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九章算术(注序)
昔在庖犠氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六爻之变。
暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后两仪四象精微之气可得而效焉。
记称隶首作数,其详未之闻也。
按周公制礼而有九数,九数之流,则《九章》是矣。
往者暴秦焚书,经术散坏。
自时厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。
苍等因旧文之遗残,各称删补。
故校其目则与古或异,而所论者多近语也。
徽幼习《九章》,长再详览。
观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。
是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作注。
事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本榦知,发其一端而已。
又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。
且算在六艺,古者以宾兴贤能,教习国子;虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方;至于以法相传,亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。
当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未必能综于此耳。
《周官·大司徒》职,夏至日中立八尺之表。
其景尺有五寸,谓之地中。
说云,南戴日下万五千里。
夫云尔者,以术推之。
案:
《九章》立四表望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。
然则苍等为术犹未足以博尽群数也。
徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。
凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。
立两表于洛阳之城,令高八尺,南北各尽平地。
同日度其正中之时。
以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一。
所得加表高,即日去地也。
以南表之景乘表间为实,实如法而一,即为从南表至南戴日下也。
以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即日去人也。
以径寸之筒南望日,日满筒空,则定筒之长短以为股率,以筒径为句率,日去人之数为大股,大股之句即日径也。
虽夫圆穹之象犹曰可度,又况泰山之高与江海之广哉。
徽以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于志,以阐世术之美,辄造《重差》,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下。
度高者
重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。
触类而长之,则虽幽遐诡伏,靡所不入,博物君子,详而览焉。
九章算术(卷一)
○方田(以御田畴界域)
今有田广十五步,从十六步。
问为田几何?
答曰:
一亩。
又有田广十二步,从十四步。
问为田几何?
答曰:
一百六十八步。
〔图:
从十四,广十二。
〕
方田术曰:
广从步数相乘得积步。
〔此积谓田幂。
凡广从相乘谓之幂。
淳风等按:
经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。
观斯注意,积幂义
同。
以理推之,固当不尔。
何则?
幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。
循名
责实,二者全殊。
虽欲同之,窃恐不可。
今以凡言幂者据广从之一方;其言积者
举众步之都数。
经云相乘得积步,即是都数之明文。
注云谓之为幂,全乖积步之
本意。
此注前云积为田幂,于理得通。
复云谓之为幂,繁而不当。
今者注释,存
善去非,略为料简,遗诸后学。
〕
以亩法二百四十步除之,即亩数。
百亩为一顷。
〔淳风等按:
此为篇端,故特举顷、亩二法。
余术不复言者,从此可知。
一
亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。
又横而
截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。
此即从疏横截之步,各自为方,
凡有二百四十步。
一亩之地,步数正同。
以此言之,则广从相乘得积步,验矣。
二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。
故以除之,即得。
〕
今有田广一里,从一里。
问为田几何?
答曰:
三顷七十五亩。
又有田广二里,从三里。
问为田几何?
答曰:
二十二顷五十亩。
里田术曰:
广从里数相乘得积里。
以三百七十五乘之,即亩数。
〔按:
此术广从里数相乘得积里。
方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即
得亩数也。
〕
今有十八分之十二,问约之得几何?
答曰:
三分之二。
又有九十一分之四十九,问约之得几何?
答曰:
十三分之七。
○约分
〔按:
约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。
设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则
异辞,至于为数,亦同归尔。
法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。
〕
术曰:
可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,
求其等也。
以等数约之。
〔等数约之,即除也。
其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。
〕
今有三分之一,五分之二,问合之得几何?
答曰:
十五分之十一。
又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?
答曰:
得一、六十三
分之五十。
又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?
答曰:
得
二、六十分之四十三。
○合分
〔淳风等按:
合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。
粗细
既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。
〕
术曰:
母互乘子,并以为实。
母相乘为法。
〔母互乘子。
约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。
虽则粗细有殊,
然其实一也。
众分错杂,非细不会。
乘而散之,所以通之。
通之则可并也。
凡母
互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。
同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐,
势不可失本数也。
方以类聚,物以群分。
数同类者无远;数异类者无近。
远而通
体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。
然则齐同之术要矣:
错
综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。
乘以散之,约以聚之,齐同
以通之,此其算之纲纪乎?
其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。
〕
实如法而一。
不满法者,以法命之。
〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。
其余以等数约之,即得
知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。
〕
其母同者,直相从之。
今有九分之八,减其五分之一,问余几何?
答曰:
四十五分之三十一。
又有四分之三,减其三分之一,问余几何?
答曰:
十二分之五。
○减分
〔淳风等按:
诸分子、母数各不同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰
减分。
〕
术曰:
母互乘子,以少减多,余为实。
母相乘为法。
实如法而一。
〔母互乘子知,以齐其子也。
以少减多知,齐故可相减也。
母相乘为法者,
同其母也。
母同子齐,故如母而一,即得。
〕
今有八分之五,二十五分之十六,问孰多?
多几何?
答曰:
二十五分之十六
多,多二百分之三。
又有九分之八,七分之六,问孰多?
多几何?
答曰:
九分之八多,多六十三
分之二。
又有二十一分之八,五十分之十七,问孰多?
多几何?
答曰:
二十一分之八
多,多一千五十分之四十三。
○课分
〔淳风等按:
分各异名,理不齐一,较其相近之数,故曰课分也。
〕
术曰:
母互乘子,以少减多,余为实。
母相乘为法。
实如法而一,即相多也。
〔淳风等按:
此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意
与减分有异:
减分知,求其余数有几;课分知,以其余数相多也。
〕
今有三分之一,三分之二,四分之三。
问减多益少,各几何而平?
答曰:
减
四分之三者二,三分之二者一,并,以益三分之一,而各平于十二分之七。
又有二分之一,三分之二,四分之三。
问减多益少,各几何而平?
答曰:
减
三分之二者一,四分之三者四、并,以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。
○平分
〔淳风等按:
平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平
分也。
〕
术曰:
母互乘子,
〔齐其子也。
〕
副并为平实。
〔淳风等按:
母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当损益知,
限为平。
〕
母相乘为法。
〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。
〕
以列数乘未并者各自为列实。
亦以列数乘法。
〔此当副置列数除平实,若然则重有分,故反以列数乘同齐。
淳风等按:
问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。
平三知,置位三
重;平二知,置位二重。
凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。
〕
以平实减列实,余,约之为所减。
并所减以益于少。
以法命平实,各得其平。
今有七人,分八钱三分钱之一。
问人得几何?
答曰:
人得一钱二十一分钱之
四。
又有三人三分人之一,分六钱三分钱之一、四分钱之三。
问人得几何?
答曰:
人得二钱八分钱之一。
○经分
〔淳风等按:
经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求一人之分。
以
人数分所分,故曰经分也。
〕
术曰:
以人数为法,钱数为实,实如法而一。
有分者通之。
〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。
以母通之者,分母乘全内子。
乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。
凡数相与者谓之率。
率知,
自相与通。
有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。
故散分者,必令
两分母相乘法实也。
〕
重有分者同而通之。
〔又以法分母乘实,实分母乘法。
此谓法、实俱有分,故令分母各乘全分内
子,又令分母互乘上下。
〕
今有田广七分步之四,从五分步之三,问为田几何?
答曰:
三十五分步之十
二。
又有田广九分步之七,从十一分步之九,问为田几何?
答曰:
十一分步之七。
又有田广五分步之四,从九分步之五,问为田几何?
答曰:
九分步之四。
○乘分
〔淳风等按:
乘分者,分母相乘为法,子相乘为实,故曰乘分。
〕
术曰:
母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。
〔凡实不满法者而有母、子之名。
若有分,以乘其实而长之,则亦满法,乃
为全耳。
又以子有所乘,故母当报除。
报除者,实如法而一也。
今子相乘则母各
当报除,因令分母相乘而连除也。
此田有广从,难以广谕。
设有问者曰:
马二十
匹,直金十二斤。
今卖马二十匹,三十五人分之,人得几何?
答曰:
三十五分斤
之十二。
其为之也,当如经分术,以十二斤金为实,三十五人为法。
设更言马五
匹,直金三斤。
今卖马四匹,七人分之,人得几何?
答曰:
人得三十五分斤之十
二。
其为之也,当齐其金、人之数,皆合初问入于经分矣。
然则分子相乘为实者,
犹齐其金也;母相乘为法者,犹齐其人也。
同其母为二十,马无事于同,但欲求
齐而已。
又,马五匹,直金三斤,完全之率;分而言之,则为一匹直金五分斤之
三。
七人卖四马,一人卖七分马之四。
金与人交互相生。
所从言之异,而计数则
三术同归也。
〕
今有田广三步三分步之一,从五步五分步之二,问为田几何?
答曰:
十八步。
又有田广七步四分步之三,从十五步九分步之五,问为田几何?
答曰:
一百
二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五,从二十三步十一分步之六,问为田几何?
答曰:
一亩二百步十一分步之七。
○大广田
〔淳风等按:
大广田知,初术直有全步而无余分;次术空有余分而无全步;
此术先见全步,复有余分,可以广兼三术,故曰大广。
〕
术曰:
分母各乘其全,分子从之,
〔分母各乘其全,分子从之者,通全步内分子。
如此则母、子皆为实矣。
〕
相乘为实。
分母相乘为法。
〔犹乘分也。
〕
实如法而一。
〔今为术广从俱有分,当各自通其分。
命母入者,还须出之,故令分母相乘
为法而连除之。
〕
今有圭田广十二步,正从二十一步,问为田几何?
答曰:
一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一,从八步三分步之二,问为田几何?
答曰:
二十
三步六分步之五。
术曰:
半广以乘正从。
〔半广知,以盈补虚为直田也。
亦可半正从以乘广。
按:
半广乘从,以取中
平之数,故广从相乘为积步。
亩法除之,即得也。
〕
今有邪田,一头广三十步,一头广四十二步,正从六十四步。
问为田几何?
答曰:
九亩一百四十四步。
又有邪田,正广六十五步,一畔从一百步,一畔从七十二步。
问为田几何?
答曰:
二十三亩七十步。
术曰:
并两斜而半之,以乘正从若广。
又可半正从若广,以乘并。
亩法而一。
〔并而半之者,以盈补虚也。
〕
今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正从三十步,问为田几何?
答曰:
一亩
一百三十五步。
又有箕田,舌广一百一十七步,踵广五十步,正从一百三十五步,问为田几
何?
答曰:
四十六亩二百三十二步半。
术曰:
并踵、舌而半之,以乘正从。
亩法而一。
〔中分箕田则为两邪田,故其术相似。
又可并踵、舌,半正从,以乘之。
〕
今有圆田,周三十步,径十步。
〔淳风等按:
术意以周三径一为率,周三十步,合径十步。
今依密率,合径
九步十一分步之六。
〕
问为田几何?
答曰:
七十五步。
〔此于徽术,当为田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳风等按:
依密率,为田七十一步二十三分步之一十三。
〕
又有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。
〔淳风等按:
周三径一,周一百八十一步,径六十步三分步之一。
依密率,
径五十七步二十二分步之一十三。
〕
问为田几何?
答曰:
十一亩九十步十二分步之一。
〔此于徽术,当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳风等按:
依密率,当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。
〕
术曰:
半周半径相乘得积步。
〔按:
半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。
假令圆径二尺,圆中容
六觚之一面,与圆径之半,其数均等。
合径率一而外周率三也。
又按:
为图,以六觚之一面乘一弧半径,三之,得十二觚之幂。
若又割之,
次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之,则得二十四觚之幂。
割之弥细,所失弥
少。
割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。
觚面之外,又有余径。
以面乘余径,则幂出觚表。
若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径。
表无余径,
则幂不外出矣。
以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。
故以半周乘半径而为圆幂。
此一周、径,谓至然之数,非周三径一之率也。
周三者,从其六觚之环耳。
以推
圆规多少之觉,乃弓之与弦也。
然世传此法,莫肯精核;学者踵古,习其谬失。
不有明据,辩之斯难。
凡物类形象,不圆则方。
方圆之率,诚著于近,则虽远可
知也。
由此言之,其用博矣。
谨按图验,更造密率。
恐空设法,数昧而难譬,故
置诸检括,谨详其记注焉。
割六觚以为十二觚术曰:
置圆径二尺,半之为一尺,即圆里觚之面也。
令
半径一尺为弦,半面五寸为句,为之求股。
以句幂二十五寸减弦幂,余七十五寸,
开方除之,下至秒、忽。
又一退法,求其微数。
微数无名知以为分子,以十为分
母,约作五分忽之二。
故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。
以减半径,余
一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三,谓之小句。
觚之半面又谓之小股。
为之
求弦。
其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽,余分弃之。
开方除之,即十二觚之一面也。
割十二觚以为二十四觚术曰:
亦令半径为弦,半面为句,为之求股。
置上
小弦幂,四而一,得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽,余分弃之,
即句幂也。
以减弦幂,其余开方除之,得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之
四。
以减半径,余三分四厘七秒四忽五分忽之一,谓之小句。
觚之半面又谓之小
股。
为之求小弦。
其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽,余分
弃之。
开方除之,即二十四觚之一面也。
割二十四觚以为四十八觚术曰:
亦令半径为弦,半面为句,为之求股。
置上
小弦幕,四而一,得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽,余分弃之,即
句幂也。
以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之
四。
以减半径,余八厘五毫五秒五忽五分忽之一,谓之小句。
觚之半面又谓之小
股。
为之求小弦。
其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽,余分弃之。
开方除之,得小弦一寸三分八毫六忽,余分弃之,即四十八觚之一面。
以半径一
尺乘之,又以二十四乘之,得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。
以百亿除
之,得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四,即九十六觚之幂也。
割四十八觚以为九十六觚术曰:
亦令半径为弦,半面为句,为之求股。
置次
上弦幂,四而一,得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽,余分弃之,即句
幂也。
以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以减半径,余二厘一毫四秒一忽十分忽之一,谓之小句。
觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。
其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽,余分弃之。
开方除
之,得小弦六分五厘四毫三秒八忽,余分弃之,即九十六觚之一面。
以半径一尺
乘之,又以四十八乘之,得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽,以百亿除之,
得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四,即一百九十二觚之幂也。
以九十六
觚之幂减之,余六百二十五分寸之一百五,谓之差幂。
倍之,为分寸之二百一十,
即九十六觚之外弧田九十六所,谓以弦乘矢之凡幂也。
加此幂于九十六觚之幂,
得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九,则出圆之表矣。
故还就一百九十
二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。
以半径一尺除圆幂,倍之,
得六尺二寸八分,即周数。
令径自乘为方幂四百寸,与圆幂相折,圆幂得一百五
十七为率,方幂得二百为率。
方幂二百其中容圆幂一百五十七也。
圆率犹为微少。
案:
弧田图令方中容圆,圆中容方,内方合外方之半。
然则圆幂一百五十七,其
中容方幂一百也。
又令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五
十,则其相与之率也。
周率犹为微少也。
晋武库中汉时王莽作铜斛,其铭曰:
律
嘉量斛,内方尺而圆其外,庣旁九厘五毫,幂一百六十二寸,深一尺,积一千六
百二十寸,容十斗。
以此术求之,得幂一百六十一寸有奇,其数相近矣。
此术微
少。
而觚差幂六百二十五分寸之一百五。
以一百九十二觚之幂为率消息,当取此
分寸之三十六,以增于一百九十二觚之幂,以为圆幂,三百一十四寸二十五分寸
之四。
置径自乘之方幂四百寸,令与圆幂通相约,圆幂三千九百二十七,方幂得
五千,是为率。
方幂五千中容圆幂三千九百二十七;圆幂三千九百二十七中容方
幂二千五百也。
以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四,倍之,得六尺
二寸八分二十五分分之八,即周数也。
全径二尺与周数通相约,径得一千二百五
十,周得三千九百二十七,即其相与之率。
若此者,盖尽其纤微矣。
举而用之,
上法仍约耳。
当求一千五百三十六觚之一面,得三千七十二觚之幂,而裁其微分,
数亦宜然,重其验耳。
淳风等案:
旧术求圆,皆以周三径一为率。
若用之求圆周之数,则周少径多。
用之求其六觚之田,乃与此率合会耳。
何则?
假令六觚之田,觚间各一尺为面,
自然从角至角,其径二尺可知。
此则周六径二与周三径一已合。
恐此犹为难晓,
今更引物为喻。
设令刻物作圭形者六枚,枚别三面,皆长一尺。
攒此六物,悉使
锐头向里,则成六觚之周,角径亦皆一尺。
更从觚角外畔,围绕为规,则六觚之
径尽达规矣。
当面径短,不至外规。
若以径言之,则为规六尺,径二尺,面径皆
一尺。
面径股不至外畔,定无二尺可知。
故周三径一之率于圆周乃是径多周少。
径一周三,理非精密。
盖术从简要,举大纲,略而言之。
刘徽特以为疏,遂改张
其率。
但周、径相乘,数难契合。
徽虽出斯二法,终不能究其纤毫也。
祖冲之以
其不精,就中更推其数。
今者修撰,捃摭诸家,考其是非,冲之为密。
故显之于
徽术之下,冀学者知所裁焉。
〕
又术曰:
周、径相乘,四而一。
〔此周与上觚同耳。
周、径相乘,各当一半。
而今周、径两全,故两母相乘
为四,以报除之。
于徽术,以五十乘周,一百五十七而一,即径也。
以一百五十
七乘径,五十而一,即周也。
新术径率犹当微少。
据周以求径,则失之长;据径
以求周,则失之短。
诸据见径以求幂者,皆失之于微少;据周以求幂者,皆失之
于微多。
淳风等按:
依密率,以七乘周,二十二而一,即径;以二十二乘径,七而一,
即周。
依术求之,即得。
〕
又术曰:
径自相乘,三之,四而一。
〔按:
圆径自乘为外方,三之,四而一者,是为圆居外方四分之三也。
若令
六觚之一面乘半径,其幂即外方四分之一也。
因而三之,即亦居外方四分之三也。
是为圆里十二觚之幂耳。
取以为圆,失之于微少。
于徽新术,当径自乘,又以一
百五十七乘之,二百而一。
淳风等按:
密率,令径自乘,以十一乘之,十四而一,即圆幂也。
〕
又术曰:
周自相乘,十二而一。
〔六觚之周,其于圆径,三与一也。
故六觚之周自相乘为幂,若圆径自乘者
九方。
九方凡为十二觚者十有二,故曰十二而一,即十二觚之幂也。
今此令周自
乘,非但若为圆径自乘者九方而已。
然则十二而一,所得又非十二觚之幂也。
若
欲以为圆幂,失之于多矣。
以六觚之周,十二而一可也。
于徽新术,直令圆周自
乘,又以二十五乘之,三百一十四而一,得圆幂。
其率:
二十五者,周幂也;三
百一十四者,周自乘之幂也。
置周数六尺二寸八分,令自乘,得幂三十九万四千
三百八十四分。
又置圆幂三万一千四百分。
皆以一千二百五十六约之,得此率。
淳风等按:
方面自乘即得其积。
圆周求其幂,假率乃通。
但此术所求用三、
一为率。
圆田正法,半周及半径以相乘。
今乃用全周自乘,故须以十二为母。
何
者?
据全周而求半周,则须以二为法。
就全周而求半径,复假六以除之。
是二、
六相乘,除周自乘之数。
依密率,以七乘之,八十八而一。
〕
今有宛田,下周三十步,径十六步。
问为田几何?
答曰:
一百二十步。
又有宛田,下周九十九步,径五十一步。
问为田几何?
答曰:
五亩六十二步
四分步之一。
术曰:
以径乘周,四而一。
〔此术不验,故推方锥以见其形。
假令方锥下方六尺,高四尺。
四尺为股,
下方之半三尺为句。
正面邪为弦,弦五尺也。
令句弦相乘,四因之,得六十尺,
即方锥四面见者之幂。
若令其中容圆锥,圆锥见幂与方锥见幂,其率犹方幂之与
圆幂也。
按:
方锥下六尺,则方周二十四尺。
以五尺乘而半之,则亦锥之见幂。
故求圆锥之数,折径以乘下周之半,即圆锥之幂也。
今宛田上径圆穹,而与圆锥
同术,则幂失之于少矣。
然其术难用,故略举大较,施之大广田也。
求圆锥之幂,
犹求圆田之幂也。
今用两全相乘,故以四为法,除之,亦如圆田矣。
开立圆术说
圆方诸率甚备,可以验此。
〕
今有弧田,弦二十步,矢十五步。
问为田几何?
答曰:
一亩九十七步半。
又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。
问为田几何?
答
曰:
二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰:
以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
〔方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。
中方合外方之半,
则朱青合外方四分之一也。
弧田,半圆之幂也。
故依半圆之体而为之术。
以弦乘
矢而半之,则为黄幂,矢自乘而半之,则为二青幂。
青、黄相连为弧体,弧体法
当应规。
今觚面不至外畔,失之于少矣。
圆田旧术以周三径一为率,俱得十二觚
之幂,亦失之于少也,与此相似。
指验半圆之幂耳。
若不满半圆者,益复疏阔。
宜句股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为锯深,而求其径。
既知圆径,则弧
可割分也。
割之者,半弧田之弦以为股,其矢为句,为之求弦,即小弧之弦也。
以半小弧之弦为句,半圆径为弦,为之求股。
以减半径,其余即小弦之矢也。
割
之又割,使至极细。
但举弦、矢相乘之数,则必近密率矣。
然于算数差繁,必欲
有所寻究也。
若但度田,取其大数,旧术为约耳。
〕
今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。
〔此欲令与周三径一之率相应,故言径五步也。
据中、外周,以徽术言之,
当径四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳风等按:
依密率,合径四步二十二分步之十七。
〕
问为田几何?
答曰:
二亩五十五步。
〔于徽术,当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。
淳风等按:
依密率,为田二亩三十步二十二分步之十五。
〕
术曰:
并中、外周而半之,以径乘之,为积步。
〔此田截而中之周则为长。
并而半之知,亦以盈补虚也。
此可令中、外周各
自为圆田,以中圆减外圆,余则环实也。
〕
又有环田,中周六十二步四分步之三,外周一百一十三步二分步之一,径十
二步三分步之二。
〔此田环而不通匝,故径十二步三分步之二。
若据上周求径者,此径失之于
多,过周三径一之率,盖为疏矣。
于徽术,当径八步六百二十八分步之五十一。
淳风等按:
依周三径一考之,合径八步二十四分步之一十一。
依密率,合径
八步一百七十六分步之一十三。
〕
问为田几何?
答曰:
四亩一百五十六步四分步之一。
〔于徽术,当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。
依周
三径一,为田三亩二十五步六十四分步之二十五。
淳风等按:
密率,为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。
〕
术曰:
置中、外周步数,分
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