勾股定理思维导图题型总结.docx
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勾股定理思维导图题型总结
(一)勾股定理
1:
勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”
我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”
要点诠释:
2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:
1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC中,C90,则ca2b2,bc2a2,
ac2b2)
(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边
(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
3:
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法
4S
S正方形EFGH
S正方形ABCD,
412ab
(b
a)2
2
c
,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
S41abc2
2
2
2abc
222222
大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2
方法三:
S梯形
2(ab)(ab),S梯形
2SADESABE
212ab
c
2,化简得证
b
a
4:
勾股数
222
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b2c2中,a,b,c为正
整数时,称a,b,c为一组勾股数
②记住常见勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41等
22③用含字母的代数式表示n组勾股数:
n21,2n,n21(n2,n为正整数);
222222
2n1,2n2n,2n2n1(n为正整数)mn,2mn,mn(mn,m,n为正整数)
5、注意:
(1)勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
(2)勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
的主要错误。
(4)推理格式:
3)勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯
∵△ABC为直角三角形
∴AC2+BC2=AB2.(或a2+b2=c2)
二)勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为:
a、b、c,且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释:
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:
(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:
c;
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 222 (定理中a,b,c及a2b2c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a, 222 b,c满足acb,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边)3: 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别: 勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系: 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4: 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 六、随堂练习 1.在RtABC中,C90,A、B、C的对边分别为a、b和c ⑴若a2,b4,则c=;斜边上的高为. ⑵若b3,c4,则a=.斜边上的高为. 2.正方形的边长为3,则此正方形的对角线的长为. 3.正方形的对角线的长为4,则此正方形的边长为. 4.有一个边长为dm50的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,求圆的直径至少 多长 8m处,求旗杆折断之前有多高? AO的 5.一旗杆离地面6m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部 6.如图,一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时 距离为2.5m,如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗? 勾股定理典型例题及专项训练专题一: 直接考查勾股定理 1. 已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。 已知: 如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。 求: 四边形ABCD的面积。 A 5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AB=c,AC=b,BC=a,CD=h。 11 22 求证: (1)a2b 1 3)以ab,h,c h为三边的三角形是直角三角形练习 2)BE平分∠ABC,交AC于E,求CE长 题二勾股定理的证明 如图,直线l上有三个正方形a,b,面积分别为5和11,则b的面积为 (A)4(B)6(C)16(D)55 专题三网格中的勾股定理 1、如图1,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是() 2、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EF都是正方形.证: △ABF≌△DAE 3、(2010年四川省眉山市)如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形 5、如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点称为格点,请以图中 的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形.所画的三角形是 直角三角形吗? 说明理由. 6、如图,每个小正方形的边长是1,在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形(要求顶点在交点处,其中至少有一个钝角三角形)专题四实际应用建模测长 1、如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC. 2、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级,则称为受台风影响. (1)该城市是否会受到这交台风的影响? 请说明理由. (2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 专题五梯子问题 1、如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 3、如图,有一个圆柱体,底面周长为20㎝,高AB为10㎝,在圆柱的下面A点处有一只蚂蚁,它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C点处,那它所行走的路程是多少? 4、如图,假如这是一个圆柱体的玻璃杯,蚂蚁从外部点A处爬到杯子的内壁到达高子的厚度不计) 5、如图,一只蚂蚁从一个棱长为1米,顶点B爬行,问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米? A 6、如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点,需要爬行的最短距离是多少 7、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m,A和B是台阶 上两个相对的顶点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少? 专题七折叠三角形 1、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求2、如图,小颍同学折叠一个直角三角形的纸片,使A与B重合折痕为DE,若已知AC=10cm,BC=6cm你,能求出CE的长吗? 专题八折叠四边形 折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10C求M, (1)CF的 (2)EC的长 在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按图所示方式折叠点B与点D重合,折痕为 EF,求 (1)DE的长; (2)EF的长。 3.矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿EF折叠 点C重合,折叠后在其一面着色(如图),则着色部分的面积 4、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C置上,已知AB=? 3,BC=7,重合部分△EBD的面积为 5、如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。 如果MCD边的中点,且DE=6,求正方形ABCD的面积 6、矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF,展开后再沿BG折叠,使A落在EF上的A1, E P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=23,PC=4, DG 2、如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的点,且∠EAF 222 试探究BE2、CF2、EF2间的关系,并说明理由. 3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。 4、如图所示,已知在ABC中,AB=AC,BAC=90,D是BC上任一点, 222求证: BD2CD22AD2。 6.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=45o,AC的垂直平分线分别交AB、BD等于() A.1? ? B.? C.? ? D. 7.已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+67,求这个三角形的面积. 8.如图RtABC,C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积 6.如图,△ABC中,AB=AC=2,0BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长. 7.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,满足PA=3,BPC的度数.
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