人教版高中数学必修122《对数函数的图像与性质第2课时》教学设计.docx

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人教版高中数学必修122《对数函数的图像与性质第2课时》教学设计

2.2对数函数的图像与性质

2.2.2对数函数的图像与性质第二课时（梁峰）

一、教学目标

（一）核心素养

1．掌握对数函数的单调性．

2．会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较．

（二）学习目标

1．复合函数单调性和值域问题．

2．会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较．

（三）学习重点

1．与对数有关的大小比较．

2．复合函数的值域与单调性．

（四）学习难点

复合函数单调性的理解．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：

当

时，若

，则

，

当

时，若

，则

．

（2）写一写：

对于函数

的性质的研究，通常利用复合函数法求解，即令

，

．

2．预习自测

（1）若

，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【知识点】对数函数的图象和单调性

【解题过程】0=

.∴0

在定义域内是减函数，∴

【思路点拨】0=

，用转化思想把0化为

.

【答案】B

（2）已知

（0＜a＜1），则下列不等式成立的是（）

A.3x-y<1B.

C.

D.x2>y2

【知识点】对数函数的图像和性质.

【解题过程】∵

（0＜a＜1），∴y＞x＞0，∴x-y＜0

∴3x-y＜1，

；

；；x2＜y2.

【思路点拨】由

（0x>0,x-y<0再逐一判断即可.

【答案】A.

（3）已知

，则

的最小值为（）

A.-2B.-3C.-4D.0

【知识点】对数函数的单调性判断.

【解题过程】因为函数

在区间

上为增函数，∴函数

在区间

上为增函数，∴当

时，

的最小值为2-4=-2.

【思路点拨】根据函数在区间上的单调性取得最小值.

【答案】A

（二）课堂设计

1．知识回顾

对数函数的图像和性质

0＜a＜1

a＞1

图象

定义域

（0，+∞）

值域

R

性质

（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0

（1）在（0，+∞）上是减函数

（2）在（0，+∞）上是增函数

2．问题探究

探究一学会对数有关的大小比较★

●活动①比较以下对数的大小：

（1）log23.4，log23.8；

（2）loga5.1，loga5.9；

解答：

（1）对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.于是log23.4＜log23.8

（2）当a＞1时，对数函数y=

在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，对数函数y=

在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.

【设计意图】由对数图像的单调性比较同底的对数的大小，当底数不确定，需要分类讨论．

●活动②比较以下对数的大小：

log75，log67

解答：

因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，所以log75＜log77=1=log66＜log67．所以log75＜log67.

【设计意图】对于不同底的对数比较大小，利用中间值比较．

探究二复合对数结构的定义域，值域，奇偶性

●活动①复合对数函数的奇偶性判断

判断函数f（x）=ln（

－x）的奇偶性；

解答：

∵

＞x恒成立，故f（x）的定义域为（－∞，+∞），

又∵f（－x）=ln（

+x）=－ln

=－ln

=－ln（

－x）=－f（x），

∴f（x）为奇函数.

【设计意图】掌握复合对数的奇偶性判断．

●活动②复合对数函数的定义域，值域的求法

已知函数

.

（1）求函数

的定义域、值域；

（2）若

，求函数

的值域.

解答：

（1）由2x－1＞0得，

，

函数f（x）的定义域是

，值域是R.

（2）令u＝2x－1，则由

知，u∈[1，8].

因为函数

在[1，8]上是减函数，

所以

所以函数f（x）在

上的值域为[-3，0].

【设计意图】掌握复合对数函数的定义域，值域的求法．

探究三复合对数结构的单调性

●活动①证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数

解答：

证明：

设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）=log2（x12+1）－log2（x22+1），

∵0＜x1＜x2，∴x12+1＜x22+1.

又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数，

∴log2（x12+1）＜log2（x22+1），即f（x1）＜f（x2）.

∴函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数

总结：

同增异减法则

【设计意图】复合对数结构的单调性证明以及判断法则．

●活动②巩固基础，检查反馈

例1：

函数y=lg（x2-2x+3）的最小值是（）

A.lg2B.lg3C.1D.3

【知识点】复合对数结构求值域．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】设t=x2-2x+3,则t=（x-1）2+2≥2，又y=lgt是增函数，∴y=lg（x2-2x+3）的最小值是lg2．

【思路点拨】按照复合函数求值域的基本方法处理．

【答案】A

同类训练已知集合A={x|log2x≤2},B=（-∞,a）,若A⊆B,则实数a的取值范围是（c,+∞）,其中c=（）

A.2B.4C.8D.0

【知识点】解对数不不等式，集合的包含问题．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】∵A={x|log2x≤2}=（0,4],又A⊆B,∴a>4,∴c=4．

【思路点拨】解对数不等式先两边同底，再画数轴观察包含关系．

【答案】B．

例2若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在区间[2,+∞）上是增函数,则实数a的取值范围是（）

A.a≤4B.a≤2C.-4

【知识点】复合对数结构单调性问题．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】∵函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在区间[2,+∞）上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞）上大于零且单调递增,故有

解得-4

【思路点拨】利用复合函数单调性判断法则：

同增异减．

【答案】C．

同类训练已知y=

在定义域上是关于x的增函数，则a的取值范围是.

【知识点】复合对数结构单调性判断的逆用．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】令u=2-x,则y=

.∵u=2-x在（-∞,2）上为减函数,∴要满足条件,需0

【思路点拨】利用复合函数单调性判断法则：

同增异减．

【答案】0

3.课堂总结

知识梳理

（1）对数比较大小的方法总结：

利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．

（2）对于函数

的性质的研究，通常利用复合函数法求解，即令

，

，分别画出两个函数图像，利用图像研究值域；利用同增异减法则判断单调性．

重难点归纳

（1）对数结构大小比较；复合对数结构的定义域，值域，单调性问题．

（2）在研究复合对数结构的定义域，值域，单调性问题时，有时候容易忽略真数大于零的细节．

（三）课后作业

基础型自主突破

1．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则a，b，c的大小关系为（）

A．

B．

C．

D．

【知识点】对数比较大小．

【数学思想】

【解题过程】因为0

【思路点拨】利用中间值，对数图像判断．

【答案】A．

2．已知函数y＝f（2x）的定义域为[－1,1]，则函数y＝f（log2x）的定义域为（）

A．

B．

C．

D．

【知识点】复合函数定义域问题．

【数学思想】

【解题过程】∵－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2，即

≤2x≤2.∴y＝f（x）的定义域为[

，2]

即

≤log2x≤2，∴

≤x≤4．

【思路点拨】利用复合函数的定义域方法即可．

【答案】D．

3．函数f（x）＝loga|x|（a>0且a≠1）且f（8）＝3，则下列不等关系判断正确的为（）

①f

（2）>f（－2）；②f

（1）>f

（2）；③f（－3）>f（－2）；④f（－3）>f（－4）．

A．①B．②C．③D．④

【知识点】对数比较大小，对数函数的单调性．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】∵loga8＝3，解得a＝2，因为函数f（x）＝loga|x|（a>0且a≠1）为偶函数，且在（0，＋∞）上为增函数，在（－∞，0）上为减函数，由－3<－2，所以f（－3）>f（－2）．

【思路点拨】画出函数图像，在图像上比较大小．

【答案】C

4．函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（）

A．

B．

C．

D．

【知识点】指数和对数函数的单调性问题．

【数学思想】分类讨论

【解题过程】函数f（x）＝ax＋loga（x＋1），令y1＝ax，y2＝loga（x＋1），显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga（x＋1）同增或同减．因而[f（x）]max＋[f（x）]min＝f

（1）＋f（0）＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝

．

【思路点拨】y1＝ax与y2＝loga（x＋1）同增或同减．

【答案】A

5．已知函数

，若f（a）＝b，则f（－a）＝________．

【知识点】函数奇偶性定义．

【数学思想】

【解题过程】

，所以f（x）为奇函数，故f（－a）＝－f（a）＝－b．

【思路点拨】直接利用奇偶性概念．

【答案】－b．

6．函数f（x）＝lg（2x－b），若x≥1时，f（x）≥0恒成立，则b应满足的条件是________．

【知识点】恒成立问题．

【数学思想】

【解题过程】由题意，x≥1时，2x－b≥1.又2x≥2，∴b≤1．

【思路点拨】转化为2x的最值．

【答案】b≤1．

能力型师生共研

7．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

【知识点】对数图像，恒成立逆用．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】∵|y|>1，即y>1或y<－1，∴logax>1或logax<－1，变形为

logax>logaa或logax

当x＝2时，令|y|＝1，

则有loga2＝1或loga2＝－1，

∴a＝2或a＝

.

要使x>2时，|y|>1.

如图所示，a的范围为1

≤a<1．

【思路点拨】画对数图像．

【答案】A．

8．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．

【知识点】解对数不等式．

【数学思想】数形结合

【解题过程】loga2<2＝logaa2.若0

，所以01，由于y＝logax是增函数，则a2>2，得a>

.综上得0

．

【思路点拨】利用对数的单调性即可．

【答案】0

．

探究型