高中数学试题高一上学期期中考试数学详细答案.docx
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高中数学试题高一上学期期中考试数学详细答案
一、选择题:
共12题
1.若全集
,
,则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题主要考查集合的交集运算.
集合
故选A.
2.下列函数中,与函数
相同的是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的概念,判断两个函数是否是同一函数,关键要确定定义域和对应法则是否相同.
因为函数
的定义域为
B,C的定义域分别为
,故排除B,C;而A中对应法则不相同,,
故选D.
3.如下图所示,对应关系
是从
到
的映射的是
【答案】D
【解析】本题主要考查映射的概念.
如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应,则此对应构成映射.
A、不能构成映射,因为前边的集合中的元素4与9在后一个集合中有两个元素和它对应,故此对应不是映射.B与C中的元素0在后一个集合中没有元素和它对应,故B与C中的对应不是映射.
故选D.
4.设
,则
的大小关系是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题考查了指数函数和和对数函数的单调性,属于基础题.
∵
,
∴
.
故选D.
5.函数
的图像必过
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.
∵a0=1,∴令x-2=0,则x=2,故y=1+1=0,故函数y=ax-2-1的图象必过定点(2,2).
故选B.
6.若函数
为奇函数,则
=
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题考查了奇函数的性质,以及对数的运算性质的应用,考查了化简、变形能力,属于基础题.
∵函数
是奇函数,
∴
,
则
,
∴
,
化简得
,
则当
时上式恒成立,
故选A.
7.定义在
上的偶函数
在(0,+∞)上是增函数,且
,则不等式
的解集是
A.(0,
)B.(
,+∞)
C.(-
,0)∪(
,+∞)D.(-∞,-
)∪(0,
)
【答案】C
【解析】本题主要考查不等式的解法,根据函数奇偶性和单调性的性质作出函数的草图是解决本题的关键.
∵偶函数
在(0,+∞)上为增函数,又
,
∴函数
在
上为减函数,且
,
∴函数
的图象如图:
则不等式
,等价为
时,
,此时
当
时,
,此时
,即不等式的解集是(-
,0)∪(
,+∞),
故选C.
8.已知函数
的定义域是
,则
的定义域是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是中档题.
∵函数
的定义域是
,即
,
∴
,则
的定义域为[0,4],
由
,解得
.
∴
的定义域是
.
故选C.
9.如图,液体从一圆锥漏斗漏入一圆柱桶中,开始漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,若圆柱中液面上升速度是一常量,
是圆锥漏斗中液面下落的距离.则
与下落时间
分钟的函数关系表示的图象可能是
【答案】B
【解析】本题主要考查函数图象的应用.
由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,
当时间取
t时,漏斗中液面下落的高度不,
会达到漏斗高度的
,对比四个选项的图象可得结果.
故选B.
10.函数
的图象总在
轴上方.则实数
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的性质,考查分类讨论,考查计算能力.
当
时:
,图象在x轴上方,当
时:
解得:
,
综上:
,
故选C.
11.已知
且
,函数
满足对任意实数
,都有
成立,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的单调性的合理运用.
∵对任意实数
,都有
成立,
∴对任意实数x,函数
是增函数,
∵
且
,
∴
∴
∴a的取值范围是
故选C.
12.设函数
,区间
(其中
),集合
,则使
成立的实数对
共有
A.3个B.2个C.1个D.无数个
【答案】A
【解析】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题,函数的值域,函数单调性的应用,其中根据已知中函数的解析式求确定出函数的单调性,并由 M=N成立得到
且
,是解答本题的关键
∵函数
为奇函数,且函数在R为增函数,
若M=N成立,∴
且
令
解得
,或
故使M=N成立的实数对
有
三组,
故选B
二、填空题:
共4题
13.幂函数经过点
则
.
【答案】2
【解析】本题主要考查幂函数的概念和性质.
设幂函数为
根据函数经过点
可得
,
解得
故幂函数解析式为
.
故答案为2.
14.
则
的单调减区间是 .
【答案】
【解析】本题主要考查复合函数的单调性,注意“同增异减”的原则.
函数
的定义域为
令
可知
在
上为减函数,
而
在
上为增函数,
根据复合函数同增异减的原则可得函数
单调减区间为
.
故答案为
.
15.函数
是实数集
上的偶函数,并且
的解为
则
的值为 .
【答案】
【解析】本题主要考查函数的性质、一元二次不等式的解法.因为函数
是实数集
上的偶函数,所以
,则a=c=0,
,因为
的解为
所以
,则
16.已知函数
对任意实数
满足
,当
时,
,那么,当
时,实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】本题考查抽象函数的性质,考查利用单调性解不等式,已知抽象函数的运算性质,常用“赋值法”,属于基础题.
设
,
,则
,
∵当
时,
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
在R上递增,
∵
,
∴
∴
等价于
.
故答案为
三、解答题:
共6题
17.已知全集
集合
.
(1)求
;
;
(2)已知集合
若
求实数
的取值范围.
【答案】
(1)
,
(2)
,又
,
∴a的取值范围为
【解析】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
(1)根据集合的基本运算即可求
,
;
(2)
,求出根据
,建立条件关系即可求实数a的取值范围.
18.化简或求值:
(1)
;
(2)
.
【答案】
(1)原式=
=
;
(2)原式=
=
【解析】本题考查了有理指数幂的运算性质,考查了对数的运算性质,考查了学生的计算能力,是基础题.
(1)化带分数为假分数,化小数为分数,然后利用有理指数幂的运算性质求解;
(2)把根式内部化为完全平方式后开方,然后直接利用对数的运算性质化简求值.
19.如图,定义在
上的函数
的图象为折线段
.
(1)求函数
的解析式;
(2)请用数形结合的方法求不等式
的解集,不需要证明.
【答案】
(1)根据图像可知点
所以
(2)根据
(1)可得函数
的图象经过点(1,1),而函数
也过点
函数
的图象可以由
向左平移移1个单位得到,如图所示,所以根据函数图象可得不等式
的解集是
.
【解析】本题主要考查函数的解析式与性质、对数函数,考查了数形结合的解题思想.
(1)根据图像可知点
设两段图象的解析式为
再将A、B、C三点的坐标代入求解即可;
(2)根据
(1)可得函数
的图像经过点(1,1),而函数
也过点
作出函数图象,如图所示,易得不等式的解集.
20.已知函数
.
(1)判断函数
的奇偶性,并加以证明;
(2)用定义证明函数
在区间
上为增函数;
(3)若函数
在区间
上的最大值与最小值之和不小于
,求
的取值范围.
【答案】
(1)函数
是奇函数,
∵函数
的定义域为
,在
轴上关于原点对称,
且
,
∴函数
是奇函数.
(2)证明:
设任意实数
,且
,
则
,
∵
∴
,
∴
<0,
∴
<0,即
,
∴函数
在区间
上为增函数,
(3)∵
,
∴函数
在区间
上也为增函数.
∴
,
若函数
在区间
上的最大值与最小值之和不小于
,
则
,
∴
,
∴
的取值范围是[4,+∞).
【解析】本题考查了函数的奇偶性、单调性的判断方法,及函数的最值问题,把握定义法证明函数的单调性:
取值、作差、变形定号、下结论步骤证明.
(1)判断出函数是奇函数再证明,确定函数定义域且关于原点对称,利用奇函数的定义可判断;
(2)判断函数
在
上是增函数,证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可;
(3)根据
(2)的结论得函数在区间[2,a]上的单调性,再求出最大值、最小值,根据条件列出不等式求出a得范围.
21.已知函数
(1)当
∈[2,4]时.求该函数的值域;
(2)若
对于
恒成立,求
的取值范围.
【答案】
(1)
此时,
所以函数的值域为
(2)
对于
恒成立
即
,
易知
【解析】本题考查函数的值域的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
,则
,由此能求出函数的值域.
(2)
对于
恒成立,即
转化求
的最小值即可.能求出m的取值范围.
22.对于函数
,若存在
,使
成立,则称
为
的不动点.已知函数
.
(1)当
时,求函数
的不动点;
(2)若对任意实数
,函数
恒有两个相异的不动点,求
的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若f(x)的两个不动点为
,且
,求实数
的取值范围
【答案】
(1)
,因为x0为不动点,因此
所以x0=-1,
所以-1为f(x)的不动点.
(2)因为f(x)恒有两个不动点,f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x,
ax2+bx+(b-1)=0(※),
由题设b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,
所以(4a)2-4(4a)<0
a2-a<0,所以0<a<1.
(3)因为
,所以
,
令
,则
.
【解析】本题考查函数恒成立,不动点的定义的应用,考查转化思想以及换元法的应用,考查分析问题解决问题的能力.
(1)写出函数
,利用不动点定义,列出方程求解即可.
(2)
恒有两个不动点,得到ax2+(b+1)x+(b-1)=x,通过b2-4a(b-1)>0恒成立,利用判别式得到不等式求解即可.
(3)利用定义推出
,通过换元令
,任何求解b的范围.
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