七年级数学下册全部知识点归纳含概念公式实用.docx
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七年级数学下册全部知识点归纳含概念公式实用
整式
幕运算
整式运算
第一章:
整式运算
单项式
多项式
同底数幕乘法
幕乘方
积乘方
同底数幕除法
零指数幕
负指数幕
整式加减
、整式乘法
整式除法
一、单项式
1、都皑数字与字母乘积代数式叫做单项式。
2、单项式数字因数叫做单项式系数。
3、单项式中所有字母指数和叫做单项式次数。
4、单独一种数或一种字母也是单项式。
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
多项式除以单项式
5、只具有字母因式单项式系数是1或一1。
6、单独一种数字是单项式,它系数是它自身。
7、单独一种非零常多次数是Oc
&单项式中只能具有乘法或乘方运算,而不能具有加、减等其她运算,
9、单项式系数涉及它前面符号。
10、单项式系数是带分数时,应化成假分数。
11、单项式系数是1或一1时,普通省略数字“1”。
12、单项式次数仅与字母关于,与单项式系数无关。
二、多项式
1、几种单项式和叫做多项式。
2、多项式中每一种单项式叫做多项式项。
3、多项式中不含字母项叫做常数项。
4、一种多项式有几项,就叫做几项式。
5、多项式每一项都涉及项前面符号。
6、多项式没有系数概念,但有次数概念。
7、多项式中次数最高项次数,叫做这个多项式次数。
三、整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中具有字母代数式不是整式;而是此后将要学习分式。
四、整式加减
1、整式加减理论依照是:
去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分派率。
2、几种整式相加减,核心是对的地运用去括号法则,然后精确合并同类项。
3、几种整式相加减普通环宵:
(1)列岀代数式:
用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。
(2)按去括号法则去括号。
(3)合并同类项。
4、代数式求值普通环节:
(1)代数式化简。
(2)代入计算
(3)对于某些特殊代数式,可采用“整体代入”进行计算。
五、同底数幕乘法
1、n个相似因式(或因数)a相乘,记作寸,读作an次方(幕),其中a为底数,n为指数,£成果叫做幕
2、底数相似幕叫做同底数幕。
3、同底数幕乘法运算法则:
同底数幕相乘,底数不变,指数相加。
即:
am・an=an^o
4、此法则也可以逆用,即:
'二eT・ano
5、开始底数不相似幕乘法,如果可以化成底数相似幕乘法,先化成同底数幫再运用法则。
六、幕乘方
1、幕乘方是指几种相似幕相乘。
(h)n表达n个a”相乘。
2、幕乘方运算法则:
幕乘方,底数不变,指数相乘。
(a”)°=aBfto
3、此法则也可以逆用,即:
a*=(aB)°=(an)二
七、积乘方
1、积乘方是指底数是乘枳形式乘方。
2、积乘方运算法则:
积乘方,等于把枳中每个因式分别乘方,然后把所得幕相乘。
即(ab)n=anbno
3、此法则也可以逆用,即:
anbn=(ab)\
八、三种“幕运算法则”异同点
1、共同点:
(1)法则中底数不变,只对指数做运算。
(2)法则中底数(不为零)和指数具备普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式)。
(3)对于具有3个或3个以上运算,法则依然成立。
2、不同点:
(1)同底数幕相乘是指数相加。
(2)幕乘方是指数相乘。
(3)积乘方是每个因式分别乘方,再将成果相乘。
九、同底数幕除法
1、同底数幕除法法则:
同底数幕相除,底数不变,指数相减,即:
aa4-an=a^(aHO)。
2、此法则也可以逆用,即:
a""=aD4-an(aHO)。
十、零指数幕
1、零指数幕意义:
任何不等于0数0次幕都等于1,即:
a°=l(aHO)。
十一、负指数幕
1、任何不等于零数一P次幕,等于这个数P次幕倒数,即:
注:
在同底数幕除法、零指数幕、负指数幕中底数不为0。
十二、整式乘法
(1)单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则:
单项式与单项式相乘,把它们系数、相似字母幕分别相乘,别的字母连同它指数
不变,作为积因式。
2、系数相乘时,注意符号。
3、相似字母幕相乘时,底数不变,指数相加。
4、对于只在一种单项式中具有字母,连同它指数一起写在积里,作为积因式。
5、单项式乘以单项式成果仍是单项式。
6、单项式乘法法则对于三个或三个以上单项式相乘同样合用。
(2)单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则:
单项式与多项式相乘,就是依照分派率用单项式去乘多项式中每一项,再
把所得积相加。
即:
m(a+b+c)=ma+mb+mc0
2、运算时注意积符号,多项式每一项都涉及它前面符号。
3、积是一种多项式,英项数与多项式项数相似。
4、混合运算中,注意运算顺序,成果有同类项时要合并同类项,从而得到最简成果。
(3)多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则:
多项式与多项式相乘,先用一种多项式每一项乘另一种多项式每一项,再把所得积相加。
即:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nbo
2、多项式与多项式相乘,必要做到不重不漏。
相乘时,要按--定顺序进行,即一种多项式每一项乘以另一种多项式每一项。
在未合并同类项之前,积项数等于两个多项式项数积。
3、多项式每一项都包括它前面符号,拟定积中每一项符号时应用“同号得正,异号得负”。
4、运算成果中有同类项要合并同类项。
5、对于具有同一种字母一次项系数是1两个一次二项式相乘时,可以运用下而公式简化运算:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
十三、平方差公式
1、(a+b)(a-b)=a2-b2,即:
两数和与这两数差积,等于它们平方之差。
2、平方差公式中a、b可以是单项式,也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用,即:
a2-b2=(a+b)(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积运算,解此类题,一方而看两个数能否转化成
(a+b)・(a-b)形式,然后看a:
与b:
与否容易计算。
十四、完全平方公式
1、{a+b)2=a2+2ab+b2,{a-b)2=a2-lab+Z^2,BP:
两数和(或差)平方,等于它们平方和,加上(或减去)它们积2倍。
2、公式中a,b可以是单项式,也可以是多项式。
3、掌握理解完全平方公式变形公式:
⑴/+b2=(a+b)2-2ab=(a-h)2+2ab=^[(a+b)2+(a-b)2]
(2)(a+b)2=(a—b)2+4ab
(3)ab=^[(a+b)2-(a-h)2]
4、完全平方式:
咱们把形如-.a2+2ab+b\a2-2ab+b\二次三项式称作完全平方式。
5、当计算较大数平方时,运用完全平方公式可以简化数运算。
6、完全平方公式可以逆用,即:
a2+2ab+b2=(a+b)\a2-2ab+b2=(a-b)2.
十五、整式除法
(-)单项式除以单项式法则
1、单项式除以单项式法则:
普通地,单项式相除,把系数、同底数幕分别相除后,作为商因式:
对于只在被除式里具有字母,则连同它指数一起作为商一种因式。
2、依照法则可知,单项式相除与单项式相乘汁算办法类似,也是提成系数、相似字母与不相似字母三某些分别进行考虑。
(二)多项式除以单项式法则
1、多项式除以单项式法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式每一项分别除以单项式,再把所得商相
加。
用字母表达为:
(Q+b+c)十m=a*m+b^m+c^m
2、多项式除以单项式,注意多项式各项都涉及前而符号。
知识点
(一)概念应用
1、单项式和多项式统称为整式。
3
单项式有三种:
单独字母(6-W等);单独数字(125,-y,3.25,-14562等);
2
数字与字母乘积普通形式(-2s,--r/,-等)。
3n
2、单项式系数是指数字某些,如-23頌be系数是-23龙(注意系数某些应包括兀,由于兀是常数);单项式次数是它所有字母指数和(记住不涉及数字和兀指数),如56^2x3y5次数是8。
3.多项式:
几种单项式和叫做多项式。
4、多项式特殊形式:
晋等。
5、一种多项式次数最高项次数叫做这个多项式次数。
如|x2y+2y-l是3次3项式。
6、单独一种非零多次数是0。
知识点
(二)公式应用
1、屮"=(严”(m,n都是正整数)如一b^b2=-b\
4、宀宀严(“不为0,m,n都为正整数,且m不不大于n)。
拓展应用令an如若=9,an=3,贝[J4吩”=令宀=9十3=3。
5、a''=l(t/0);a~!
,=-5y(«^O,是正整数)。
如(一2)"=—=
ap(-2)38
6、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2a为相似项,b为相反项。
如(—2m+n)(—2m一n)=(—2m)2-n~=4m2一n2
7、完全平方公式("+b)2=/+2"+戸(a-b)2=a2-2ab+h2
逆用:
o'+2ab+b~=(a+b)2,a2-2ab+b~={a-b)1.
如(2x_y)2=4a-2-4xy+y2
8、应用式:
a2+b2=(a+b)2-2aba2+b2=(a-b)2+2ab
(a+b)2=(a-b)2+4ab(a-b)2=(a+b)2-4ah
两位数lOa+b三位数100a+10b+c。
9、单项式与多项式相乘:
m(a+b+c)=ma+mb+mco
10、、多项式与多项式相乘:
(m+n)(a+b)=ma-hnb+na+nbo
11、多项式除以单项式法则:
(6/+b+c)4-m=n4-m+/?
4-m+c-i-m.
12、惯用变形:
(x-y)2/,=(y-x)2n,(兀一护叫-(y-x)z
知识点(三)运算:
1、常用误区:
1、一5(,一3)-2(3,+5)=-5戏一3-6/+5(-5x2+15-6%2-10):
10、(2a+b)(2a—b)=2a1—b1((4a2-Z?
2);
11、(ab+8)(t/Z?
—8)=ab2—64(a2b2-64);
12、(4x+5y)‘=16x‘+25y‘(16x24O^+25y2)o
2、简便运算:
1公式类O.M2005x252006=O.(M2005x252OO5x25=(0.04x25)2005x25=l2005x25=25
0.125,<)0x2300=0.125i<)0x(23),0()=0.1251()0x8,00=(0.125x8),0°=1I(X,=1
2平方差公式1232-124x122=1232-(123+1)(123-1)=1232-1232+1=1
3完全平方公式9992=(1000-I),=1000000-2000+1=998001
第二章平行线与相交线
余角
余角补角
补角
同位角
三线八角内错角
同旁内角
平行线鉴左
平行线
平行线性质
尺规作图
一、平行线与相交线
平行线:
在同一平而内,不相交两条直线叫做平行线。
若两条直线只有一种公共点,咱们称这两条直线为相交线。
二、余角与补角
1、如果两个角和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称苴中一种角是另一种角余角。
2、如果两个角和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称苴中一种角是另一种角补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角度数关于,与角位置无关。
4、余角和补角性质:
同角或等角余角相等,同角或等角补角相等。
5、余角和补角性质用数学语言可表达为:
(1)Zl+Z2=90°(180°),Zl+Z3=90°(180°),则Z2=Z3(同角余角(或补角)相等)。
(2)Zl+Z2=90°(180°),Z3+Z4=90°(180°),且Z1=Z4,则Z2=Z3(等角余角(或补角)相等)。
6、余角和补角性质是证明两角相等一种重要办法"
三、对顶角
1、两条直线相交成四个角,其中不相邻两个角是对顶角,
2、一种角两边分别是另一种角两边反向延长线,这两个角叫做对顶角・
3、对顶角性质:
对顶角相等。
4、对顶角性质在此后推理阐明中应用非常广泛,它是证明两个角相等根据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上左义,对顶角一泄相等,但相等角不一左是对顶角。
四、垂线及其性质
垂线:
当两条直线相交所成四个角中,有一种角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线
叫做另一条直线垂线,它们交点叫做垂足表达符号“丄”。
符号语汀记作:
所示:
AB丄CD,垂足为0
2、垂线性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质厶连接直线外一点与直线上各点所有线段中,垂线段最短.
五、同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。
(三线八角)
2、同位角:
两个角都在两条直线同侧,并且在第三条宜线(截线)同旁,这样一对角叫做同位角。
3、内错角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)两旁,这样一对角叫做内错角。
4、同旁内角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)同旁,这样一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置关于,与大小无关,普通状况下,它们之间不存在固左大小关系。
六、六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说。
2、余角、补角只有数量上关系,与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上关系,与其数量无关。
4.对顶角既有数量关系,又有位置关系。
7.平行线鉴左办法
1、同位角相等,两直线平行。
2、内错角相等,两直线平行。
3、同旁内角互补,两直线平行。
4、在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
5、在同一平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行。
八、平行线性质
1、两直线平行,同位角相等。
2、两直线平行,内错角相等。
3、两直线平行,同旁内角互补。
4、平行线鉴左与性质具备互逆特性,其关系如下:
同位角相竽同位角相筹
内错角相筹•两宜线平行•内错角相尊
同旁内角互补同旁内角互补
补充平行线鉴左办法:
(1)平行线左义:
如果两条直线没有交点(不相交),
平行。
几何符号语言:
VZ3=Z2•••AB〃CD(同位角相等,两直线平行)
VZ1=Z2
・・.AB〃CD(内错角相等,两直线平行)
VZ4+Z2=180°
•••AB〃CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同窗们注意书写顺序以及前因后果,平行线鉴立是由角相等,然后得出平行。
平行线鉴泄是写角相
等,然后写平行。
在应用时要对的区别枳极向上题设和结论。
九、尺规作线段和角
1、在几何里,只用没有刻度直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常用作图办法,普通叫基本作图。
3、尺规作图中直尺功能是:
(1)在两点间连接一条线段:
(2)将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规功能是:
(1)以任意一点为圆心,任意长为半径作一种圆:
(2)以任意一点为圆心,任意长为半径画一段弧:
5、纯熟掌握如下作图语言:
(1)作射线XX;
(2)在射线上截取XX二XX;
(3)在射线XX上依次截取XX二XX二XX;
(4)以点X为圆心,XX为半径画弧,交XX于点X;
(5)分别以点X、点X为圆心,以XX、XX为半径作弧,两弧相交于点X;
(6)过点X和点X画直线XX(或画射线XX):
(7)在ZXXX外部(或内部)画ZXXX=ZXXX;
6、在作较复杂图形时,涉及基本作图地方,不必重复作图详细过程,只用一句话概括论述就可以了。
(1)画线段XX二XX:
(2)画ZXXX=ZXXX;
知识点
(一)
1、方位问题
①若从A点看B是北偏东20,则从B看A是南偏西20.(南北相对;东西相对,数值不
角枢等;若方向相反,则两
N:
变);②从屮地到乙地,通过两次拐弯若方向不变,则两次拐向相反,次拐向相似,角互补。
2、光反射问题
如图若光线AO沿OB被镜面反射则
第三章变量之间关系
自变量
因变量
变量之间关亲
关系式法
速度时间图象
图象法
路
表格法
变量表达仔法
<
程时间图象
1.变量、自变疑.因变疑
1、在某一变化过程中,不断变化量叫做变量。
2、如果一种变量y随另一种变量x变化而变化,则把x叫做自变崑y叫做因变量。
3、自变量与因变量拟上:
(1)自变量是先发生变化量:
因变量是后发生变化量。
(2)自变量是积极发生变化量,因变量是随着自变量变化而发生变化量。
(3)运用品体情境来体会两者依存关系。
二、表格
1、表格是表达、反映数据一种重要形式,从中获取信息、研究不同量之间关系。
(1)一方而要明确表格中所列是哪两个量;
(2)分清哪一种量为自变量,哪一种量为因变量:
(3)结合实际情境理解它们之间关系。
2、绘制表格表达两个变量之间关系
(1)列表时一方而要拟左各行、各列栏目;
(2)普通有两行,第一行表达自变量,第二行表达因变戢:
(3)写岀栏目爼称,有时还依照问题内容写上单位;
(4)在第一行列岀自变量各个变化取值:
第二行相应列出因变疑各个变化取值。
(5)普通状况下,自变量取值从左到右应按由小到大顺序排列,这样便于反映因变量与自变量之间关系。
三、关系式
1、用关系式表达因变疑与自变量之间关系时,普通是用具有自变量(用字母表达)代数式表达因变疑
(也用字母表达),这样数学式子(等式)叫做关系式。
2、关系式写法不同于方程,必要将因变量单独写在等号左边。
3、求两个变量之间关系式途径:
(1)将自变呈和因变量看作两个未知数,依照题意列出关于未知数方程,并最后写成关系式形式。
(2)依照表格中所列数据写岀变量之间关系式:
(3)依照实际问题中基本数量关系写岀变量之间关系式;
(4)依照图象写出与之相应变量之间关系式。
4、关系式应用:
(1)运用关系式能依照任何一种自变量值求出相应因变量值:
(2)同样也可以依照任何一种因变虽值求出相应自变疑值:
(3)依照关系式求值实质就是解一元一次方程(求自变量值)或求代数式值(求因变量值)。
四、图象
1、图象是刻画变量之间关系又一重要办法,其特点是非常直观、形象。
2、图象能淸晰地反映岀因变量随自变量变化而变化状况。
3、用图象表达变戢之间关系时,通惯用水平方向数轴(又称横轴〉上点表达自变量,用竖直方向数轴
(又称纵轴)上点表达因变量。
4、图象上点:
(1)对于某个详细图象上点,过该点作横轴垂线,垂足数据即为该点自变量取值:
(2)过该点作纵轴垂线,垂足数据即为该点相应因变量值。
(3)由自变量值求相应因变量值时,可在横轴上找到表达自变量值点,过这个点作横轴垂线与图象交于某点,再过交点作纵轴垂线,纵轴上垂足所示数据即为因变量相应值。
(4)把以上作垂线过程过来可由因变量值求得相应自变量值。
5、图象理解
(1)理解图象上某一种点意义,一要看横轴、纵轴分别表达哪个变量:
(2)看该点所相应横轴、纵轴位置(数据);
(3)从图象上还可以得到随着自变疑变化,因变量变化趋势。
6、事物变化趋势描述
对事物变化趋势描述普通有两种:
(1)随着自变量x逐渐增长(大),因变星y逐渐增长(大)(或者用函数语言描述也可:
因变量y随着自变量x增长(大)而增长(大));
(2)随着自变量x逐渐增长(大),因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可:
因变量y随着自变疑x增长(大)而减小).
注意:
如果在整个过程中事物变化趋势不同样,可以采用分段描述•例如在什么范畴内随着自变量x逐渐
次(年)变化状况(平均每次变化量二(尾数一首数)/次数或相差年数)等等:
2.运用图象:
一方而依照若干个相应组值,作出相应图象,再在图象上找到相应点相应因变量y值;
用关系式:
一方面求出关系
然后直接代入求值即可.
增长(大),因变量y逐渐增长(大)等等.
5、预计(或者估算)
对事物预计(或者估算)有三种:
1•运用事物变化规律进行预计(或者估算)•例如:
自变量X每增长一泄呈,因变量y变化状况;平均每
2.S-t(更离与时问)
说明,线段"表示汽卒正在离开出发勉线段AB蠢示汽耳汽在停止了"X
ST®,
鋼段EC表示汽翠正在返回出发地I线段CD臭示汽车己经回到出发
地并停止了(S=6v=0).
注議理解平行于横轴的绒段的不同含义(左g段吋间内因变量不变)•
线段出表示汽车疋在懑行驶I线段印襄示汽车停止了(v^Q).
1谨屣3•运2下降速虜
1•穽化速度的It较
程相同旳吋间内因娈畳变痰旳tb肉哪一支图銀更陡一些・这支图尿代表的因变■变化会JE快一些.
优缺陷比较。
优点
缺点
备注
列表法
对于表中自变量每一种值可以不通过汁算,直接把因变量值找到,查询时很以便
只能列出某些自变呈与因变虽相应值,难以反映变量间变化全貌,并且从表中看不出变量间相应规律
普通自变疑表达在表格上方,因变量表达在表格下方
解析法
简要扼要,规范精确
有些变量之间关系很难或不能用关系式表达,求相应值也需要逐个计算,比较麻烦
普通自变量表达在式子右边,因变量表达在式子左边
图象法
形象直观,可以很形彖地反映事物变化全过程,变化趋势和某些性质(因变量增减性,点对称,最大值或最小值)等
图象是近似,局部,观测或由图象拟定因变量值往往是不精确
普通自变呈:
用水平方向数轴(横轴)上点来表达,因变量用竖直方向数轴(纵轴)上点来表达
五、速度图象
1、弄淸哪一条轴(普通是纵轴)表达速度,哪一条轴(普通是横轴)表达时间:
2、精确读•懂不同走向线所示意义:
(1)上升线:
从左向右呈上升状线,其代表速度增长;
(2)水平线:
与水平轴(横轴)平行线,其代表匀速行驶或静止;
(3)下降线:
从左向右呈下降状线,其代表速度减小。
六、路程图象
1、弄淸哪一条轴(普通是纵轴)表达路程,哪一条轴(普通是横轴)表达时间:
2、精确读•懂不同走向线所示意义:
(1)上升线:
从左向右呈上升状线,英代表匀速远离起点(或已知上点);
(2)水平线:
与水平轴(横轴)平行线,苴代表静止;
(3)下降线:
从左向右呈下降状线,其代表反向运动返回起点(或已知左点)。
七、三种变量之间关系表达办法与特点:
表达办法
特点
表格法
各种变量可以
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