中考数学专题突破08 一元一次方程及其应用.docx

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中考数学专题突破08一元一次方程及其应用

专题08一元一次方程及其应用

一、方程与整式、等式的区别

（1）从概念来看：

整式：

单项式和多项式统称整式。

等式：

用等号来表示相等关系的式子叫做等式。

如2+3=5，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－3a+2b，3m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

方程：

含有未知数的等式叫做方程。

如5x＋3＝11。

理解方程的概念必须明确两点：

①是等式；②含有未知数。

两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：

方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

（3）从是否含有未知量来看：

等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。

但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

二、一元一次方程的概念

1.一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：

ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。

要点诠释：

一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

（3）整式方程．

注意：

方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。

2.方程的解：

判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等．

三、一元一次方程的解法

1.方程的同解原理（等式的基本性质）

性质1：

等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

性质2：

等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

注意：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

2.解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母。

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。

（2）去括号。

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。

（3）移项。

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号），依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。

（4）合并同类项。

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。

（5）系数化为1。

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝b/a,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。

说明：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a；

②a=0，b=0时，方程有无数个解；

③a=0，b≠0时，方程无解。

四、列一元一次方程解应用题

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审—审题：

认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。

（2）设—设出未知数：

根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：

设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。

（4）解—解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

检验后写出答案，注意带上单位。

2.常见的一些等量关系

（1）行程问题：

距离=速度·时间

（2）工程问题：

工作量=工效·工时

（3）比率问题：

部分=全体·比率

（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度

（5）商品价格问题：

售价=定价·折·

，利润=售价-成本，

（6）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，C长方形=2（a+b），C正方形=4a，

S圆=πR2，S长方形=ab，S正方形=a2，S环形=π（R2-r2）,

V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=

πR2h.

【例题1】（2020•重庆）解一元一次方程

（x+1）＝1

x时，去分母正确的是（　　）

A．3（x+1）＝1﹣2xB．2（x+1）＝1﹣3x

C．2（x+1）＝6﹣3xD．3（x+1）＝6﹣2x

【对点练习】解方程：

（1）4﹣x=3（2﹣x）；

（2）

．

【例题2】（2020•杭州）以下是圆圆解方程

1的解答过程．解：

去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？

如果有错误，写出正确的解答过程．

【对点练习】（2019湖南湘西）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　　．

【例题3】（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：

“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：

现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程

是（　　）

A．

x＝（x﹣5）﹣5B．

x＝（x+5）+5

C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5

【对点练习】（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：

今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？

设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）

A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．

＝

D．

＝

【例题4】（2019▪湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：

同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：

（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？

即：

走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？

即：

走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

【对点练习】（2019•湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．

（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？

（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的

，求休闲小广场总面积最多为多少亩？

一、选择题

1．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　）

A．3×2x+5＝2xB．3×20x+5＝10x×2

C．3×20+x+5＝20xD．3×（20+x）+5＝10x+2

2.（2019▪贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（　　）

A．2B．1C．﹣1D．0

3.（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）

A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30

C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72

4．（2020湖南长沙模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x

二、填空题

5．（2020•衢州）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　　．

6．（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝　　．

7．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．

原价：

　　元

暑假八折优惠，现价：

160元

8.（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：

“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：

一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？

根据题意得，长比宽多　　步．

9.方程﹣

（1﹣2x）=

（3x+1）的解为___________.

10.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　　元．

11.（2019▪贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　　元．

12.（2019•湖南湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　　．

三、解答题

13.解方程：

14．解方程

（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；

（2）x﹣

=2﹣

．

15．（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？

16．（2020•凉山州）解方程：

x

1

．

17.（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：

今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？

译文为：

今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

18.（2019安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

专题08一元一次方程及其应用

一、方程与整式、等式的区别

（1）从概念来看：

整式：

单项式和多项式统称整式。

等式：

用等号来表示相等关系的式子叫做等式。

如2+3=5，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－3a+2b，3m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

方程：

含有未知数的等式叫做方程。

如5x＋3＝11。

理解方程的概念必须明确两点：

①是等式；②含有未知数。

两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：

方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

（3）从是否含有未知量来看：

等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。

但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

二、一元一次方程的概念

1.一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：

ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。

要点诠释：

一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

（3）整式方程．

注意：

方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。

2.方程的解：

判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等．

三、一元一次方程的解法

1.方程的同解原理（等式的基本性质）

性质1：

等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

性质2：

等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

注意：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

2.解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母。

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。

（2）去括号。

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。

（3）移项。

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号），依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。

（4）合并同类项。

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。

（5）系数化为1。

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝b/a,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。

说明：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a；

②a=0，b=0时，方程有无数个解；

③a=0，b≠0时，方程无解。

四、列一元一次方程解应用题

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审—审题：

认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。

（2）设—设出未知数：

根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：

设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。

（4）解—解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

检验后写出答案，注意带上单位。

2.常见的一些等量关系

（1）行程问题：

距离=速度·时间

（2）工程问题：

工作量=工效·工时

（3）比率问题：

部分=全体·比率

（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度

（5）商品价格问题：

售价=定价·折·

，利润=售价-成本，

（6）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，C长方形=2（a+b），C正方形=4a，

S圆=πR2，S长方形=ab，S正方形=a2，S环形=π（R2-r2）,

V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=

πR2h.

【例题1】（2020•重庆）解一元一次方程

（x+1）＝1

x时，去分母正确的是（　　）

A．3（x+1）＝1﹣2xB．2（x+1）＝1﹣3x

C．2（x+1）＝6﹣3xD．3（x+1）＝6﹣2x

【答案】D

【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．

【解析】方程两边都乘以6，得：

3（x+1）＝6﹣2x，

【对点练习】解方程：

（1）4﹣x=3（2﹣x）；

（2）

．

【答案】见解析。

【解析】

（1）去括号得：

4﹣x=6﹣3x，

移项得：

﹣x+3x=6﹣4，

合并得：

2x=2，

系数化为1得：

x=1．

（2）去分母得：

5（x﹣1）﹣2（x+1）=2，

去括号得：

5x﹣5﹣2x﹣2=2，

移项得：

5x﹣2x=2+5+2，

合并得：

3x=9，

系数化1得：

x=3．

【点拨】按照解一元一次方程的步骤解就可以，注意移项时正负号的变化。

【例题2】（2020•杭州）以下是圆圆解方程

1的解答过程．

解：

去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？

如果有错误，写出正确的解答过程．

【答案】见解析。

【解析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．

圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

去分母，得：

3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．

去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

【对点练习】（2019湖南湘西）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　　．

【答案】4

【解析】考查一元一次方程的解

∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，

∴3×2﹣2k+2＝0，

解得：

k＝4．

【点拨】将解带入方程，得到含有k的方程，再解这个方程即可。

【例题3】（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：

“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：

现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程

是（　　）

A．

x＝（x﹣5）﹣5B．

x＝（x+5）+5

C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5

【答案】A

【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，

依题意，得：

x＝（x﹣5）﹣5．

【对点练习】（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：

今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？

设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）

A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．

＝

D．

＝

【答案】B

【解析】设合伙人数为x人，

依题意，得：

5x+45＝7x+3．

【点拨】以养总价格为不变量列含有未知数的等式。

【例题4】（2019▪湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：

同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：

（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？

即：

走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？

即：

走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

【答案】

（1）当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

【解析】

（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可。

由题意得

x：

600＝100：

60

∴x＝1000

∴1000﹣600﹣100＝300

所以当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．

由题意得

y＝200+

y

∴y＝500

所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

【对点练习】（2019•湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．

（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？

（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的

，求休闲小广场总面积最多为多少亩？

【答案】见解析。

【解析】

（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；

由题意，得x+（600+x）＝1200,解得x＝300．

则600+x＝900．

所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。

（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的

”列出不等式并解答．

由题意，得y≤

（300﹣y）．

解得y≤75．

故休闲小广场总面积最多为75亩．

所以休闲小广场总面积最多为75亩．

【点拨】根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答是正确思路。

一、选择题

1．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　）

A．3×2x+5＝2xB．3×20x+5＝10x×2

C．3×20+x+5＝20xD．3×（20+x）+5＝10x+2

【答案】D

【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．

【解析】设“□”内数字为x，根据题意可得：

3×（20+x）+5＝10x+2．

2.（2019▪贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（　　）

A．2B．1C．﹣1D．0

【答案】A

【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可．

根据题意可得：

2m﹣1＝m+1，

解得：

m＝2

3.（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）

A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30

C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72

【答案】D．

【解析】设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：

3x+2（30﹣x）＝72．

4．（2020湖南长沙模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x

【答案】C

【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．由题意得

1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确。

二、填空题

5．（2020•衢州）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　　．

【答案】1

【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解．

【解答】解；将方程移项得，

2x＝2，

系数化为1得，

x＝1．

6．（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝　　．

【答案】4

【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．

【解析】方程3x﹣8＝x，

移项，得3x﹣x＝8，

合并同类项，得2x＝8．

解得x＝4．

7．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．

原价：

　　元

暑假八折优惠，现价：

160元

【答案】200

【分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解析】设广告牌上的原价为x元，

依题意，得：

0.8x＝160，

解得：

x＝200．

8.（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：

“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：

一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？

根据题意得，长比宽多　　步．

【答案】12

【解析】设长为x步，宽为（60﹣x）步，

x（60﹣x）＝864，

解得，x1＝36，x2＝24（舍去），

∴当x＝36时，60﹣x＝24，

∴长比宽多：

36﹣24＝12（步）

9.方程﹣

（1﹣2x）=

（3x+1）的解为___________.

【答案】x=﹣

．

【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解

﹣7（1﹣2x）=3×2（3x+1）

﹣7+14x=18