九年级一元二次方程导学案.docx
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九年级一元二次方程导学案
一元二次方程导学案
花边有多宽
(1)
学习目标:
1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2、会识别一元二次方程及各部分名称。
一、学前准备
问题一:
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为5m.地毯中央长方形图案的面积为18m2。
根据这一情境,结合已知量你想求哪些量?
你能根据条件列出关于这个量的什么关系式?
问题二:
你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗?
得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么?
根据猜想继续找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
问题三:
如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米?
归纳一元二次方程的概念:
结合上面三个问题得到的三个方程,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。
一元二次方程概念:
含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。
经过整理后,一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0),即它的一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)。
应从两方面理解一元二次方程的一般形式:
(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程,则有a≠0;
(2)若a≠0(b、c可以为零),则ax2+bx+c=0是一元二次方程。
判断一个方程是不是一元二次方程,满足三个条件:
①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程;③二次项系数不能为零。
简而言之是指经化简后,若符合ax2+bx+c=0(a≠0),则为一元二次方程,否则不是。
二、探究活动【合作·沟通】
1、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?
请根据这一问题列出方程.
易错易混点
1.下列关于x的方程:
(1)ax2+bx+c=0;
(2)
;(3)
;(4)
中,一元二次方程的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.判断方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。
(1)一变:
若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程,则m应满足_________。
(2)二变:
若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程,则m的值为__________。
3.m为何值时,关于x的方程
是一元二次方程?
三、当堂自我测验【基础训练】(100分)
1、一元二次方程的一般形式是_________________(a,b,c为常数,a≠0)二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______.
2、填表
方 程
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
3、请在一元二次方程的后面打“√”
(1)7x2-6x=0()
(2)2x2-5xy+6y=0()
(3)2x2-
-1=0()(4)x2+2x-3=1+x2()
4、如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?
(只列方程)
5.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为5m.如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,则花边多宽?
(只列方程)
四、学习收获
学生通过本节课的学习,自己归纳本节的知识要点,学会了什么?
还有哪些困惑?
五、应用与拓展提高
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是()
A.ax2+bx+c=0B.k2x+5k+6=0
C.
D.(m2+3)x2+2x-2=0
2.若下列方程是关于x的一元二次方程,求出m的取值范围。
(1)
;
(2)
3.某城市2003年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2005年底增加到363公顷,设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是()
A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=300
4.某种产品,原来每件产品成本是700元,由于连续两次降价,现在成本为448元,如果每次降低成本的百分数相同,求每次降低成本百分之多少?
若设每次降低成本的百分数为x,则第一次降低成本后的成本为___________,第二次降低成本后的成本为____________,这样可列方程得__________________。
5.已知:
直角三角形的周长为
,斜边上的中线长为1,试求这个直角三角形的面积。
6.
如图Y2—01①所示,用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成如图Y2—01②所示的底面积为1500cm2的没盖的长方体盒子。
想一想:
应怎样求出截去的小正方形的边长?
若设小正方形的边长为xcm,那么这个盒子的底部的长及宽分别为_______________cm和________cm,根据题意,可得方程__________________整理成一般形式得________________。
六、作业布置
1.预习下一课2.完成导学案
花边有多宽
(2)
学习目标:
1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型,继续深化对一元二次方程的认识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程,促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和能力。
一、学前准备
在上一节课中,我们得到了如下的两个一元二次方程:
,即:
;
,即:
。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决?
你能求出各方程中的x吗?
二、探究活动【合作·沟通】
1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线,不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表(能测量是否通)进行检查,你怎样快速的找到这一处断裂处?
与同伴进行交流。
2、在前一节课的问题中,我们若设地毯花边的宽为x(m),得到方程:
,即:
;
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由.
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
说说你的理由,并与同伴进行交流.
(3)完成下表:
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴进行交流.
3.上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程,即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
,把这个方程化为一般形式为
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?
为什么?
(3)底端滑动的距离可能是2m吗?
可能是3m吗?
为什么?
(4)x的整数部分是几?
十分位是几?
三、当堂自我测验【基础训练】(100分)
1、把下列一元二次方程化为一般形式
_________________,(x-2)2=5___________________,
2、方程
的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()
A、
、
、
;B、
、
、
;C、
、
、
;D、
、
、
3、
中,一元二次方程的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个
4、观察下列等式:
,用含自然数
的等式表示这种规律为
5、从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?
请根据这一问题列出方程.
【探究提高】(20分)
6.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在踞水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员踞水面的高度h(m)满足关系:
h=10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作.
四、学习收获
互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键,以及在求解(或近似解)时应注意的问题。
五、应用与拓展提高
1.下列方程中是一元二次方程的是()
①ax2=bx;②
;③
;④
;⑤
;⑥
A.①②④⑥B.②C.①②③④⑤⑥D.②③
2.某学校计划在一块长8米,宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花,使矩形四周的草地的宽度都一样,求四周草地的宽度应为多少?
设矩形四周留下草地的宽为x米,根据题意下列方程不正确的是()
A.48-(16x+12x-4x2)=16B.16x+2x(6-2x)=32
C.(8-x)(6-x)=16D.(8-2x)(6-2x)=16
3.若关于x的一元二次方程
的一个根是0,则a的值为()
A.1B.-1C.1或-1D.
4.某地2004年外贸收入为2.5亿元,2006年外贸收入达到了4亿元,若平均每年的增长率为x,则可列出方程为()
A.2.5(1+x)2=4B.(2.5+x%)2=4C.2.5(1+x)(1+2x)=4D.2.5(1+x%)2=4
5.若关于x的方程
是一元二次方程,则m=_______________。
6.方程x2-2x-1=0的近似解是__________________.(结果精确到十分位)
7.当x_______时,代数式x2-4x+3的值等于0.
8.某高新技术生产的生产总值,两年内由50万元增加到75万元。
若每年产值的增长率相同,设增长率为x,则可列方程为_____________。
9.已知a≠0,a≠b,且x=1是方程ax2+bx-10=0的一个解,则
的值是____________。
10.已知:
方程
,当m_________时,它是一元二次方程,当m________时,它是一元一次方程。
11.
一口井直径为1.5米,用一根竹竿直插入井底,竹竿高出井口半米,如果把竹竿斜插入井口,竹竿刚好与井口平。
(如图Y2—02所示)求竹竿的长度,设竹竿长x米,则井深为___________米,可列方程为___________________。
12.已知x=1是关于x的方程x2-ax+1=0的根,化简:
。
13.一个长方形的周长是30cm,面积是54cm2,求这个长方形的长和宽。
14.在宽20m,长32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路。
把耕地分成大小相等的六块试验地,要使试验地总面积变为570m2,那么道路的宽应为多少米?
六、作业布置
1.预习下一课2.完成导学案
配方法
(1)
学习目标:
1、会用开方法解形如
的方程,理解配方法,会用配方法解二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程;
2、经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,增强学生的数学应用意识和能力;
一、学前准备
1、如果一个数的平方等于
,则这个数是,若一个数的平方等于7,则这个数是。
一个正数有几个平方根,它们具有怎样的关系?
2、用字母表示完全平方公式。
3、用估算法求方程
的解?
你喜欢这种方法吗?
为什么?
你能设法求出其精确解吗?
二、探究活动【合作·沟通】
1、自主探究·解决问题
(1)工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM2正方形,请你帮他想一想,这个正方形的边长应为;若它的面积为75CM2,则其边长应为。
(2)如果一个正方形的边长增加
后,它的面积变为
,则原来的正方形的边长为。
若变化后的面积为
呢?
(小组合作交流)
(3)你会解下列一元二次方程吗?
(独立练习)
;
;
。
(4)上节课,我们研究梯子底端滑动的距离
满足方程
你能仿照上面几个方程的解题过程,求出
的精确解吗?
你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?
(合作交流)
2、师生探究·合作交流
做一做:
(填空配成完全平方式,体会如何配方)
填上适当的数,使下列等式成立。
问题:
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系?
对于形如
的式子如何配成完全平方式?
(小组合作交流)
解决例题
(1)解方程:
x2+8x-9=0.(师生共同解决)
(2)解决梯子底部滑动问题:
(仿照例1,学生独立解决)
及时小结、整理思路
用这种方法解一元二次方程的思路是什么?
其关键是什么?
(小组合作交流)
应用提高:
例3:
如图,在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠,使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半,试求水渠的宽度。
3、学以致用【应用·巩固】
解下列方程
三、当堂自我测验【基础训练】(100分)
1.x2-8x+=(x-___)2
2.一元二次方程x2-16=0的解为()
A.x=4B.x1=4,x2=-4C.x=-4D.x1=2,x2=-2
3、用配方法解下列方程,正确的是().
A.x2-2x-99=0,化为(x-1)2=98
B.x2-2x-99=0,化为(x+1)2=98
C.x2-5x–4=0,化为(x-
)2=
D.x2-5x–4=0,化为(x-
)2=
4.如果二次三项式x2-6x+m2是一个完全平方式,那么m的值是()
A.9B.3C.-3D.±3
四、学习收获
师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键,以及在应用配方法时应注意的问题。
五、应用与拓展提高
1.解方程:
25(x+1)2-49=0
2.解方程:
x2-10x+25=7
六、作业布置
1.预习下一课
2.完成导学案
配方法
(2)
学习目标:
①经历配方法解一元二次方程的过程,获得解二元一次方程的基本技能;
②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想;
一、学前准备
1.回顾配方法解一元二次方程的基本步骤:
例如,x2-6x-40=0
2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式口头回答.
1)x2+2x+________=(x+______)2
2)x2-4x+________=(x-______)2
3)x2+________+36=(x+______)2
4)x2+10x+________=(x+______)2
5)x2-x+________=(x-______)2
3.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别
1)x2+6x+8=02)3x2+18x+24=0
探讨方程2的应如何去解呢?
二、探究活动【合作·沟通】
1.讲解例题:
解方程3x2+8x-3=0
2.应用提高:
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:
h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度?
三、当堂自我测验【基础训练】(100分)
1.+16x+=2(x+4)2
2.如果x2-10x+y2-16y+89=0,则x=,y=.
3、用配方法解下列方程,正确的是().
A.x2-4x-12=0,化为(x-2)2=12B.x2-4x-12=0,化为(x+2)2=16
C.2x2-5x–4=0,化为(x-
)2=
D.2x2-5x–4=0,化为(x-
)2=
4.某企业计划用两年时间把上缴利税提高44%;若每年比上一年提高的百分率相同,则可得方程解得:
x=
四、学习收获
1.学生总结解一元二次方程的基本步骤;
2.利用一元二次方程解决实际问题的思路,对于结果的理解。
五、应用与拓展提高
1.用配方法解方程:
0.4x2-0.8x=1
2.解方程:
六、作业布置
1.预习下一课2.完成导学案
公式法
学习目标:
①能够正确的导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数,判断出方程的根的情况,在此过程中,培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力。
一、学前准备
①用配方法解下列方程:
(1)2x2+3=7x
(2)3x2+2x+1=0
②由学生总结用配方法解方程的一般方法:
二、探究活动【合作·沟通】
提出问题:
解一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0)
主要问题通常出现在这样的几个地方:
(1)
中
运算的符号出现错误和通分出现错误
(2)不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时,两边才能开平方
(3)两边开平方,忽略取“±”。
公式法:
一元二次方程的求根公式:
(b2-4ac≥0),
步骤如下:
(1)把方程化为一般形式,进而确定a、b、c的值(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值,(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式,求出
的值,最后写出方程的根。
三、当堂自我测验【基础训练】
1、判断下列方程是否有解:
(口答)
(1)2x2+3=7x
(2)x2-7x=18(3)3x2+2x+1=0(4)9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0
2、上述方程如果有解,求出方程的解
3、课本随堂练习2.
一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,求这个三角形的三条边长。
四、学习收获
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
2、用公式法解方程应注意的问题是什么?
3、你在解方程的过程中有哪些小技巧?
五、应用与拓展提高
1、用公式法解下列方程:
2x2-4x-1=05x+2=3x2
(x-2)(3x-5)=02x2+7x=4
x2-
x+2=0
2、列方程解应用题
1)、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
2)、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
3)、某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件,
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元?
(2)选作题每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
六、作业布置
1.预习下一课2.完成导学案
分解因式法
学习目标:
1、能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性;
2、会用分解因式法(提公因式法、公式法)解决某些简单的数字系数的一元二次方程;
一、学前准备
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为。
3、选择合适的方法解下列方程:
x2-6x=7
3x2+8x-3=0
二、探究活动【合作·沟通】
1、自主探究·解决问题
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?
如果能,这个数是几?
你是怎样求出来的?
说明:
如果ab=0,那么a=0或b=0,“或”是“二者中至少有一个成立”的意思,包括两种情况,二者同时成立;二者有一个成立。
“且”是“二者同时成立”的意思。
★分解因式法:
当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个因式的乘积时,令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程,分别解之,得到的解就是原方程的解,这种解方程的方法称为分解因式法。
一般步骤如下:
(1)把方程整理使其右边化为0;
(2)把方程左边分解成两个一次因式的乘积;
(3)令每个因式分别等于零,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
2、师生探究·合作交流
解下列方程:
(1)、5X2=4X
(2)、X-2=X(X-2)
(3)、(X+1)2-25=0
问题:
1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?
步骤是什么?
(小组合作交流)
2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解?
(课下交流完成)
三、当堂自我测验【基础训练】(100分)
1.一元二次方程x2–2x=0的解是()
A、0B、0或2C、2D、此方程无实数解
2.方程x(x+3)=(x+3)的根为
A、x1=0,x2=3B、x1=0,x2=-3C、x=0D、x=-3
3.解方程:
(x-2)(x+3)=0
4.解方程:
x
5.解方程:
(x
四、学习收获
师生互相交流总结
1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。
2、在应用分解因式法时应注意的问题。
3、分解因式法体现了怎样的数学思想?
五、应用与拓展提高
1、解下列方程:
(1)(X+2)(X-4)=0
(2)X2-4=0
(3)4X(2X+1)=3(2X+1)
2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍,求这个数?
3、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的速度h(m),与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2小球何时能落回地面?
4、一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0,求m的值
六、作业布置
1.预习下一课2.完成导学案
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- 九年级 一元 二次方程 导学案
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