1718版 第3章 第13课 一元二次不等式及其解法.docx
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1718版第3章第13课一元二次不等式及其解法
第13课一元二次不等式及其解法
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
一元二次不等式
√
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1 有两相等实根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x 或x>x2} {x|x≠x1} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1 ∅ ∅ 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式ax2+x-1>0一定是一元二次不等式.( ) (2)不等式 ≤0⇔(x-2)(x+1)≤0.( ) (3)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.不等式 -3x+4>0的解集为________.(用区间表示) (-4,1) [由-x2-3x+4>0得x2+3x-4<0,解得-4 3.(教材改编)若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根,则a的取值范围为________. (-1,1) [令f(x)=x2+ax+a2-1,由题意可知f(0)=a2-1<0,即-1 4.在R上定义运算: =ad-bc.若不等式 ≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为__________. [原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1, 即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立, x2-x-1= 2- ≥- , 所以- ≥a2-a-2,解得- ≤a≤ .] 5.(2017·宿迁模拟)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是 ,则不等式x2-bx-a<0的解集是________. (2,3) [由不等式ax2-bx-1≥0的解集为 可知,a<0且- ,- 是方程ax2-bx-1=0的两个实数根. ∴ 解得 ∴由x2-5x+6<0得2 一元二次不等式的解法 解下列不等式: (1)3+2x-x2≥0; (2)x2-(a+1)x+a<0. [解] (1)原不等式化为x2-2x-3≤0, 即(x-3)(x+1)≤0, 故所求不等式的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)原不等式可化为(x-a)(x-1)<0, 当a>1时,原不等式的解集为(1,a); 当a=1时,原不等式的解集为∅; 当a<1时,原不等式的解集为(a,1). [迁移探究] 将 (2)中不等式改为ax2-(a+1)x+1<0,求不等式的解集. [解] 若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1. 若a<0,原不等式等价于 (x-1)>0, 解得x< 或x>1. 若a>0,原不等式等价于 (x-1)<0. ①当a=1时, =1, (x-1)<0无解; ②当a>1时, <1,解 (x-1)<0得 ③当0 >1,解 (x-1)<0得1 . 综上所述: 当a<0时,解集为 ; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0 ;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为 . [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤: (1)使一端为0且把二次项系数化为正数. (2)先考虑因式分解法,再考虑求根公式法或配方法或判别式法. (3)写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式. [变式训练1] 解关于x的不等式kx2-2x+k<0(k∈R).【导学号: 62172074】 [解] ①当k=0时,不等式的解为x>0. ②当k>0时,若Δ=4-4k2>0,即0<k<1时,不等式的解为 <x< ;若Δ≤0,即k≥1时,不等式无解. ③当k<0时,若Δ=4-4k2>0, 即-1<k<0时,x< 或x> ; 若Δ<0,即k<-1时,不等式的解集为R; 若Δ=0,即k=-1时,不等式的解为x≠-1. 综上所述,k≥1时,不等式的解集为∅; 0<k<1时,不等式的解集为 ; k=0时,不等式的解集为{x|x>0}; 当-1<k<0时,不等式的解集为 ; k=-1时,不等式的解集为{x|x≠-1}; k<-1时,不等式的解集为R. 一元二次不等式恒成立问题 角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是__________. (-2,2] [当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成立, 当a≠2时,则有 即
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- 1718版 第3章 第13课 一元二次不等式及其解法 1718 13 一元 二次 不等式 及其 解法