普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷word版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷word版
2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)
理科数学
一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1.已知集合M{x|4x2},N{x|x2x60},则MN()
A.{x|4x3}
B.{x|4x2}
C.{x|2x2}
D.{x|2x3}
2.设复数z满足zi1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()
A.
22
(x1)y1
B.
22
(x1)y1
C.
2
(1)21
xy
D.
2
(1)21
xy
3.已知alog20.2,
0.2
b2,
0.3
c0.2,则()
A.abc
B.acb
C.cab
D.bca
51
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
2
51
(0.618
2
称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的
头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5.若某人满足上述两个黄金分割比
1
2
例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()
1
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
5.函数
f(x)
sinxx
2
cosxx
在[,]的图像大致为()
A.
B.
C.
D.
2
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻
组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦.在所有重
卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()
A.
5
16
B.11
32
C.
21
32
D.
11
16
7.已知非零向量a,b满足a2b,且(ab)b,则a与b的夹角为()
A.
6
B.
3
2
C.
3
D.
5
6
1
8.右图是求
2+
1
2+
1
2
的程序框图,图中空白框中应填入()
1
AA.
2
A
B.
A2
1
A
3
C.
A1
1
2A
D.
A
1
12A
9.记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40,a55,则()
A.an2n5B.an3n10C.
221
1
S2n8nD.Sn2n
nn
2
10.已知椭圆C的焦点为(1,0)
F,F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若
1
|AF2|2|F2B|,|AB||BF1|,则C的方程为()
2
x
2
A.1
y
2
2y
2
x
B.1
32
2y2x
C.1
43
2y2x
D.1
54
11.关于函数f(x)sinxsinx有下述四个结论:
①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,)
2
单调递增
③f(x)在,有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是()
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PAPBPC,ABC是边长为
2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF90,则球O的体积为()
A.86
B.46
C.26
4
D.6
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.曲线
2x
y3(xx)e在点(0,0)处的切线方程为.
1
14.记Sn为等比数列an的前n项和,若1
a,
3
2
aa,则S5.
46
15.甲乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该对获胜,决赛结
束)根据前期的比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的
概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛相互独立,则甲队以4:
1获胜的概率是
.
16.已知双曲线C:
22
xy
221(a0,b0)
ab
的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的
两条渐近线分别交于A,B两点.若
uuruuuuruuruuuur
F1AAB,F1BF2B0
,则C的离心率为.
三、解答题(本大题共5小题,共60分)
17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设
22
sinBsinCsinAsinBsinC.
(1)求A;
(2)若2ab2c,求sinC.
18.如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD60,
E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:
MN//平面C1DE;
(2)求二面角AMA1N的正弦值.
2
19.已知抛物线C:
y3x
的交点为P.
的焦点为F,斜率为
3
2
的直线l与C的交点为A,B,与x轴
(1)若|AF||BF|4,求l的方程;
(2)若AP3PB,求|AB|.
5
20.已知函数f(x)sinxln(1x),f(x)为f(x)的导函数.证明:
(1)f(x)在区间(1,)
2
存在唯一极大值点;
(2)f(x)有且仅有2个零点.
21.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物实
验.实验方案如下:
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验.对于两只白鼠,随机选一只
施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮实验.当其中一种药治
愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止实验,并认为治愈只数多的药更有效.为
了方便描述问题,约定:
对于每轮实验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则
甲药得1分,乙药得1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,
甲药得1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为
和,一轮实验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分,(0,1,,8)
pi表示“甲药的累计得分为i
i
时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p00,p81,
papbpcp(i1,2,,7),其中aP(X1),bP(X0),
ii1ii1
cP(X1).假设0.5,0.8.
(i)证明:
{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列;
(ii)求p4,并根据p4的值解释这种实验方案的合理性.
四、选做题(2选1)(本大题共2小题,共10分)
0.4在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x
y
2
2
1t
1t(t)
为参数.以坐标原点O为极
4t
2
1t
点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
2cos3sin110.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
0.5已知a,b,c为正数,且满足abc1,证明:
(1)
111
abc
222
abc
6
(2)
333
(ab)(bc)(ca)24
7
2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)
理科数学答案
21.答案:
C
解答:
由题意可知,N{x|2x3},又因为M{x|4x2},则
MN{x|2x2},故选C.
22.答案:
C
解答:
∵复数z在复平面内对应的点为(x,y),
∴zxyi
∴xyii1
∴
2
(1)21
xy
23.答案:
B
解答:
由对数函数的图像可知:
alog20.20;再有指数函数的图像可知:
b20.21,
0.6
0c0.21,于是可得到:
acb.
24.答案:
B
解答:
方法一:
设头顶处为点A,咽喉处为点B,脖子下端处为点C,肚脐处为点D,腿根处为点E,足
底处为F,BDt,
5
2
1
,
根据题意可知
AB
BD
故ABt;又ADABBD
(1)t,
AD
DF
,故
DF
1
t
;
2
(1)51
所以身高hADDFt代入可得h4.24t.
,将0.618
2
根据腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm可得ABAC,DFEF;
1
51
即t26,105
t,将0.618即t26,105
2
所以169.6h178.08,故选B.
方法二:
代入可得40t42
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近,故头顶至脖子下端的长度26cm
可估值为头顶至咽喉的长度;根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
1
5151
(0.618称为黄金分割比例)可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm;将22
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm,头顶至
51
肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
可计算出肚脐至足底的长度约为110;将头2
顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm,与答案175cm更为接
近,故选B.5.答案:
D解答:
sinxx
f(x)
∵2
cosxx
sin
cos
xx
2
xx
f(x),
∴f(x)为奇函数,排除A,
sin
42
22
f()0,排除C,又22
2
cos
22
sin
f,排除B,故选D.
()0
22
1cos
25.答案:
A
解答:
每爻有阴阳两种情况,所以总的事件共有26种,在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有
3
6
C
种,所以
3
C205
6
P.
6
26416
答案:
26.答案B
解答:
设a与b的夹角为,
∵(ab)b
∴
2
(ab)babcosb=0
∴
cos=
1
2
∴=
.
3
27.答案:
A
解答:
2
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A代入运算可得
1
A=
1
2+
2+
1
2
,满足条件,
选项B代入运算可得
1
A=2+
2+
1
2
不符合条件,
选项C代入运算可得
1
A,不符合条件,
2
选项D代入运算可得
28.答案:
A
解析:
1
A1+,不符合条件.
4
依题意有
S4a6d0
41
aa4d5
51
,可得
a13
d2
,25
an,
n
24
Snn.
n
29.答案:
B
解答:
由椭圆C的焦点为(1,0)
1
可设|BF2|m,则|AF2|2m,|BF1||AB|3m,根据椭圆的定义可知
1
|12,得ma
BF||BF|m3m2a
2
1
,所以|BF2|a,|AF2|a,可知A(0,b),
2
22
31
xy
根据相似可得)
B(,b代入椭圆的标准方程1
22
22
ab
2
2a2c2
,得3
a,b2,
2y
2
x
C1
32
.
30.答案:
C
解答:
因为f(x)sinxsin(x)sinxsinxf(x),所以f(x)是偶函数,①正确,
因为
52
(,)
632
,而
52
f()f()
63
画出函数f(x)在,上的图像,很容易知道f(x)有3零点,所以③错误,
结合函数图像,可知f(x)的最大值为2,④正确,故答案选C.
31.答案:
D
解答:
3
设PAx,则
222222
PAPC-ACxx4x2
cosAPC=
2
2PAPC2xxx
∴
2222cos
CEPEPCPEPCAPC
222
xxx2x
2
x2x2
2
42x4
∵CEF90,
1x
EFPB,CF3
22
∴
222
CEEFCF,即
22
xx
23
44
,解得x2,
∴PAPBPC2
又ABBCAC2
易知PA,PB,PC两两相互垂直,
故三棱锥PABC的外接球的半径为6
2
,
3
∴三棱锥PABC的外接球的体积为
46
32
6
,故选D.
32.答案:
y3x
解答:
∵
x2x
y3(2x1)e3(xx)e
2x
3(x3x1)e,
∴结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0)处的切线方程的斜率为k3,
∴切线方程为y3x.
33.答案:
S5
解答:
121
3
1
2
a,aa∵
46
1
3设等比数列公比为q
∴
325
(aq)aq
11
∴q3
∴S5
121
3
34.答案:
0.18
4
解答:
甲队要以4:
1,则甲队在前4场比赛中输一场,第5场甲获胜,由于在前4场比赛中甲有2
个主场2个客场,于是分两种情况:
1221
C20.60.40.50.60.6C20.50.50.60.18.
35.答案:
2
解答:
由
uuruuuuruuruuuur
F1AAB,F1BF2B0知A是BF1的中点,
uuruuuur
FBFB
12
,又O是F1,F2的中点,所以OA
为中位线且OABF1,所以OBOF1,因此F1OABOA,又根据两渐近线对称,
FOAFOB,所以F2OB60,
12
e
b
22
1()1tan602
a
.
36.答案:
略
解答:
(1)由
22
sinBsinCsinAsinBsinC得
222
sinBsinCsinAsinBsinC
结合正弦定理得
222
bcabc
∴
cosA=
2221
bca
2bc2
又A(0,),∴=
A.
3
(2)由2ab2c得2sinAsinB2sinC,
∴2sinAsinAC2sinC
∴
6
sin(C)2sinC,
23
∴
312
sinCcosC
222
5
∴
2
sin(C)
62
又
0
2
C∴
3
C
662
又sin(C)0∴0
6
C
62
∴
cos
2
C,
62
∴sinCsin(C)sincoscossin
CC62
666666
4
.
37.答案:
(1)见解析;
(2)10
5
.
解答:
(1)连结M,E和B1,C,∵M,E分别是BB1和BC的中点,∴ME//B1C且
1
MEBC,
1
2
又N是A1D,∴ME//DN,且MEDN,∴四边形MNDE是平行四边形,
∴MN//DE,又DE平面C1DE,MN平面C1DE,∴MN//平面C1DE.
(2)以D为原点建立如图坐标系,由题D(0,0,0),A(2,0,0),
A1(2,0,4),M(1,3,2)
uuru
A1A(0,0,4)
,
uuuur
A1M(1,3,2)
,
uuur
A1D(2,0,4)
,设平面AA1M的法向量为
ur
n1(x1,y1,z1)
,平面DA1M的法向量为
uur
n2(x2,y2,z2)
,
由
uruuru
nAA0
11
uruuuru得
nAM0
11
4z0
1
,令
x3y2z0
111
x得
13
ur
n1(3,1,0)
,
6
由
∴
uuruuur
nAD02x4z0
22
21
uuruuuru得
x3y2z0
nAM0
222
21
uruur
uruur
nn15
12
cosn,nuruur,∴二面角
12
5
nn
12
uur
,令x22得
n2(2,0,1)
,
AMAN的正弦值为10
1
5
.
38.答案:
(1)8y12x70;
413
(2).
3
解答:
3
lyxb
2
,设(,)
Ax1y,B(x2,y2),
1
y
3
2
x
b
消去y化简整理得
(1)联立直线l与抛物线的方程:
2
y
3x
9229
2b
2
x(3b3)xb0,(3b3)40,
44
1
b,
2
4(33b)
xx,
12
9
3
依题意|AF||BF|4可知4
x1x,即
2
2
5
x1x,故
2
2
4(33b)
9
5
2
,得
7
b,满足0,故直线l的方程为
8
37
yx,即8y12x70.
28
y
3
2
x
b
(2)联立方程组
消去x化简整理得y22y2b0,48b0,
2
y
3x
1
b,y1y22,y1y22b,AP3PB,可知
2
y13y,则2y22,得
2
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