届高三数学二轮复习冲刺提分作业第三篇多维特色练大题标准练中档解答题三文Word版含答案.docx
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届高三数学二轮复习冲刺提分作业第三篇多维特色练大题标准练中档解答题三文Word版含答案
中档解答题规范练(三)
时间:
50分钟
分值:
60分
1.已知数列{an}满足对任意的正整数n,均有an+1=5an-23n,且a1=8.
(1)证明:
数列{an-3n}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=
求数列{bn}的前n项和Tn.
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC=-3cosAcosB,tanAtanB=1-
c=
.
(1)求
的值;
(2)若
+
=1,求△ABC的周长与面积.
3.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(1)求证:
AB⊥平面ADC;
(2)若AD=1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为
求点B到平面ADE的距离.
4.某品牌2017款汽车即将上市,为了对这款汽车进行合理定价,某公司在某市五家4S店进行了两天试销售,得到如下数据:
4S店
甲
乙
丙
丁
戊
单位
x/万元
18.0
18.6
18.2
18.8
18.4
19.0
18.3
18.5
18.5
18.7
销量
y/辆
88
78
85
75
82
66
82
78
80
76
(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点,求出单价与销售的回归直线方程
=
x+
;
(2)在大量投入市场后,销量与单价仍服从
(1)中的关系,且该款汽车的成本为12万元/辆,为使该款汽车获得最大利润,则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?
附:
=
=
-
.
5.(二选一)
(Ⅰ)选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(α为参数,π≤α≤2π),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos
=
t.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数t的取值范围.
(Ⅱ)选修4—5:
不等式选讲
已知函数f(x)=2|x-a|-|x+2|(a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)当a=2时,函数f(x)的最小值为t,
+
=-t(m>0,n>0),求m+n的最小值.
答案全解全析
1.解析
(1)因为an+1=5an-2·3n,
所以an+1-3n+1=5an-2·3n-3n+1=5(an-3n),
又a1=8,所以a1-3=5≠0,
所以数列{an-3n}是首项为5,公比为5的等比数列.
所以an-3n=5n,所以an=3n+5n.
(2)由
(1)知,bn=
=
=1+
则数列{bn}的前n项和Tn=1+
+1+
+…+1+
=n+
=
+n-
.
2.解析
(1)由sinC=-3cosAcosB可得sin(A+B)=-3cosAcosB,
即sinAcosB+cosAsinB=-3cosAcosB,(※)
因为tanAtanB=1-
所以A,B≠
将(※)式两边同时除以cosAcosB,得到tanA+tanB=-3,
因为tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,tan(A+B)=
=
=-
所以tanC=
又0 . 根据正弦定理得 = = = = 故a= sinA,b= sinB, 故 = = . (2)由 (1)及余弦定理可得cos = 因为c= 所以a2+b2-10=ab,即(a+b)2-2ab-10=ab, 又由 + =1可得a+b=ab,故(ab)2-3ab-10=0,解得ab=5或ab=-2(舍去), 所以△ABC的周长为5+ △ABC的面积为 ×5×sin = . 3.解析 (1)证明: 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 又DC⊥BD,所以DC⊥平面ABD. 因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB. 又AD⊥AB,DC∩AD=D, 所以AB⊥平面ADC. (2)由 (1)知DC⊥平面ABD, 所以AC在平面ABD内的正投影为AD, 即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角. 依题意知tan∠CAD= = . 因为AD=1,所以DC= . 设AB=x(x>0),则BD= 易知△ABD∽△DCB,所以 = 即 = 解得x= 故AB= BD= BC=3. 由于AB⊥平面ADC,所以AB⊥AC,又E为BC的中点, 所以AE= = 又易求得DE= = 所以S△ADE= ×1× = . 因为DC⊥平面ABD,所以VA-BCD=VC-ABD= CD·S△ABD= . 设点B到平面ADE的距离为d, 则 d·S△ADE=VB-ADE=VA-BDE= VA-BCD= 所以d= 即点B到平面ADE的距离为 . 4.解析 (1)五家4S店的平均单价和平均销量分别为: (18.3,83),(18.5,80),(18.7,74),(18.4,80),(18.6,78), ∴ = =18.5, = =79, ∴ = = =-20. ∴ = - =79-(-20)×18.5=79+370=449, ∴ =-20x+449. (2)设该款汽车的单价应定为x万元,利润为f(x)万元. 则f(x)=(x-12)(-20x+449)=-20x2+689x-5388, 则f'(x)=-40x+689,令-40x+689=0,解得x≈17.2, 故当x≈17.2时,f(x)取得最大值. ∴要使该款汽车获得最大利润,该款汽车的单价约为17.2万元. 5.(Ⅰ)解析 (1)∵曲线C2的极坐标方程为ρ = t, ∴曲线C2的直角坐标方程为x+y-t=0. (2)曲线C1的普通方程为 (x-1)2+(y-1)2=1(0≤x≤2,0≤y≤1), 其图象如图所示, 当直线C2与曲线C1相切时,由 =1,解得t=2- 或t=2+ (舍去), 当直线C2过A,B两点时,t=1, 由图可知,2- (Ⅱ)解析 (1)解法一: 当a=1时,不等式为2|x-1|-|x+2|≥0. 当x≤-2时,2|x-1|-|x+2|≥0可化为2(1-x)+x+2≥0. 解得x≤4,则x≤-2; 当-2 解得x≤0,则-2 当x≥1时,2|x-1|-|x+2|≥0可化为2(x-1)-x-2≥0,解得x≥4,则x≥4. 综上,不等式f(x)≥0的解集为(-∞,0]∪[4,+∞). 解法二: 当a=1时,不等式2|x-1|-|x+2|≥0,即2|x-1|≥|x+2|,两边平方得3x2-12x≥0,解得x≤0或x≥4, 故不等式f(x)≥0的解集为(-∞,0]∪[4,+∞). (2)解法一: 当a=2时,f(x)=2|x-2|-|x+2|= 当x≤-2时,函数f(x)的最小值为8, 当-2 当x≥2时,函数f(x)的最小值为-4, 综上,可得函数f(x)的最小值t=f (2)=-4, 所以 + =4,即 + =1, 又m>0,n>0, 故m+n=(m+n) = + + + ≥ +2 = + 当且仅当m= n时取等号,所以m+n的最小值为 + . 解法二: 当a=2时,f(x)=2|x-2|-|x+2|= 画出函数f(x)的图象如图所示,由图象可得函数f(x)的最小值t=f (2)=-4,所以 + =4,即 + =1,又m>0,n>0,故m+n=(m+n) = + + + ≥ +2 = + 当且仅当m= n时取等号,所以m+n的最小值为 + .
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