中考数学 几何压轴题汇编三角形与平行四边形含答案.docx

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中考数学几何压轴题汇编三角形与平行四边形含答案

2020 中考数学 几何压轴题汇编：

三角形与平行四边形（含答案）

1. 如图，设 E、F 分别为正方形 ABCD 边 BC、CD 上的点，且∠

EAF＝45°，过 E、F 分别作 AC 的垂线，垂足分别为 P、Q.

（1）试找出图中相似三角形（至少 3 对，全等除外）；

（2）求证：

AB2＝AP·AQ；

（3） 设正方形的边长为 4，当 P、Q 重合时，求 BE 的长．

第 1 题图

（1）解：

图中相似三角形有：

△ABC∽△CQF，△EPC∽△ADC，△CPE

∽△CQF，△CQF∽△ADC，△ABE∽△AQF，△APE∽△ADF 等（写出任意 3

对，即可得分）．

（2）证明：

∵∠BAE＋∠EAP＝∠EAP＋∠QAF＝45°，

.

∴∠BAE＝∠QAF

在△ABE 与△AQF 中，

⎧∠BAE＝∠QAF

⎨

⎩∠B＝∠AQF＝90°，

∴△ABE∽△AQF，

.

同理，在△AEP 与△AFD 中，

⎧∠EAP＝∠FAD

⎨，

⎩∠EPA＝∠D＝90°

∴△AEP∽△AFD.

∴ AP＝AE，

AD AF

AB

＝

∵AB＝AD，

∴AB2＝AP·AQ.

（3）解：

如解图，当 P、Q 重合时，

∵∠EPC＝∠FQC＝90°，

∴E、P、F 在同一直线上．

∴∠ECP＝∠FCQ＝45°，

∴EP＝FQ，

在△AEP 和△AFP 中，

⎧⎪AP＝AQ

⎨∠APE＝∠AQF，

⎪⎩EP＝FQ

∴△AEP≌△AFP（SAS），

1

∴∠EAP＝ ×45°＝22.5°，

2

∴∠BAE＝45°－∠EAP＝22.5°，

∴△AEB≌△AEP（AAS），

∴EB＝EP，AB＝AP＝4，

∵四边形 ABCD 为正方形，

∴∠ACB＝45°，AC＝42，

又∵EP＝PC，

∴BE＝PC＝AC－AP＝42－4.

第 1 题解图

2. 已知：

在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝α，点 D 是 AB 边上任意

一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转α与过点 A 且平行于 BC

边的直线交于点 E.

（1）如图①，当α＝60°时，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量

关系；

（2）如图②，当α＝45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，

并进行证明；

（3）如图③，当α为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段 BD

与 AE 之间的数量关系，并进行证明．（用含α的式子表示，其中 0°＜

α＜90°）

第 2 题图

解：

（1）BD＝AE；

【解法提示】如解图①，连接 EC，当

＝60°时， ABC、△DCE

均为等边三角形，

∴EC＝DC，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD 和△ACE 中，

⎧⎪CD＝EC

⎨∠BCD＝∠ACE，

⎪⎩BC＝AC

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD＝AE；

第 2 题解图①

（2）BD＝2AE；

证明：

如解图②，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.

第 2 题解图②

∵DF∥AC，

∴∠ACB＝∠DFB，

∵∠ABC＝∠ACB＝α，α＝45°，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB＝45°.

∴△DFB 是等腰直角三角形，

∴BD＝DF＝

2

2 BF.

∵AE∥BC，

∴∠ABC＋∠BAE＝180°，

∵∠DFB＋∠DFC＝180°，

∴∠BAE＝∠DFC，

∵∠ABC＋∠BCD＝∠ADC，∠CDE＋∠ADE＝∠ADC，∠ABC＝∠

CDE＝α，

∴∠ADE＝∠BCD，

∴△ADE∽△FCD，

＝

∵DF∥AC，

BF ＝ CF ，

2

＝

2

∴BD＝DF＝2AE；

（3）补全图形如解图③，BD＝2cosα·AE.

第 2 题解图③

证明：

连接 EC，设 AC 与 DE 交于点 O，

∴AE∥BC，∠EAC＝∠ACB＝α，

又∵∠EDC＝α，

∴∠EAC＝∠EDC＝α，

∵∠AOE＝∠DOC，

∴△AOE∽△DOC，

，

∵∠AOD＝∠EOC，

∴△AOD∽△EOC，

∴∠1＝∠2，

又∵∠1＝180°－α－∠3（A、D、B 三点共线），

∠4＝180°－α－∠3（三角形内角和为 180°），

∴∠1＝∠4，

∴∠2＝∠1＝∠4.

又∵∠EAC＝∠ABC＝α，

∴△BDC∽△AEC，

＝

AC＝2cosα，

∴BD＝2 cosα·AE.

3. 在△ABC 中，点 D 在直线 AB 上，在直线 BC 上取一点 E，连

接 AE，DE，使得 AE＝DE，DE 交 AC 于点 G，过点 D 作 DF

∥AC，交直线 BC 于点 F，∠EAC＝∠DEF.

（1）如图①，当点 E 在 BC 的延长线上，求证：

∠EGC＝∠AEC；

（2）如图①，当点 E 在 BC 的延长线上，D 为 AB 的中点，若 DF

＝3，求 BE 的长度；

（3）当点 E 在 BC 上，点 D 在 AB 的延长线上时，如图②所示，若

CE＝10，5EG＝2DE，求 AG 的长度．

第 3 题图

.

（1）证明：

∵DF∥AC，

∴∠DFE＝∠ACE

在△ACE 和△EFD 中，

⎧⎪∠EAC＝∠DEF

⎨∠ACE＝∠EFD，

⎪⎩AE＝ED

∴△ACE≌△EFD（AAS），

∴∠AEC＝∠EDF.

∵DF∥AC，

∴∠EGC＝∠EDF，

∴∠EGC＝∠AEC；

（2）解：

∵DF∥AC，

∴△BDF∽△BAC，

＝.

∵D 为 AB 的中点，

BD111

∴＝ ，∴BF＝ BC，DF＝ AC.

BA222

∴BF＝CF，AC＝2DF＝6，

由

（1）可知△ACE≌△EFD，

∴AC＝EF＝6，CE＝FD＝3.

∴BF＝FC＝EF－CE＝3，

∴BE＝BF＋FE＝9；

（3）解：

∵DF∥AC，

∴∠ACE＝∠EFD.

在△ACE 和△EFD 中，

⎧⎪∠EAC＝∠DEF

⎨∠ACE＝∠EFD，

⎪⎩AE＝ED

∴△ACE≌△EFD（AAS），

∴CE＝FD＝10，AC＝EF.

∵DF∥AC，

∴△DEF∽△GEC，

∴ EF＝.

∵5EG＝2DE，CE＝FD＝10，

∴EF＝25，GC＝4，

∴AG＝AC－GC＝EF－GC＝25－4＝21.

4.

（1）如图①，在 ABC 中，∠A＝90°，∠B＝30°，点 D，E 分别

在 AB，BC 上，且∠CDE＝90°，EF⊥AB 于点 F，BE＝2AD，

求证：

DE＝CD；

（2）如图②，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 在 BC 上，

连接 AD，E 为 AD 上一点，过点 E 作 BC 的平行线分别交 AB，AC

于点 F，G，连接 BE，CE，若∠BEC＝135°，求证：

△BFE∽△EGC；

CE的值.

第 4 题图

（1）证明：

由题意可得，∠BFE＝∠DFE＝90°＝∠A＝∠CDE，

∵∠ADC＋∠EDF＝∠FED＋∠EDF＝180°－90°＝90°，

∴∠ADC＝∠FED.

∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，

∴BE＝2FE.

∵BE＝2AD，

∴FE＝AD，

在△FED 和△ADC 中，

⎧⎪∠FED＝∠ADC

⎨FE＝AD，

⎪⎩∠DFE＝∠CAD

∴△FED≌△ADC（ASA），

∴DE＝CD；

（2）证明：

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵FG∥BC，

∴∠AFG＝∠ABC＝∠ACB＝∠AGF＝45°，

∴∠BFE＝∠EGC＝135°＝∠BEC，

∴AF＝AG，BF＝GC，

∵∠GEC＋∠BEC＝∠GEB＝∠BFE＋∠FBE，

∴∠FBE＝∠GEC，

∴△BFE∽△EGC；

（3）解：

由

（2）知，△BFE∽△EGC，

，

∵FG∥BC，

∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，

∴ FE ＝ AE， AE＝ EG，

BD AD AD DC

FE

＝

∵BD＝2DC，

∴FE＝2EG，

又∵ BF，BF＝GC，

∴ BF＝2EG，

EGBF

BF

∴＝2，

BEBF

∴＝2.

5. 在矩形 ABCD 中，AD＝4，M 是 AD 的中点，点 E 是线段 AB

上一动点，连接 EM 并延长交线段 CD 的延长线于点 F.

（1）如图①，求证：

△AEM≌△DFM；

（2）如图②，若 AB＝2，过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 于点 G，

求证：

△GEF 是等腰直角三角形；

（3）如图③，若 AB＝23，过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 的延

ME 的值.

第 5 题图

（1）证明∵ABCD 是矩形，

∴∠EAM＝∠FDM＝90°，

∵M 是 AD 的中点，∴AM＝DM，

⎧⎪∠A＝∠FDB

在△AME 和△DMF 中，⎨AM＝DM，

⎪⎩∠AME＝∠DMF

∴△AME≌△DMF（ASA）；

（2）证明：

过点 G 作 GH⊥AD 于 H，如解图①，

∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，

∴四边形 ABGH 是矩形．

∴GH＝AB＝2，

∵M 是 AD 的中点，

1

∴AM＝ AD＝2，∴AM＝GH，

2

∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°

∴∠AME＋∠GMH＝90°.

∵∠AME＋∠AEM＝90°，

∴∠AEM＝∠GMH，

⎧⎪AM＝GH

在△AEM 和△HMG 中，⎨∠AEM＝∠GMH，

⎪⎩∠A＝∠AHG

∴△AEM≌△HMG，

∴ME＝MG，∴∠EGM＝45°，

由

（1）得△AEM≌△DFM，∴ME＝MF，

∵MG⊥EF，∴GE＝GF，∴∠EGF＝2∠EGM＝90°，∴△GEF 是等

腰直角三角形．

第 5 题解图①

（3）解：

过点 G 作 GH⊥AD 交 AD 延长线于点 H，如解图②，

∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，

∴四边形 ABGH 是矩形，

∴GH＝AB＝23，

∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°，

∴∠AME＋∠GMH＝90°，

∵∠AME＋∠AEM＝90°，

∴∠AEM＝∠GMH，

又∵∠A＝∠GHM＝90°，

∴△AEM∽△HMG，

＝

EM ＝3.

第 5 题解图②

6. 已知 D 是△ABC 的 BC 边上的中点，DE⊥AB 于点 E、DF⊥AC

于点 F，且 BE＝CF，点 M、N 分别是 AE、DE 上的点，AN⊥

FM 于点 G.

（1）如图①，当∠BAC＝90°时；

①求证：

四边形 AEDF 是正方形；

②试问 AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两对角线的

数量关系相同吗？

请证明你的结论；

（2）如图②，当 AF∶DF＝2∶1 时，求 AN∶FM 的值．

第 6 题图

（1）①证明：

∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，

∴四边形 AEDF 是矩形，

∵BD＝DC，∠DEB＝∠DFC＝90°，BE＝CF，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴DE＝DF，

∴矩形 AEDF 是正方形；

②解：

AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两条对角线

的数量关系相同；

理由：

在正方形 AEDF 中，AF＝AE，

又∵AN⊥FM 于 G，∠AMF＝∠ANE，

∠AEN＝∠MAF＝90°，

∴Rt△AEN≌△Rt△FAM（AAS），

∴AN＝FM，

又∵正方形 AEDF 的对角线相等，

∴AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两对角线的数量

关系相同；

（2）解：

如解图，连接 AD、EF，且 AD 与 EF 相交于点 O，

设 AF＝2k，DF＝k，在 Rt△ADF 中，AD＝（2k）2＋k2＝5

k，

∵Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴∠B＝∠C，DE＝DF，

∴AB＝AC，AE＝AF，

1

∴AD 垂直平分 EF，则 OF＝ EF，DF⊥AC 于点 F，

2

1

×

2

1       2 5

5k·OF＝2k·k· ，∴OF＝   k，

2         5

45

∴EF＝k，

5

又∵∠NEM＝∠MGN＝90°，

∠GME＋∠ ENG＝∠ DNG＋∠ ENG＝180°，∠ AEO＋∠ EAO＝∠

ADE＋∠EAD＝180°，

∴∠EMF＝∠DNA，∠AEO＝∠NDA，

∴△FME∽△AND，

＝ .

第 6 题解图

7. 已知正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，连接 AE，过点 B 作 BF

⊥AE 于点 G，交 CD 于点 F.

第 7 题图

（1）如图①，连接 AF，若 AB＝4，BE＝1，求 AF 的长；

（2）如图②，连接 BD，交 AE 于点 N，连接 AC，分别交 BD、BF

于点 O、M，连接 GO，求证：

GO 平分∠AGF；

（3）如图③，在第

（2）问的条件下，连接 CG，若 CG⊥GO，求证：

AG＝2CG.

（1）解：

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠ABE＝∠C＝∠D＝90°，

∴∠ABG＋∠CBF＝90°，

∵BF⊥AE，∴∠ABG＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，

⎧⎪∠C＝∠ABE

在△BCF 和△ABE 中，⎨BC＝AB，

⎪⎩∠CBF＝∠BAE

∴△BCF≌△ABE（ASA），

∴CF＝BE＝1，∴DF＝CD－CF＝3，

∴AF＝AD2＋DF2＝42＋32＝5；

（2）证明：

∵AC⊥BD，BF⊥AE，

∴∠AOB＝∠AGB＝∠AGF＝90°，

∴A、B、G、O 四点共圆，

∴∠AGO＝∠ABO＝45°，

∴∠FGO＝90°－45°＝45°＝∠AGO，

∴GO 平分∠AGF；

（3）证明：

连接 EF，如解图所示：

∵CG⊥GO，∴∠OGC＝90°，∵∠EGF＝∠BCD＝90°，

∴∠EGF＋∠BCD＝180°，

∴C、E、G、F 四点共圆，

∴∠EFC＝∠EGC＝180°－90°－45°＝45°，

∴△CEF 是等腰直角三角形，

∴CE＝

，同

（1）得：

 BCF≌△ABE，

1

∴CF＝BE，∴CE＝BE＝BC，

2

12

∴OA＝AC＝BC＝

由

（1）得：

A、B、G、O 四点共圆，

∴∠BOG＝∠BAE，

∵∠GEC＝90°＋∠BAE，∠GOA＝90°＋∠BOG，

∴∠GOA＝∠GEC，

又∵∠EGC＝∠AGO＝45°，

∴△AOG∽△CEG，

CG＝ CE＝2，

∴AG＝2 CG.

第 7 题解图

8. 已知点 E 在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，

∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.

（1）如图①，当

＝60°，求证：

 ABE≌△CBD；

（2）在

（1）的条件下，连接 CD，若 AE＝1，试求 BD 的长；

AE的值．

第 8 题图

（1）证明：

如解图①，连接 DC，

∵∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴△ABC 是等边三角形．

同理△EBD 也是等边三角形，

∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°－∠EBC＝∠CBD，

⎧⎪AB＝BC

在△ABE 与△CBD 中，⎨∠ABE＝∠CBD，

⎪⎩BE＝BD

∴△ABE≌△CBD；

第 8 题解图①

（2）证明：

∵△ABE≌△CBD，

∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°，

∴∠EDC＝150°－∠BDE＝90°，

∠CED＝∠BEC－∠BED＝90°－60°＝30°.

CD

在 Rt△EDC 中，

∴BD＝

3AE＝ 3；

（3）解：

如解图②，连接 DC，

∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠EDB＝60°，

∴△ABC∽△EBD，

，

又∵∠ABE＝90°－∠EBC＝∠CBD，

∴△ABE∽△CBD，∠AEB＝∠CDB＝150°，

∴ AE，

∴∠ EDC＝150°－∠ BDE＝90°，∠ CED＝∠ BEC－∠ BED＝90°－

（90°－∠BDE）＝60°，

设 BD＝x，则在 Rt△EBD 中，DE＝2x，BE＝

在 Rt△EDC 中，CD＝DE·tan60°＝23x，

3x，

∴AE＝

CD·BE 2 3x· 3x

BD ＝  x  ＝6x＝6BD，

即BD＝1.

AE6

第 8 题解图②

9. 在锐角△ABC 中，AB＝6，BC＝11，∠ACB＝30°，将△ABC 绕

点 B 逆时针旋转，得到 

1BC1.

（1） 如图①，当点C1 在线段 CA 的延长线上时，∠ CC1A1 ＝

________°；

（2）如图②，连接 AA1，CC1. 若△ABA1 的面积为 24，求△CBC1

的面积；

（3）如图③，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在

△ABC 绕点 B 逆时针旋转过程中，点 P 的对应点是 P1，求在旋转过程

中，线段 EP1 长度的最大值与最小值的差.

第 9 题图

（1）解：

60；

【解法提示】由旋转得：

∠A1C1B＝∠C＝30°，BC＝BC1，

∴∠C＝∠BC1C＝30°，

∴∠CC1A1＝60°.

（2）解：

∵△ABC≌ 

1BC1，

∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，

∴BA BA1

，

∵∠ABA1＝∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

ABA1

636

∴）2＝（）2＝，

CBC1

∵

 ABA1＝24，

242

3

（3）解：

如解图，过点 B 作 BD⊥AC，D 为垂足，

∵△ABC 为锐角三角形，

∴点 D 在线段 AC 上，

在 Rt△BCD 中，BD＝BC·sin30°＝5.5，

以 B 为圆心，BD 长为半径画圆交 AB 于点 P1′，BP1 有最小值 BP1′.

∴EP1 的最小值为 5.5－3＝2.5，

以 B 为圆心，BC 长为半径画圆交 AB 的延长线于点 P1″，BP1 有

最大值 BP1″.

此时 EP1 的最大值为 11＋3＝14，

∴线段 EP1 的最大值与最小值的差为 14－2.5＝11.5.

第 9 题解图

10. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC

于点 E，BE 与 AD 相交于 F.过 F 作 FG⊥BE，过 A 作 AG⊥AB，

AG 与 FG 相交于 G.

（1）如图①，若 AC＝5，DF＝3，求 AB 的长；

（2）证明：

△BFG 是等腰直角三角形；

（3）如图②，当 BD＝2CD 时，连接 CF 并延长，分别交 AB，BG

HI 的值．

第 10 题图

（1）解：

在△ABD 中，∠ABD＝45°，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°，

∴BD＝AD，

∵BE⊥AC 于 E，

∴∠AEB＝∠BDA＝90°，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠FAE＝∠FBD，

在△BFD 和△ACD 中，

⎧⎪∠FBD＝∠CAD

⎨∠FDB＝∠CDA，

⎪⎩BD＝AD

∴△BFD≌△ACD，

∴BF＝AC＝5，

在 Rt△BDF 中，由勾股定理得 BD＝BF2－DF2＝

52－32＝4，

BD4

在 Rt△ABD 中，AB＝＝＝4

cos∠ABD cos45°

2；

第 10 题解图

（2）如解图，过 F 作 FP∥BC 交 AB 于点 P，

则∠AFP＝∠ADB＝90°，

∠APF＝∠ABD＝45°，

∴∠BAD＝45°，

∴∠FPA＝∠FAP，

∴PF＝AF.

∵∠BFG＝90°，

∴∠AFP＝∠BFG，

∴∠AFG＋∠GFP＝∠GFP＋∠PFB，

∴∠AFG＝∠PFB，

设 FG 交 AB 于 Q，

∵∠GAB＝∠GFB＝90°，∠AQG＝∠FQB，

∴∠AGQ＝∠FBQ，

在△AFG 和△PFB 中，

⎧⎪∠AFG＝∠PFB

⎨∠AGF＝∠PBF，

⎪⎩AF＝PF

∴△AFG≌△PFB（AAS），

∴GF＝BF，

∵BF⊥GF，

∴△BFG 是等腰直角三角形；

（3）解：

∵三角形的三条高交于一点，AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CH⊥AB，

∵∠ABD＝45°，

∴BH＝CH.

∵BD＝2CD，

设 CD＝m，则 BC＝3m，

∴BH＝CH＝ 3

2

2

m，

在 Rt△ABD 中，BD＝AD＝2m，∴AB＝2

2m，

2m＝

由

（2）知△BFG 是等腰直角三角形，

∴∠GBF＝45°＝∠ABD，

∴∠IBH＝∠EBC，

∵∠BHI＝∠BDF＝90°，

∴△BIH∽△BFD，

∴BH＝ IH ，

BD FD

2

2 m.

即

3 2

m

2 IH

2m ＝ m ，解得 HI＝

3

4

2

m，

∴AH＝

3

2

m

2 2

＝ .

2 3

m

4