高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第5节抛物线课时训练理.docx
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高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第5节抛物线课时训练理
2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第5节抛物线课时训练理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
抛物线的定义与应用
4,8,14
抛物线的标准方程及应用
1,2,7
直线与抛物线的位置关系
3,5,9
抛物线的综合应用
6,10,11,12,13,15
基础对点练(时间:
30分钟)
1.(xx沈阳质量监测)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( C )
(A)(0,a)(B)(a,0)
(C)(0,)(D)(,0)
解析:
将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0),
所以焦点坐标为(0,).
2.(xx唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是( B )
(A)y2=2ax(B)y2=4ax
(C)y2=-2ax(D)y2=-4ax
解析:
以F(a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y2=4ax.
3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( B )
(A)x=1(B)x=-1
(C)x=2(D)x=-2
解析:
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为y=x-,与y2=2px联立得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知y1+y2=4,
所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,
故选B.
4.(xx郑州第一次质量预测)已知点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,焦点为F,
|PF|=25,则|ab|等于( D )
(A)100(B)200(C)360(D)400
解析:
根据抛物线的定义可知,准线方程为y=-5,
|PF|=b+5=25,
所以b=20.
又点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,
所以a2=20×20,
所以a=±20,
所以|ab|=400.
5.直线l:
x-y-m=0经过抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点,l与C交于A,B两点,若|AB|=6,则p的值为( B )
(A)(B)(C)1(D)2
解析:
因为直线l过抛物线的焦点,所以m=.
联立
得,x2-3px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=3p,
故|AB|=x1+x2+p=4p=6,
p=.
6.(xx云南统一检测)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,
经过F的直线与抛物线C交于A,B两点,如果·=-12,那么抛物线C的方程为( C )
(A)x2=8y(B)x2=4y
(C)y2=8x(D)y2=4x
解析:
由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),
直线方程为x=my+,
联立
消去x得y2-2pmy-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
得·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2
=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2
=-p2
=-12⇒p=4,
即抛物线C的方程为y2=8x.
7.(xx高考陕西卷)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .
解析:
y2=2px的准线方程为x=-,又p>0,
所以x=-必经过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),
所以-=-,p=2.
答案:
2
8.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为 .
解析:
如图,F为抛物线的焦点,作AH垂直准线于点H,交y轴于点D,作BG垂直准线于点G,交y轴于点C.
因为y2=4x,
所以p=2,|OF|=1,设直线AB为y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以xA·xB=1.①
因为=,
所以=,②
①②联立解得xA=3,xB=,
所以AB中点到准线的距离为
===.
答案:
9.(xx洛阳统考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=5,则|BF|= .
解析:
由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AF|=x1+1=5⇒x1=4,=4x1=16,
根据对称性,不妨取y1=4,
所以直线AB:
y=x-,
代入抛物线方程可得,4x2-17x+4=0,
所以x2=,
所以|BF|=x2+1=.
答案:
10.(xx唐山统考)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12.
(1)求抛物线的方程;
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.
解:
(1)设l:
x=my-2,代入y2=2px,
得y2-2pmy+4p=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2pm,y1y2=4p,
则x1x2==4.
因为·=12,
所以x1x2+y1y2=12,
即4+4p=12.
得p=2,抛物线的方程为y2=4x.
(2)
(1)中(*)式可化为y2-4my+8=0,
y1+y2=4m,y1y2=8.
设AB的中点为M,
则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①
又|AB|=|y1-y2|=,②由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,
解得m2=3,m=±.
所以直线l的方程为x+y+2=0或x-y+2=0.
能力提升练(时间:
15分钟)
11.(xx高考浙江卷)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:
由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA2⊥y轴于点A2,过B作BB2⊥y轴于点B2,
则====.
12.(xx高考四川卷)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=
r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( D )
(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)
解析:
当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,
即x=5±r,
所以0 所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可. 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则 又 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), kAB===. 设圆心为C(5,0), 则kCM=. 因为直线l与圆相切, 所以·=-1, 解得x0=3, 于是=r2-4,r>2, 又<4x0, 即r2-4<12, 所以0 又0 所以2 13.过点P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线,分别与抛物线x2=4y交于A,B两点,若直线AB与圆C: x2+(y-1)2=1交于不同两点M,N,则|MN|的最大值是 . 解析: 设直线PA的斜率为k,A(xA,yA),则直线PA的方程为y-1=k(x+2),由 得x2-4kx-8k-4=0,所以xA-2=4k, 则xA=4k+2, 所以点A(4k+2,(2k+1)2), 同理可得B(-4k+2,(-2k+1)2), 所以直线AB的斜率kAB==1, 设直线AB的方程为y=x+b, 由 得2x2+2(b-1)x+b2-2b=0, 由于AB与圆C交于不同的两点, 所以Δ>0,即1- 则|MN|=· =· =·≤2, 故|MN|的最大值是2. 答案: 2 14.(xx枣庄模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=|MN|,则∠NMF= . 解析: 如图,作NN′⊥l(l为准线)于N′, 则|NN′|=|NF|.又|NF|=|MN|, 所以|NN′|=|MN|. 所以∠NMN′=60°, 所以∠NMF=30°. 答案: 30° 15.(xx大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C: y2=2px(p>0)于A,B两点,直线l2: x=-2交x轴于点Q. (1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值; (2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,· =2,求抛物线C的方程. 解: (1)设直线l1的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 得y2-2pmy-4p=0, y1+y2=2pm, y1·y2=-4p. k1+k2=+=+ = = =0. (2)设P(x0,y0),则直线PA: y-y1=(x-x1), 当x=-2时, yM=, 同理yN=. 因为·=2, 所以4+yNyM=2. 即·=-2, 即=-2, 即=-2, p=,抛物线C的方程为y2=x. 精彩5分钟 1.已知F为抛物线C: y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q(-1,),与C交于点P,则点P的坐标为( D ) (A)(1,2)(B)(2,2) (C)(3,2)(D)(4,4) 解题关键: 设出E点坐标,利用|EQ|=|QF|解出E点坐标,再利用kEF与kQP的关系写出QP方程联立方程组求解. 解析: 由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0). 设E(-1,y),因为PQ为EF的垂直平分线, 所以|EQ|=|FQ|, 即y-= 解得y=4, 所以kEF==-2, kPQ=, 所以直线PQ的方程为y-=(x+1), 即x-2y+4=0. 由 解得 即点P的坐标为(4,4),故选D. 2.(xx郑州模拟)已知实数m是2和8的等比中项,则抛物线y=mx2的焦点坐标为 . 解题关键: 先利用等比数列求得m,再利用抛物线方程求得焦点坐标. 解析: 实数m为2和8的等比中项,所以m2=2×8=16, 所以m=±4, 又因为焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=2py, 所以p=±,所以=±, 又因为焦点在y轴上, 所以该抛物线的焦点坐标为(0,±). 答案: (0,±) 2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第6节曲线与方程基丛点练理 【选题明细表】 知识点、方法 题号 曲线与方程 1,6 直接法求轨迹(方程) 2,7,10,14,15 定义法求轨迹(方程) 4,8,11 相关点法求轨迹(方程) 3,5,12,13 参数法求轨迹(方程) 9,16 1.方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是( C ) 解析: 原方程可化为或x+y+1=0. 显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C. 2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹是( B ) (A)直线(B)圆 (C)椭圆(D)双曲线 解析: 设P(x,y),则 =2, 整理得x2+y2-4x=0, 又D2+E2-4F=16>0,所以动点P的轨迹是圆. 3.(xx银川模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( D ) (A)2x+y+1=0(B)2x-y-5=0 (C)2x-y-1=0(D)2x-y+5=0 解析: 设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0. 4.(xx长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( D ) (A)-=1(B)+=1 (C)-=1(D)+=1 解析: 因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|, 所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆. 所以a=,c=1,则b2=a2-c2=, 所以椭圆的方程为+=1. 5.已知F1,F2分别为椭圆C: +=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( C ) (A)+=1(y≠0)(B)+y2=1(y≠0) (C)+3y2=1(y≠0)(D)x2+=1(y≠0) 解析: 依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得 即 代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0). 6.(xx山西联考)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为( B ) (A)4(B)3(C)2(D)1 解析: 因为e是方程2x2-5x+2=0的根, 所以e=2或e=.mx2+4y2=4m可化为+=1, 当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有=, 所以m=3; 当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有=, 所以m=; 当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为-=1,有=2, 所以m=-12. 所以满足条件的圆锥曲线有3个. 7.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 . 解析: 设P(x,y), 因为△MPN为直角三角形, 所以|MP|2+|NP|2=|MN|2, 所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16, 整理得,x2+y2=4. 因为M,N,P不共线, 所以x≠±2, 所以轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2). 答案: x2+y2=4(x≠±2) 8.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是 . 解析: 如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2, |CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6, 根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的 右支, 故方程为-=1(x>3). 答案: -=1(x>3) 9.(xx聊城一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0), B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是 . 解析: 设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t), 所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2. 答案: y=2x-2 10.(xx宜宾模拟)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使·, ·,·成公差小于零的等差数列,求点P的轨迹方程. 解: 设点P的坐标为(x,y),则 ·=(x+1,y)·(2,0)=2(x+1), ·=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x2+y2-1, ·=(-2,0)·(x-1,y)=2(1-x), 根据已知得 2·=·+·, 即2(x2+y2-1)=2(1+x)+2(1-x), 化简得x2+y2=3, 又由公差小于0可知2(1-x)-2(1+x)<0,解得x>0, 所以点P的轨迹方程为x2+y2=3(x>0). 11. (xx唐山一模)已知圆O: x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程. 解: (1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN(图略),则|OM|+|MN|=|ON|=2,取A关于y轴的对称点A′,连接A′B,故|A′B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4. 所以点B的轨迹是以A′,A为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中,a=2,c=,b=1,则 曲线Γ的方程为+y2=1. (2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD, 则⊥.设B(x0,y0), 则x0(x0-)+=0. 又+=1,解得x0=,y0=±. 则kOB=±,kAB=∓, 则直线AB的方程为y=±(x-), 即x-y-=0或x+y-=0. 能力提升练(时间: 15分钟) 12.(xx洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是( A ) (A)x2+3y2=1(x>0,y>0) (B)x2-3y2=1(x>0,y>0) (C)3x2-y2=1(x>0,y>0) (D)3x2+y2=1(x>0,y>0) 解析: 设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0, 由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y), 即a=x>0,b=3y>0. 点Q(-x,y), 故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1, 即ax+by=1. 将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0). 13.(xx东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0), B(1,1),C(0,1).映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是( D ) 解析: 当P沿AB运动时,x=1, 设P′(x′,y′),则(0≤y≤1) 所以y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1). 当P沿BC运动时,y=1, 则(0≤x≤1), 所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0), 由此可知P′的轨迹如D所示,故选D. 14.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B,若△ABP为正三角形,则点P的轨迹方程为 . 解析: 设P(x,y),动圆P的半径为R, 由于△ABP为正三角形, 所以P到y轴的距离d=R, 即|x|=R. 而R=|PF|=, 所以|x|=·. 整理得(x+3a)2-3y2=12a2, 即-=1. 答案: -=1 15.(xx长春高三调研)已知平面上的动点P(x,y)及两个定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2且k1k2=-. (1)求动点P的轨迹C方程; (2)设直线l: y=kx+m与曲线C交于不同两点M,N,当OM⊥ON时,求O点到直线l的距离(O为坐标原点). 解: (1)设P(x,y), 由已知得·=-, 整理得x2+4y2=4, 即+y2=1(x≠±2). (2)设M(x1,y1),N(x2,y2) 消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 由Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0, 得4k2+1-m2>0. x1+x2=-, x1·x2=, 因为OM⊥ON, 所以x1·x2+y1·y2=0, 即x1·x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1·x2+km(x1+x2)+m2=0, 所以(1+k2)·+km·(-)+m2=0, 所以m2=(k2+1)满足4k2+1-m2>0, 所以O点到l的距离为d=, 即d2==, 所以d=. 16.(xx湖州模拟)已知以C(2,0)为圆心的圆C和两条射线y=±x(x≥0)都相切,设动直线l与圆C相切,并交两条射线于A,B,求线段AB中点M的轨迹方程. 解: 设直线l的方程为y=kx+b. A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 由得A(,)(k≠0). 由得B(,), 所以 由①②得k=,b=,③ 因为圆C与y=±x都相切,所以圆C的半径r=. 因为AB: kx-y+b=0与圆C相切, 所以=,即2k2+4kb+b2-2=0,④ 将③代入④得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0, 因为y2≠x2,所以y2-x2+4x-2=0, 即(x-2)2-y2=2(y≠0), 当l⊥x轴时,线段AB的中点M(2±,0)也符合上面的方程,其轨迹在∠AOB内. 精彩5分钟 1.(xx泉州模拟)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”,以下曲线不是“好曲线”的是( B ) (A)x+y=5(B)x2+y2=9 (C)+=1(D)x2=16y 解题关键: 先确定M的轨迹,再研究各选项与M的轨迹的交点情况,即可得结论. 解析: 因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8, 所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为-=1(x≥4). A.直线x+y=5过点(5,0),满足题意; B.x2+y2=9圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意; C.+=1的右顶点(5,0)满足题意; D.将方程x2=16y代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,此方程有解,满足题意. 故选B. 2.(xx延庆一模)曲线|x|+y2-3y=0的对称轴方程是 ,y的取值范围是 . 解题关键: 以-x代替x,方程不变,可得曲线的对称轴方程,由方程y2-3y=-|x|≤0,可求y的取值范围. 解析: 以-x代替x,方程不变,所以曲线|x|+y2-3y=0的对称轴方程是x=0,由方程可得y2-3y=-|x|≤0, 所以0≤y≤3,即y的取值范围是[0,3]. 答案: x=0 [0,3]
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- 数学 一轮 复习 第九 平面 解析几何 抛物线 课时 训练