高中数学动点轨迹问题专题讲解.docx
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高中数学动点轨迹问题专题讲解.docx
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高中数学动点轨迹问题专题讲解
动点轨迹问题专题讲解
一.专题内容:
求动点
的轨迹方程实质上是建立动点的坐标
之间的关系式,首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系,选择最便于反映这种联系的坐标形式,寻求适当关系建立等式,常用方法有:
(1)等量关系法:
根据题意,列出限制动点的条件等式,这种求轨迹的方法叫做等量关系法,利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉.
(2)定义法:
如果动点满足的条件符合某种已知曲线(如圆锥曲线)的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程.
(3)转移代入法:
如果所求轨迹上的点
是随另一个在已知曲线
:
上的动点
的变化而变化,且
能用
表示,即
,
,则将
代入已知曲线
,化简后即为所求的轨迹方程.
(4)参数法:
选取适当的参数(如直线斜率
等),分别求出动点坐标
与参数的关系式,得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可.
(5)交轨法:
即求两动直线交点的轨迹,可选取同一个参数,建立两动直线的方程,然后消去参数,即可(有时还可以由三点共线,斜率相等寻找关系).
注意:
轨迹的完备性和纯粹性!
一定要检验特殊点和线!
二.相关试题训练
(一)选择、填空题
1.()已知
、
是定点,
,动点
满足
,则动点
的轨迹是(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段
2.()设
,
,
的周长为36,则
的顶点
的轨迹方程是
(A)
(
)(B)
(
)
(C)
(
)(D)
(
)
3.与圆
外切,又与
轴相切的圆的圆心轨迹方程是;
4.P在以
、
为焦点的双曲线
上运动,则
的重心G的轨迹方程是;
5.已知圆C:
内一点
,圆C上一动点Q,AQ的垂直平
分线交CQ于P点,则P点的轨迹方程为.
6.△ABC的顶点为
、
,△ABC的内切圆圆心在直线
上,则顶
点C的轨迹方程是;
(
)
变式:
若点
为双曲线
的右支上一点,
、
分别是左、右焦点,则△
的内切圆圆心的轨迹方程是;
推广:
若点
为椭圆
上任一点,
、
分别是左、右焦点,圆
与线段
的延长线、线段
及
轴分别相切,则圆心
的轨迹是;
7.已知动点
到定点
的距离比到直线
的距离少1,则点
的轨迹方程是
.(
)
8.抛物线
的一组斜率为
的平行弦的中点的轨迹方程是.
(
(
))
9.过抛物线
的焦点
作直线与抛物线交于P、Q两点,当此直线绕焦点
旋转时,
弦
中点的轨迹方程为.
解法分析:
解法1当直线
的斜率存在时,
设PQ所在直线方程为
与抛物线方程联立,
消去
得
.
设
,
,
中点为
,则有
消
得
.
当直线
的斜率不存在时,易得弦
的中点为
,也满足所求方程.
故所求轨迹方程为
.
解法2 设
,
,
由
得
,设
中点为
,
当
时,有
,又
,
所以,
,即
.
当
时,易得弦
的中点为
,也满足所求方程.
故所求轨迹方程为
.
10.过定点
作直线交抛物线
于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________.
(二)解答题
1.一动圆过点
,且与圆
相内切,求该动圆圆心
的轨迹方程.
(定义法)
2.过椭圆
的左顶点
作任意弦
并延长到
,使
,
为椭圆另一顶点,连结
交
于点
,
求动点
的轨迹方程.
(直接法、定义法;突出转化思想)
3.已知
、
是椭圆
的长轴端点,
、
是椭圆上关于长轴
对称的两点,求直线
和
的交点
的轨迹.(交轨法)
4.已知点G是△ABC的重心,
,在
轴上有一点M,满足
,
.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)若斜率为
的直线
与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满足
,试求
的取值范围.
解:
(1)设
,则由重心坐标公式可得
.
∵
,点
在
轴上,∴
.
∵
,
,∴
,即
.
故点
的轨迹方程为
(
).(直接法)
(2)设直线
的方程为
(
),
、
,
的中点为
.
由
消
,得
.
∴
,即
.①
又
,∴
,
∴
.
∵
,∴
,∴
,即
,
∴
,又由①式可得
,∴
且
.
∴
且
,解得
且
.
故
的取值范围是
且
.
5.已知平面上两定点
、
,
为一动点,满足
.
(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;(直接法)
(Ⅱ)若A、B是轨迹
上的两动点,且
.过A、B两点分别作轨迹
的切线,设其交点为
,证明
为定值.
解:
(Ⅰ)设
.由已知
,
,
.
,……………………………………………3分
∵
,
∴
.
整理,得
.
即动点
的轨迹
为抛物线,其方程为
.
6.已知O为坐标原点,点
、
,动点
、
、
满足
(
),
,
,
.求点M的轨迹W的方程.
解:
∵
,
,
∴MN垂直平分AF.
又
,∴点M在AE上,
∴
,
,
∴
,
∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴
,半焦距
,
∴
.
∴点M的轨迹W的方程为
(
).
7.设
,
为直角坐标系内
轴正方向上的单位向量,若向量
,
,且
.
(1)求点
的轨迹
的方程;(定义法)
(2)过点
作直线
与曲线
交于
、
两点,设
,是否存在这样的直线
,使得四边形
是矩形?
若存在,求出直线
的方程,若不存在,试说明理由.
解:
(1)
;
(2)因为
过
轴上的点
.若直线
是
轴,则
两点是椭圆的顶点.
,所以
与
重合,与四边形
是矩形矛盾.
故直线
的斜率存在,设
方程为
,
.
由
消
得
此时
>
恒成立,且
,
,
,所以四边形
是平行四边形.
若存在直线
,使得四边形
是矩形,则
,即
.
,
∴
.
即
.
.
,得
.
故存在直线
:
,使得四边形
是矩形.
8.如图,平面内的定点F到定直线l的距离为2,定点E满足:
=2,且
于G,点Q是直线
上一动点,点M满足:
,点P满足:
,
.
(
)建立适当的直角坐标系,求动点P的轨迹方程;
(
)若经过点E的直线
与点P的轨迹交于相异两点A、B,令
,当
时,求直线
的斜率
的取值范围.
解:
(1)以
的中点
为原点,以
所在直线为
轴,建立平面直角坐标系
,设点
,
则
,
,
.
∵
,
,∴
,
.
∵
,∴
,
即所求点
的轨迹方程为
.
(2)设点
设AF的斜率为
,BF的斜率为
,直线
的方程为
由
…………6分
…………7分
…………8分
…………10分
由于
…………11分
解得
…………13分
∴直线
斜率k的取值范围是
9.如图所示,已知定点
,动点
在
轴上运动,过点
作
交
轴于点
,并延长
到点
,且
,
.
(1)求动点
的轨迹方程;
(2)直线
与动点
的轨迹交于
、
两点,若
,且
,求直线
的斜率
的取值范围.
解:
(1)设
,由
得
,
,
,
,
又
,∴
,即动点
的轨迹方程为
.
(2)
10.已知点
,点
在
轴上,点
在
轴上,
为动点,满足
,
.
(1)求
点轨迹
的方程;
(2)将
(1)中轨迹
按向量
平移后得曲线
,设
是
上任一点,过
作圆
的两条切线,分别交
轴与
、
两点,求
的取值范围.
解:
(1)设
、
、
,则
、
、
.
由题意得
∴
∴
,
故动点
的轨迹方程为
.
(2)
11.如图
和
两点分别在射线
、
上移动,且
,
为坐标原点,动点
满足
.
(1)求
的值;
(2)求
点的轨迹
的方程,并说明它表示怎样的曲线?
(3)若直线l过点
交
(2)中曲线
于
、
两点,且
,求
的方程.
解:
(1)由已知得
,
∴
.
(2)设P点坐标为
(
),由
得
,
∴
消去
,
可得
,
又因
,∴P点的轨迹方程为
.
它表示以坐标原点为中心,焦点在
轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线
的右支.
(3)设直线l的方程为
,将其代入C的方程得
即
,
易知
(否则,直线l的斜率为
,它与渐近线平行,不符合题意)
又
,
设
,则
∵l与C的两个交点
在
轴的右侧
,
∴
,即
,又由
同理可得
,
由
得
,∴
由
得
,
由
得
,
消去
得
考虑几何求法!
!
解之得:
,满足
.
故所求直线l存在,其方程为:
或
.
12.设A,B分别是直线
和
上的两个动点,并且
,动点P满足
.记动点P的轨迹为C.
(
)求轨迹C的方程;
(
)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且
,求实数
的取值范围.
解:
(
)设
,因为A、B分别为直线
和
上的点,故可设
,
.
∵
, ∴
∴
又
, ∴
.
∴
. 即曲线C的方程为
.
(
)设N(s,t),M(x,y),则由
,可得(x,y-16)=
(s,t-16).
故
,
.
∵M、N在曲线C上,∴
消去s得
.
由题意知
,且
,解得
.
又
,∴
.解得
(
).
故实数
的取值范围是
(
).
13.设双曲线
的两个焦点分别为
、
,离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线
、
的方程;(
)
(2)若A、B分别为
、
上的动点,且
,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明是什么曲线.(
)
提示:
,又
,
,
则
,
.
又
,
代入距离公式即可.
(3)过点
是否存在直线
,使
与双曲线交于
、
两点,且
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.(不存在)
14.已知点
,直线
,设动点P到直线
的距离为
,已知
,且
.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若
,求向量
与
的夹角;
(3)如图所示,若点G满足
,点M满足
,且线段MG的垂直平分线经过点P,求△PGF的面积.
15.如图,直线
与椭圆
(
)交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).
(1)若
,且四边形OAPB为矩形,求
的值;(
)
(2)若
,当
变化时(
),求点P的轨迹方程.(
(
))
16.双曲线C:
(
,
)的离心率为2,其中
,
,且
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若双曲线C上存在关于直线
:
对
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