全等三角形模型总结及经典练习题.docx
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全等三角形模型总结及经典练习题
全等三角形模型及习题练习
第一部分全等模型图
、平移模型
特征:
可看成是三角形在一边所在直线上移动构成的,故在同一直线
上的对应边的相等关系一般可由加(减)公共边证得,对应角的相等
关系可由平行线的性质证得。
特征:
平行线所形成的同位角、内错角相等三、折叠轴对称模型(翻转型,部分X型)
特征:
图形关于某一条直线对称,则这条直线两边的部分能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应点。
图①中有公共角/A;图②中
对顶角相等(/AOChBOD)图③④中分别有公共边AB,BD
四、旋转模型
i=>
旋转有重叠
两个等边三角形两个等腰两个正方形
直角三角形
五、角平分线模型
对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中
特征:
角平分线形成的两个角相等,若把角平分线看成一条公共边,在角的两边再截取相等的线段,就可根据SAS得到全等三角形(如图
①,△AiBDl^ACBD),或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等找到一组相等的边,就可根据HL得到全等三角形(如图②,△ABD2幻
△GBD2)
特征:
证明多数可以用到同(等)角的余角相等这个定理,相等的角
就是对应角
特征:
如图①,,三个等角指的是a(图②中,a=90°),利用外角定理
可证得/仁/2或/3二/4
第二部分精选例题
例1.如图,已知AB//CDAD//BCF在DC的延长线上,AM=CF,FM
交DA的延长线上于E交BC于N,求证:
AE=CN.
思路分析:
欲证AE=CN看它们在哪两个三角形中
设法证这两个三角形全等即可•结合图形可发现
△AMB^FCN可证.
题设告知AM=CF,ADBC,AB//CD.由两平行条件,
可找两对角相等.
•••/仁/2(对顶角相等)
•••/2二/E(等量代换)
二AE=CN全等三角形的对应边相等)
例2.△ABC中,/ACB90°,AC=BC过C的一条直线CE!
AE于E,BDLCE的延长线于D,求证:
AEfBDDE
思路分析:
从本例的结论知是求线段和的问题,
由此入手,很难找到突破口.此时可迅速调整思维
角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△
CBD子像(猜测)全等.那么AE=CI=C^DE又BD=CE那么,此时已水落石出.
AG=BC(已知)
J/仁/3(已证)
/AE(=ZCDB(已证)
•••△ACE^^CBD(AAS
•••BD=CEAE=CD(全等三角形的对应边相等)
vAE=CE=CE0E
•AE=BDDE(等量代换)
例3.如图,人。
是4ABC的中线,DEDF分别平分/ADB和/ADC
连接EF,求证:
EFvBE+CF.定对象:
△ABC
定角度:
三角形全等
分析:
由结论EFvBE+C很容易与定理
“三角形两边之和大于第三边”联系在一块,观察图形,BE,CF,EF
条件分散,不在一个三角形中,必须设法(平移,旋转,翻转等)把三者集中在一个三角形中,是打开本例思路的关键.由角的平分线这
一线索,可将△BDE沿角平分线翻转180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在DA上截取DB=BD),连结EB,B7F,此时△BDE与△BzDE完全重合,所以△BDE^ABzDE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=BE(全等三角形的对应边相等).
在厶EFB中,EF •EFvBE+CF等量代换). 例4如图,已知CDLAB于D.BELAC于E,△ABE^AACDZC=20°, AB=1QAD=4,G为AB延长线上一点.求ZEBG勺度数和CE的长. 定对象: 如图 定角度: 三角形全等 分析: (1)图中可分解出四组基本图形: 有公共角的Rt△ACD 和RtAABEAABE^AACDAABE勺外角ZEBG^ZABE勺邻补角ZEBG 例5已知: 如图,AABC^AADEBC的延长线交DA于F,交DE于G, / ZACB=1Q5,ZCAD=1Q°,ZD=25.求ZEACZDFBZDGB 的度数. 例6.在AABC中,ZC=9Q°,AC=BCAD是ZBAC的平分线,DEI AB,垂足为E,若AB=20cm,则ADBE的周长等于多少? 分析: 对象: ADBE的周长角度: (1)BDDEBE的长 解: 因为DEIAB所以AEDACD因为AD是/BAC的平分线,所 以EADCAD又因为AD为公共边所以VAEDVACD则AE=ACDE=DC 所以△DBE的周长二BE+DE+BD二AB-AE+BC=20 例7如图13—3—8所示,已知在厶ABC中,AD是/BAC的平分线, DEIAB于E,DF1AC于F.求证: EF丄AD. 分析: 对象: △ABC角度: (1)AD是/BAC的平分线, (2)DEIAB于E,DF丄AC于F 证明: 因为DEIAB于E,DF丄AC于F,所以AEDAFD900又因为AD是/BAC的平分线,所以EADFAD由于AD是公共边所以VAEDVAFD 贝卩AE=AF因为AD是/BAC的平分线所以EF丄AD 第三部分优选分层练习题 1.已知: 如图,AB=AC,DB=DC, 点,求证: BF=CF. 2.已知: 如图,AE=AC,DE=DC,F是AD延长线上一点,且B,F,C在一条 3.已知: 如图,AB=AC,DBDC,F是AD上的一点,求证: 点F到AB,AC的距离相等. 4.已知: 如图,ABAC,DBDC,F是DA延长线上的一点,求证: 点F到 AB,AC的距离相等. 5.已知: 如图,在厶ABC中,AD为/A的平分线,E为 BC的中点, 过E作EF//AD交AB于G,交CA的延长线于F,求证: BG=CF. 6.如图,已知,在厶ABC中,/A=2ZB,CD是/C的平,—分线.求证昨GAD— A7.已知BD=CEAD=AEZ仁/2, (1)说明/AB3/ACE的理由? (2)/D=ZE吗? 为什么? (1)、△ABC与△ADE的关系如何? (2)、求/BAD的度数 10.如图所示: BDLAB,EDLBDAB=CD,BC=DE^证: ACLCE 11.过ABC的顶点,A,在A内作任一射线,过B.C分别向此射线作 垂线BP,CQ,P.Q为垂足,设M为的BC中点,求证;MP=MQ 13.ABDACE,C和B是对应角,那末DC=() A.AEB.ADC.EBD.AE 14.已知;ABC,ADE都是等边三角形,求证: BD=CE 已知: 过ABC的顶点A作AFAB且AC=AB再作AHAC且AH=ACBF交AC于E,CF交AB于D,BH,CF相交于点0求证;BH=CF 16.已知: /\A ABC中,AB=AC在AC上取D点,又在AC的 D B F 延长线上取E点,是使CE二BD连DE交BC与G 求证: DG=GE 17.已知: 在ABC中,C90,BD平分ABC,BD=5,BC=4则点D 到AB的距离是() A.5B.4C.3D.2
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