),(2,3).
3.
(1)B
(2)
或
4.A
【热点题型】
【分析与解】依题可得阴影部分是菱形.∴设BE=x,AB=4y.∴阴影部分边长为4y-2x.又∵重叠部分面积是菱形ABCD面积的
,∴阴影部分边长为
=y.∴4y-2x=y.∴x=
y,∴AE=(4-
)y=
y,∴
=
=
.故答案为A.
【错误警示】B 等边三角形只是轴对称图形,等腰梯形也只是轴对称图形,平行四边形只是中心对称图形,故选B.
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