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ST4

授課目錄

第1章導論

第2章統計資料的整理與描述

第3章機率導論

第4章常用的機率分佈與統計分佈

第5章描樣方法與描樣分佈

第6章統計估計

第7章統計檢定

第8章變異數分析

第9章相關分析與迴歸模式

第10章無母數統計檢定

第11章類別資料分析---列聯表與卡方檢定

第四章常用的機率分佈與統計分佈

一組樣本資料常呈現某種特殊型式的機率分配。

當獲得母體的樣本資料時，須從各種機率分佈當中，選擇出最接近該母體的機率分佈，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。

常用的機率分佈有：

離散型與連續型二大類。

4.1離散型機率分佈

離散型機率分佈（p）---常見有二項分佈、卜氏分佈、離散型均勻分佈、超幾何分佈。

若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結果，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。

令隨機變數x=1代表成功的事件，x=0代表失敗的事件，此稱隨機變數X服從白努利分佈（BernoulliDistribution）。

x

1

0

P（x）

p

1-p

E[X]

1p

0（1-p）

V[X]=E[X2]-（E[X]）2

p（1-p）

p（x）=P（X=x）=px（1-p）1-x

（1）二項分佈（Binomial）---執行n次白努利隨機試驗，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。

通常以隨機變數X~B（n,p）表示。

其機率密度函數與累積分佈函數為：

p（x）=C（n,x）px（1-p）n-xx=0,1,…,n（4.1）

F（x）=xk=0C（n,k）pk（1-p）n-k（4.2）

其期望值與變異數為：

E[X]=npV[X]=np（1-p）

◎二項式分佈當n很大或p接近0.5時呈常態分佈，

◎np接近1PeakOut，p0.5右偏，p0.5左偏

Excel:

pp.99-100,BernoulliDistribution

pp.101-110,BinomialDistribution

範例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問（a）此學生喜歡打籃球的期望值與變異數?

（b）隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球的期望值與變異數?

有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數?

至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數?

SOL：

公式、查表、Excel（binomdist（x,n,p,true））

（a）令隨機變數X代表喜歡棒與否，則（注意:

N/Y）

E[X]=p=0.4V[X]=p（1-p）=0.24

（b）令隨機變數X代表喜歡棒的人數，則（注意:

人數）

E[X]=np=5*0.4=2V[X]=np（1-p）=1.2

P（X=2）=C（5,2）（0.4）2（0.6）3=0.346

/binomdist（2,5,0.4,false）/

P（X3）=1-P（X2）=0.317

/1-binomdist（2,5,0.4,true）/

範例、工管系期末考統計學出20題選擇題（4選1），每題5分。

某學生採完全以猜的方式作答，試問（a）此學生答對數的期望值與變異數?

（b）此學生期末考統計學分數的期望值與變異數?

（c）此學生考及格的機率?

（d）此學生最多考40分的機率?

SOL：

公式、查表、Excel

（a）令隨機變數X代表此學生答對題數，則（注意:

題數）

E[X]=np=20*1/4=5V[X]=np（1-p）=3.75

（b）分數期望值（注意:

分數）

E[5X]=5E[X]=25V[5X]=25*3.75=93.75

（c）此學生須答對12題以上才能及格，因此，

P（X12）=1-P（X<12）=0.0009

/1-binomdist（11,20,0.25,true）/

（d）P（X8）=0.9591

/binomdist（8,20,0.25,true）/

（2）卜氏分佈（Poisson）---在一個單位時段或區域內，某事件發生的次數。

通常以隨機變數X~Poi（）表示。

其機率密度函數與累積分配函數為：

p（x）=e-x/x!

x=0,1,…（4.3）

F（x）=xk=0e-k/k!

（4.4）

其期望值與變異數為：

E[X]=V[X]=

離散型隨機變數X具有卜氏分配時，有下列特性

（a）每一個時段或區域內事件的發生皆是相互獨立。

（b）在一固定時段內，事件發生的機率p均相同。

（c）卜氏分配可由n很大時的二項分配逼近

limxC（n,x）px（1-p）n-x=e-x/x!

範例、6月至9月為台灣颱風季節，中央氣象局統計資料指出，台灣每年有5個颱風過境，（a）今年台灣沒有颱風過境之機率?

（b）將有5個颱風過境之機率?

（c）超過7個以上颱風過境之機率?

SOL：

公式、查表、Excel

令隨機變數X代表每年颱風過境台灣次數，則

X~Poi（）X~Poi（5）

P（x=0）=e-x/x!

=0.0067

/=poisson（0,5,false）/

P（x=5）=e-x/x!

=0.1755

/=poisson（5,5,false）/

P（x7）=1-P（X6）=0.2378

/1-poisson（6,5,true）/

範例、青輔會資料顯示，台灣大約有2%的成年人具有碩士以上的學歷。

茲由全台成年人中，隨機抽取100人，其中洽3人具有碩士以上的學歷之機率?

SOL：

公式、查表、Excel（比較二項與卜氏分配）

令隨機變數X代表擁有碩士以上學歷人數，則依二項分配的定義，X~B（100,0.02），即

P（x=3）=C（100,3）（0.02）3（0.98）97=0.1823

/=binomdist（3,100,0.02,false）/

若依卜氏分配，X~Poi（），=np=2，X~Poi

（2）

P（x=3）=e-x/x!

=0.1804

/=poisson（3,0.02,false）/

（3）離散型均勻分配（DiscreteUniform）---樣本空間有N個相異的元素，{1,2,3,…,N}。

且此N個元素被抽中的機會皆均等。

通常以隨機變數X~DU（N）表示。

其機率密度函數與累積分配函數為：

p（x）=1/Nx=1,2,…,N（4.5）

F（x）=x/Nx=1,2,…,N（4.6）

其期望值與變異數為：

E[X]=（N+1）/2V[X]=（N2-1）/12

範例、擲骰子1次，則擲出點數（X）的期望值與變異數?

x

1

2

3

4

5

6

P（x）

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

p（x）

1/6

E[X]

1/6

2/6

3/6

4/6

5/6

6/6

7/2

V[X]

E[X2]-（E[X]）2=91/6–49/4=35/12

（4）超幾何分配（Hypergeometric）---若母體內含有N個元素，此N個元素分成兩類，其中具某種特性者屬一類共有M個，另外N-M個不具某種特性，屬另一類。

通常以隨機變數X~HG（N,M,n）表示。

其機率密度函數為：

p（x）=C（M,x）C（N-M,n-x）/C（N,n）x=0,1,…,n

or

p（x）=C（np,x）C（N-np,n-x）/C（N,n）

p=M/N=constant（4.7）

其期望值與變異數為：

E[X]=n（M/N）V[X]=n（M/N）（1-M/N）[（N-n）/（N-1）]

在二項分配中，每一次的試驗都是互相獨立的，而超幾何分配則互相影響。

即二項分配是『歸還』特性；超幾何分配是『不歸還』特性。

※如無限的母體，即N時，超幾何分配可視為二項分配。

因為母體相當大，隨機抽取有限個樣本，並不足以影響母體。

limxC（M,x）C（N-M,n-x）/C（N,n）=C（n,x）px（1-p）n-x

wherep=M/N=constant

二項分配使用時機：

卜氏分配使用時機：

（1）N/n10

（1）N/n10

（2）p=const.

（2）n16

（3）p0.1

不屬上述條件者，則使用超幾何機率分配。

範例、工管系欲選派4位學生參加統計學校外競賽。

茲有20位實力相當學生報名，其中男生有5位、女生有15位。

最後決定以抽籤方式選取，試問選派4位參加統計學校外競賽者中，抽出2位男生之機率?

（a）採取出放回（b）採取出不放回。

SOL：

公式、查表、Excel（比較二項與超幾何分配）

令隨機變數X代表抽出4位參賽者中男生之個數，則

（a）取出放回，依二項分配的定義，X~B（100,0.02），即

P（x=2）=C（4,2）（0.25）2（0.75）2=0.2109

/=binomdist（2,4,0.25,false）/

（b）取出不放回，X~HG（N,M,n）=H（20,5,4）

P（x=2）=0.2167

/=hypgeomdist（2,4,5,20）/

/=hypgeomdist（x,n,M,N）//=binomdist（x,n,p,false）/

/=poisson（x,np,false）/

4.2連續型機率分配---常見有：

（1）連續型均勻分配（ContinuousUniform）

在隨機變數X所屬的區域內，機率值是均勻分配的（固定值）。

通常以X~U（a,b）表示。

其機率密度函數與累積分配函數為：

f（x）=1/（b-a）,x（a,b）（4.8）

=0,Otherwise

F（x）=（x-a）/（b-a），x（a,b）（4.9）

其期望值與變異數為：

E[X]=（a+b）/2V[X]=（b-a）2/12

範例、隨機變數X代表致遠站---台南站間隔發車時間，滿足X~U（3,7）。

求f（x）、F（x）、E[X]與V[X]？

SOL：

（a）f（x）=1/4；F（x）=（x-3）/4

（b）E[X]=5；V[X]=4/3

（2）指數分配（Exponential）

主要用於間隔或等待時間。

通常以隨機變數X~Exp（）表示。

其中為事件發生的平均時間。

其機率密度函數與累積分配函數為：

f（x）=e-x//,x>0（4.10）

F（x）=1-e-x/（4.11）

其期望值與變異數為：

E[X]=V[X]=2

範例、工管系舉行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。

歸來時大家快樂的走到候車亭等往麻豆的台南客運。

不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走。

康樂股長看看站牌上寫著：

往麻豆班車平均每20分鐘開一班。

（a）同學們最多再等10分鐘之機率?

（b）超過30分鐘之機率?

SOL：

公式、查表、Excel

令隨機變數X代表台南客運到達時間間距，

X~Exp（）=Exp（20），則

（a）F（x）=P（x10）=0.39

/=expondist（10,1/20,true）/

（b）P（x>30）=0.2231

/=1-expondist（30,1/20,true）/

（3）常態分配（Normal）

應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述很多自然現象或社會科學實例。

通常以隨機變數X~N（,2）表示。

其機率密度函數與累積分配函數為：

-,0（4.12）

（4.13）

其期望值與變異數為：

E[X]=V[X]=2

常態分配具有以下各項特性：

（a）是一以平均值為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。

愈大，分配偏離中心愈遠，曲線圖愈平緩。

（b）母體的平均值、眾數、中位數均相同值。

（c）機率分配函數圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨近橫軸（即機率函數值遞減）。

※通常將其X~N（,2）標準化。

標準化過程是令

Z=（X-）/則Z~N（0,1），又稱Z分配。

標準常態機率密度函數

-x（4.14）

標準常態分配之期望值與變異數為：

E[X]=0,V[X]=1

範例、工管系期末考統計學成績，經整理得知具有N（50,16），試問成績於50~60的人數，大概佔所有參加考試人數的比例為多少?

公式、查表、Excel

SOL：

令隨機變數X代表考試成績，其具有N（50,16），則

P（50X60）=P[（50-50）/4（x-50）/4（60-50）/4]=0.494

/=normdist（60,50,4,true）-normdist（50,50,4,true）/

範例、工管系某品管實驗，經整理資料得知具有N（0.3,0.012），老師規定此實驗規格應為0.30.02之間才合格。

試問此實驗不合格的比率有多少?

SOL：

公式、查表、Excel

令隨機變數X代表實驗資料，其具有N（0.3,0.012），則

P（0.28x0.32）=

P[（0.28-0.3）/0.01（x-0.3）/0.01（0.32-0.3）/0.01]=0.9544

/=normdist（0.32,0.3,0.01,true）-normdist（0.28,0.3,0.01,true）/

（4）伽瑪分配GammaDistribution

如隨機變數X，具有以下的機率密度函數，則該分配稱之為伽瑪分配：

（4.15）

其中、是伽瑪分配的參數，其值均大於0。

Wherethegammafunctionisdefinedas:

伽瑪函數將被運用到數個統計量分配---Chi-Square,t,FDistribution。

4.3常用的統計分配

如何將樣本資料{x1,x2,…,xn}推估母體參數（,2），此種由抽樣資料推論母體的長像，統計上稱為統計推論。

為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體（,2）。

從母體中抽取數個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統計量，而樣本統計量所服從的機率分配則稱之為統計分配，亦稱抽樣分配（SamplingDistribution）。

常用的統計分配有常態分配，t分配，卡方分配，F分配等。

統計推論的目的係利用樣本裏的資訊對母體作結論，所採之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C（N,n）個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣（RandomSampling）。

樣本統計量：

◎集中趨勢統計量---平均數。

◎離散趨勢統計量---變異數與標準差等。

=（x1+x2+…+xn）/n=（ni=1xi）/n

S2=[ni=1（xi-

）2]/（n-1），（[ni=1（xi-

）2]：

SumSquare）

常用統計分配：

（1）常態分配

上述已定義過常態分配，主要是用來說明隨機變數的分佈狀況。

而在統計應用上，常態分配是用來推論與檢定母體的特徵值。

如，以樣本平均值

去推論，『其中

的統計分配即常態分配』。

大數法則

從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n很大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數，即

（n）（E[

]=）

中央極限定理

19世紀法國學數家PierreSimondeLaplace（1749-1827）所提出。

他是從觀察到『量測誤差有常態分配的趨向』而得到此定理。

『樣本平均數大都趨近於常態分配』。

中央極限定理的精神：

從『任何以期望值，變異數2的母體中』，隨機抽出n個樣本{x1,x2,…,xn}且x=x1+x2+…+xn，則樣本平均值

將會趨近於標準常態分配。

（4.16）

其中/n1/2稱之為標準誤（StandardError）；2/n變異誤（ErrorVariance）。

範例、致遠管理學院女學生平均身高為160cm，標準差為9cm；茲隨機抽取36位女學生，試問平均身高大於160cm而小於162cm的機率有多少?

公式、查表、Excel

SOL：

令隨機變數

代表隨機抽取36位的平均身高，即

=160,/n1/2=9/（36）1/2=1.5，則

P（160

162）=

P[（160-160）/1.5（

-160）/1.5（162-160）/1.5]=0.4082

/=normdist（162,160,1.5,true）-normdist（160,160,1.5,true）/

範例、致遠管理學院學生選修『科技與人生』人數服從二項分配B（n,p=0.07），為了避免選修該課程的人數過多，影響教學品質，倘選修的人數超過80人則開2班上課。

試問本學期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少?

公式、查表、Excel

SOL：

令隨機變數X代表選修該課程的學生人數，則

P（X80）=1-binomdist（79,1000,0.07,true）=0.1207

另應用中央極限定理，因E[X]=np=70、V[X]=np（1-p）=65.1，則

P（X80）=P[（X-70）/（65.1）1/2（80-70）/（65.1）1/2]=0.1075

（2）卡方分配（Chi-Square）

一個可用『常態隨機變數』來定義的重要的抽樣分配就是卡方分配

（2）。

倘z1,z2,…,zk為k個獨立且相同分配的常態隨機變數，期望值0且變異數1，簡記為NID（0,1）（NormallyandIndependentlyDistribution），隨機變數x=z12+z22+…+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數。

通常以隨機變數X~2k表示。

卡方機率密度函數

，0x（4.17）

Thegammafunctionisdefinedas:

其期望值與變異數為：

E[X]=kV[X]=2k

卡方分配是不對稱的統計分配，其對應的機率分配隨著自由度k而有所不同。

假設{x1,x2,…,xn}是一個來自N（,2）分配的隨機樣本。

則其平方和除以2後就依循卡方分配。

SS/2=[ni=1（xi-

）2]/2=2n-1另

S2=[ni=1（xi-

）2]/（n-1）=SS/（n-1）=[2/（n-1）]2n-1

S2的分配為[2/（n-1）]2n-1。

故樣本變異數的抽樣分配為一個常數乘以卡方分配。

[如下圖，卡方分配（k=1,5,15）]

假設隨機變數X~2n-1，定義2,n-1為自由度（n-1）之卡方分配其右邊（累積）機率等於的臨界值，即P（X2n-1）=，則

P（X21-/2,n-1）=1-/2，

及P（21-/2,n-1X2/2,n-1）=1-

=0.1，/2=0.05，2/2=20.05，21-/2=20.95

倘P（X21-/2,n-1）=1-/2，P（1-/2,n-12X/2,n-12）=1-

請查表20.975,4，20.95,13，20.01,4，20.10,13。

/=chiinv（0.975,4）/，/=chiinv（0.95,13）/

/=chiinv（0.01,4）/，/=chiinv（0.10,13）/

20.1,6=10.644620.05,10=18.3070

（3）t分配（Student）

倘z與2k分別為獨立標準常態NID（0,1）與卡方分配，則隨機變數

tk=z/（2k/k）1/2（4.18）

依循k個自由度的t分配，通常以t~tk表示。

t機率密度函數

，-x（4.19）

其期望值與變異數為：

E[X]=0，V[X]=k/（k-2）

t分配與標準常態分配類似，其對應的機率分配皆對稱於原點，尤其當樣本數n愈大時，t分配機率分配情形愈趨近於標準常態分配。

假設{x1,x2,…,xn}是一個來自N（,2）分配的隨機樣本，則

~tn-1（4.20）

t分配最早由W.S.Gosset所發現，因故用Student的筆名發表，又稱Student的t分配。

[如下圖，t分配（k=1,10,100）]

假設隨機變數X~tn-1，定義tn-1為自由度（n-1）之t分配其右邊（累積）機率等於的臨界值，即P（Xtn-1）=，則

P（Xt/2,n-1）=/2，

及P（-t/2,n-1Xt/2,n-1）=1-

=0.1，/2=0.05，t/2=t0.05=-t0.05，

倘P（Xt/2,n-1）=/2，P（-t/2,n-1Xt/2,n-1）=1-

請查表t0.1,4，t0.05,13，t0.01,4，t0.025,13。

/=tinv（0.1*2,4）/，/=tinv（0.05*2,13）/

/=tinv（0.01*2,4）/，/=tinv（0.025*2,13）/

/t0.1,5=1.476/，/t0.05,10=1.812/

（4）F分配

倘2u與2v分別為二個獨立卡方分配，則隨機變數

Fu,v=（2u/u）/（2v/v）（4.21）

依循分子u個自由度、分母v個自由度的F分配，通常以F~Fu,v表示。

F機率密度函數

，0x（4.22）

其期望值與變異數為：

2v2（u+v-2）/[u（v-2）2（v-4）]

E[X]=u/（v-2）,v>2；V[X]=2v2（u+v-2）/[u（v-2）2（v-4）]

假設分別來自二個不同母體的隨機樣本，各取樣本n1,n2，其各別樣本變異為S21與S22則

[如下圖，F分配（u=4,v=10,30;u=10,v=10,30）]

假設隨機變數X~

，定義

為自由度（n1-1,n2-1）之F分配其右邊（累積）機率等於的臨界值，即P（X

）=，則

P（X

）=，另

請查表F0.1,4,10，F0.9,10,4，F0.025,4,10，F0.975,10,4。

/=finv（0.1,4,10）/，/=finv（