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小升初知识点汇总数学
小升初知识点汇总
第一章数与代数
一、数的认识
第一节、数的意义及计数单位
知识要点梳理
一、数的意义及分类
1、整数的意义:
像……-3,-2,-1,0,1,2,3……这样的数统称整数,整数的个数是无限的,没有最小的整数,也没有最大的整数。
自然数是整数的一部分。
2、自然数的意义:
在数物体个数的时候,用来表示物体个数的1,2,3,4,5……叫做自然数。
一个物体也没有用0来表示。
自然数的个数是无限的。
最小的自然数是0.,没有最大的自然数。
3、正数与负数的意义:
像1,2,3,……这样的数叫做正数;像-3,-2,-1……这样的数叫做负数。
4、分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
(1)分数单位:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数就是这个分数的单位。
一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一;分子是几,它就有几个这样的分数单位。
(2)分数的分类:
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
由整数部分和真分数部分组成的分数。
5、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用“%”表示。
分数和百分数的关系:
分数既可以表示一个数,也可以表示两个数的比;而百分数是一种特殊的分数;分数的后面可以有单位,而百分数的后面绝不能有单位。
6、小数的意义:
把整数“1”平均分成10份,100份,1000份……这样的1份就是十分之一、百分之一、千分之一……可以用小数表示。
7、小数的分类:
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25 、 0.368 都是纯小数。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
3.25 、 5.26 都是带小数。
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
例如:
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。
例如:
3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如:
3.99 ……的循环节是“ 9 ” , 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。
纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
例如:
3.111 …… 0.5656 ……
混循环小数:
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环 节只有 一个数字,就只在它的上面点一个点。
例如:
3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。
二、计数单位和数位:
1、计数单位:
个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。
2、数位:
各个计数单位所占的位置,叫做数位。
3、数位顺序表:
整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。
整数部分
小数点
小数部分
…
亿级
万级
个级
·
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
十分位
百分位
千分位
万分位
…
计数单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
个
十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
…
第二节、数的读写及大小比较
知识要点梳理
一、数的读、写法
1、整数的读、写法
读法:
从高位到低位,一级一级地读,每一级末尾的0都不读,其他数位不管,连续有几个0,都只读一个零。
读前通常把这个数从个位起每四位分级。
写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有就在那个数位上写0。
2、小数的读写法
读法:
读小数的时候,从左往右,整数部分按整数来读,小数点读作“点”,小数部分从高位到低位顺次读出每一个数位上的数字,即使是连续的0,也要一次读出来。
写法:
写小数时,也是从左往右,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位的右下角,小数部分从高位到低位顺次写出每个数位上的数字。
3、分数的读写法:
读法:
读分数时,先读分数中的分母上的数,再读“分之”,最后读分子上的数。
读带分数时,要先读整数部分,中间加一个“又”字,最后读真分数部分。
写法:
写分数时,先写出分数线,分母写在分数线下面,分子写在分数线下面。
写带分数时,要先写整数部分,再写真分数部分。
二、数的改写
1、把多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
(1)准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
(2)近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。
例如:
1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
(3)四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
例如:
省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。
省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
2、求小数的近似数
根据要求,要把小数保留到哪一位,就把这一位后面的尾数按照“四舍五入”法省略,中间用“
”连接。
2、假分数与带分数或整数之间的互化
(1)假分数化成整数或者带分数的方法。
根据分数与除法的关系:
用假分数的分子除以分母,如果分子是分母的整数倍,所得的商就是整数;如果分子不是分母的整数,所得的商就是带分数的整数部分,余数就是真分数部分的分子,原分母不变。
(2)整数化成假分数的方法。
把整数(0除外)化成假分数,用指定的分母(0除外)做分母,用分母和整数的乘积做分子。
(3)带分数化成假分数的方法。
把带分数化成假分数,用分母和整数的乘积再加上原来的分子的和做分子,原分母不变。
3、分数、小数与百分数之间的互化
1.小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
2.分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
3.一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
4.小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
7.百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
三、数的大小比较
1、整数的大小比较
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
2、小数的大小比较
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
3、分数的大小比较
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
第三节、数的性质
知识要点梳理
1、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘以或者同时除以相同的数(0除外),分数的大小不变
2、小数的基本性质
(1)小数的基本性质:
小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变
(2)小数的基本性质和分数的基本性质的关系:
小数的基本性质与分数的基本性质是一致的。
例如:
3、小数点位置移动引起小数大小变化的规律:
小数点向右移动一位、两位、三位……该数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……该数就缩小到原来的
……,反之亦然。
第四节、因数、倍数、质数、合数
知识要点梳理
1、因数和倍数的意义:
已知a,b,c均为正整数,且a*b=c,那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。
倍数和因数是相互依存的。
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
一个数既是它本身的因数,也是它本身的倍数。
2、2,3,5的倍数的特征:
(1)2的倍数的特征:
个位上是0,2,4,6,8。
(2)5的倍数的特征:
个位上是0,5。
(3)3的倍数的特征:
.各个数位上的数字之和是3的倍数。
(4)既是2又是5的倍数的特征:
个位上是0。
3、奇数和偶数
奇数:
不能被2整除的数叫做奇数。
偶数:
能被2整除的数叫做偶数。
0也是偶数。
自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
4、质数和合数
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如 4、6、8、9、12都是合数。
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和1 8的公约数,6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质
如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
5分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数:
二、数的运算
第一节、整数、小数、分数四则运算的意义
(一)整数四则运算
1、整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
- 在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
- 加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2、整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
-在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数-是总数,减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3、整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
-在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
-在乘法里,0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
-一个因数
一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数
4 、 整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
-- 在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
-- 乘法和除法互为逆运算。
-- 在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
-- 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
(二)小数四则运算
-1.小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
-2.小数减法:
小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.
-3.小数乘法:
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
-4.小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
-5.乘方 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
例如 3 × 3 =32
-
(三)分数四则运算
-1.分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
-2.分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
-3.分数乘法:
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。
-4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。
-5.分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。
就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
第二节、四则混合运算的顺序
1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算 先算乘、除法,后算加减法。
4.有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
5.第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
6.第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
第三节、运算法则
1.整数加法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
2.整数减法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
3.整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
4.整数除法计算法则:
先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位; 如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
5.小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。
6.除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
7.除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8.同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
9.异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10.带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
11.分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
12.分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
第四节、运算定律和性质
1.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a 。
2.加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c) 。
3.乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5.乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c 。
6.减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c) 。
第五节、探索运算规律
一般,探索运算规律分成这几个阶段:
计算给定的题组或试算简单的几道题观察算式和计算结果有何特点比较找出不同算式的共同之处,形成规律的猜测自主举例进一步验证规律周密思考中确认规律。
我们已经学过的运算规律有:
积的变化规律:
一个因数不变,另一个因数扩大或缩小几倍,得到的积就扩大或缩小几倍。
商不变规律:
被除数和除数同乘或除以相同的数(0除外),商不变。
三、式与方程
第一节、用字母表示数
1 用字母表示数的意义和作用
* 用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
(1) 常见的数量关系
- 路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:
- s=vt v=s/t - t=s/v
- 总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:
- a=bc b=a/c c=a/b
(2)运算定律和性质
- 加法交换律:
a+b=b+a 加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
- 乘法交换律:
ab=ba 乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
- 乘法分配律:
(a+b)c=ac+bc 减法的性质:
a-(b+c) =a-b-c
(3)用字母表示几何形体的公式
- 长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用s表示。
- c=2(a+b) s=ab
- 正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用s表示。
- c=4a s=a2
- 平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用s表示。
- s=ah
- 三角形的底用a表示,高用h表示,面积用s表示。
- s=ah/2
- 梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,中位线用m表示,面积用s表示。
- s=(a+b)h/2 s=mh
- 圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用s表示。
- c=∏d=2∏r s=∏ r2
- 扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用s表示。
- s=∏ nr2/360
- 长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用s表示,体积用v表示。
- v=sh
-s=2(ab+ah+bh)
- v=abh
- 正方体的棱长用a表示,底面周长c用表示,底面积用s表示, 体积用v表示.
- s=6a2 v=a3
- 圆柱的高用h表示,底面周长用c表示,底面积用s表示, 体积用v表示.
- s侧=ch s表=s侧+2s底 v=sh
- 圆锥的高用h表示,底面积用s表示, 体积用v表示.
- v=sh/3
3 用字母表示数的写法
- 数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“.”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。
- 当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
- 在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。
- 用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。
4将数值代入式子求值
* 把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:
先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。
字母表示的是数,后面不写单位名称。
* 同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。
第二节、简易方程
(一)方程和方程的解
1方程:
含有未知数的等式叫做方程。
- 注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
- 方程和算术式不同。
算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。
方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时 ,方程才成立 。
2 方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
第三节、解方程
解方程,求方程的解的过程叫做解方程。
第四节、列方程解应用题
1 列方程解应用题的意义
* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2 列方程解答应用题的步骤
* 弄清题意,确定未知数并用x表示;
* 找出题中的数量之间的相等关系;
* 列方程,解方程;
* 检查或验算,写出答案。
3列方程解应用题的方法
* 综合法:
先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。
这是从部分到整体的一种 思维过程,其思考方向是从已知到未知。
* 分析法:
先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。
4列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题:
a一般应用题;
b和倍、差倍问题;
c几何形体的周长、面积、体积计算
d 分数、百分数应用题;
e 比和比例应用题。
四、正比例和反比例
第一节、比的意义和性质
1、 比的意义
- 两个数相除又叫做两个数的比。
- “:
”是比号,读作
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