高三数学一轮复习12二次函数后附解析版.docx
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高三数学一轮复习12二次函数后附解析版
高三数学一轮复习12:
二次函数
1.若函数y=(x+4)2在某区间上是减函数,则这区间可以是( )
A.[-4,0] B.(-∞,0]C.(-∞,-5]D.(-∞,4]
2.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为( )
A.f(x)=-x2-x-1B.f(x)=-x2+x-1C.f(x)=x2-x-1D.f(x)=x2-x+1
3.已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则( )
A.y1 4.(2018·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b的图像过坐标原点,且满足f(-x)=f(-1+x),则函数f(x)在[-1,3]上的值域为( ) A.[0,12]B.[- ,12]C.[- ,12]D.[ ,12] 5.已知函数f(x)= 的定义域是实数集R,则实数m的取值范围是( ) A.(0,4)B.[0,4]C.(0,4]D.[0,4) 6.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5) 7.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( ) 8.(2018·山东济宁模拟)设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ) A.4B.2C.1D.3 9.(2018·郑州质检)若二次函数y=x2+ax+1对于一切x∈(0, ]恒有y≥0成立,则a的最小值是( ) A.0B.2C.- D.-3 10.若二次函数y=8x2-(m-1)x+m-7的值域为[0,+∞),则m=________. 11. (1)已知函数f(x)=4x2+kx-8在[-1,2]上具有单调性,则实数k的取值范围是________. (2)若函数y=x2+bx+2b-5(x<2)不是单调函数,则实数b的取值范围为________. 12.已知y=(cosx-a)2-1,当cosx=-1时,y取最大值,当cosx=a时,y取最小值,则a的范围是________. 13.函数f(x)=x2+2x,若f(x)>a在区间[1,3]上满足: ①恒有解,则a的取值范围为________; ②恒成立,则a的取值范围为________. 14.如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=________. 15.(2018·邯郸一中月考)已知函数f(x)=x2-6x+5,x∈[1,a],并且函数f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围是________. 16.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间. 17.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在 (1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求实数k的取值范围. 18.二次函数f(x)=ax2+bx+1,(a>0),设f(x)=x的两个实根为x1,x2. (1)如果b=2且|x2-x1|=2,求a的值; (2)如果x1<2 x0>-1. 1.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b的值为( ) A.-2B.3C.-3D.2 2.(2018·湖北黄冈中学模拟)若函数f(x)= (a,b,c,d∈R)的图像如图所示,则a∶b∶c∶d=( ) A.1∶6∶5∶8B.1∶6∶5∶(-8)C.1∶(-6)∶5∶8D.1∶(-6)∶5∶(-8) 3.已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为( ) A.[1, ]B.[- , ]C.(1, )D.(- , ) 4.已知函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+2的图像上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( ) A.[- ,+∞)B.[- ,0]C.[-2,0]D.[2,4] 5.“a=-1”是“函数f(x)=x2-2ax-1在区间[-1,+∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是________. 7.设函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b=________. 8.若函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,m]上的最小值是2,最大值是3,则实数m的取值范围是________. 9.已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12. (1)求f(x)的解析式; (2)设函数f(x)在[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式. 高三数学一轮复习12: 二次函数 1.若函数y=(x+4)2在某区间上是减函数,则这区间可以是( ) A.[-4,0] B.(-∞,0]C.(-∞,-5]D.(-∞,4] 答案 C 2.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为( ) A.f(x)=-x2-x-1B.f(x)=-x2+x-1C.f(x)=x2-x-1D.f(x)=x2-x+1 答案 D解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得 故 解得 则f(x)=x2-x+1.故选D. 3.已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则( ) A.y1 答案 A 4.(2018·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b的图像过坐标原点,且满足f(-x)=f(-1+x),则函数f(x)在[-1,3]上的值域为( ) A.[0,12]B.[- ,12]C.[- ,12]D.[ ,12] 答案 B解析 因为函数f(x)=x2+ax+b的图像过坐标原点,所以f(0)=0,所以b=0. 因为f(-x)=f(-1+x),所以函数f(x)的图像的对称轴为x=- , 所以a=1,所以f(x)=x2+x=(x+ )2- ,所以函数f(x)在[-1,- ]上为减函数, 在(- ,3]上为增函数,故当x=- 时,函数f(x)取得最小值- .又f(-1)=0,f(3)=12,故函数f(x)在[-1,3]上的值域为[- ,12],故选B. 5.已知函数f(x)= 的定义域是实数集R,则实数m的取值范围是( ) A.(0,4)B.[0,4]C.(0,4]D.[0,4) 答案 B解析 因为函数f(x)= 的定义域是实数集R,所以m≥0,当m=0时,函数f(x)=1,其定义域是实数集R;当m>0时,则Δ=m2-4m≤0,解得0 6.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5) 答案 C 解析 二次函数f(x)=-x2+4x的图像是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2时取得,而当x=5或-1时,f(x)=-5,结合图像可知m的取值范围是[-1,2]. 7.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( ) 答案D解析 若a>0,b<0,c<0,则对称轴x=- >0,函数f(x)的图像与y轴的交点(0,c)在x轴下方. 8.(2018·山东济宁模拟)设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ) A.4B.2C.1D.3 答案 D解析 由解析式可得f(-4)=16-4b+c=f(0)=c,解得b=4. f(-2)=4-8+c=-2,可求得c=2.∴f(x)= 又f(x)=x, 则当x≤0时,x2+4x+2=x,解得x1=-1,x2=-2.当x>0时,x=2,综上可知有三解. 9.(2018·郑州质检)若二次函数y=x2+ax+1对于一切x∈(0, ]恒有y≥0成立,则a的最小值是( ) A.0B.2C.- D.-3 答案 C解析 设g(x)=ax+x2+1,x∈(0, ],则g(x)≥0在x∈(0, ]上恒成立,即a≥-(x+ )在x∈(0, ]上恒成立.又h(x)=-(x+ )在x∈(0, ]上为单调递增函数,当x= 时,h(x)max=h( ),所以a≥-( +2)即可,解得a≥- . 10.若二次函数y=8x2-(m-1)x+m-7的值域为[0,+∞),则m=________. 答案 9或25解析 y=8(x- )2+m-7-8·( )2, ∵值域为[0,+∞),∴m-7-8·( )2=0,∴m=9或25. 11. (1)已知函数f(x)=4x2+kx-8在[-1,2]上具有单调性,则实数k的取值范围是________. 答案 (-∞,-16]∪[8,+∞) 解析 函数f(x)=4x2+kx-8的对称轴为x=- ,则- ≤-1或- ≥2,解得k≥8或k≤-16. (2)若函数y=x2+bx+2b-5(x<2)不是单调函数,则实数b的取值范围为________. 答案 (-4,+∞) 解析 函数y=x2+bx+2b-5的图像是开口向上,以x=- 为对称轴的抛物线,所以此函数在(-∞,- )上单调递减.若此函数在(-∞,2)上不是单调函数,只需- <2,解得b>-4.所以实数b的取值范围为(-4,+∞). 12.已知y=(cosx-a)2-1,当cosx=-1时,y取最大值,当cosx=a时,y取最小值,则a的范围是________. 答案 0≤a≤1解析 由题意知 ∴0≤a≤1. 13.函数f(x)=x2+2x,若f(x)>a在区间[1,3]上满足: ①恒有解,则a的取值范围为________; ②恒成立,则a的取值范围为________. 答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a在区间[1,3]上恒有解,等价于a<[f(x)]max,又f(x)=x2+2x且x∈[1,3],当x=3时,[f(x)]max=15,故a的取值范围为a<15.②f(x)>a在区间[1,3]上恒成立,等价于a<[f(x)]min,又f(x)=x2+2x且x∈[1,3],当x=1时,[f(x)]min=3,故a的取值范围为a<3. 14.如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=________. 答案 1解析 因为函数f(x)=x2-ax-a的图像为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)=-a,f (2)=4-3a,所以 或 解得a=1. 15.(2018·邯郸一中月考)已知函数f(x)=x2-6x+5,x∈[1,a],并且函数f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围是________. 答案 a≥5解析 ∵f(x)的对称轴为x=3,要使f(x)在[1,a]上最大值为f(a),由图像对称性知a≥5. 16.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间. 解析 (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增. ∴f(x)的最小值是f (2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. (3)当a=1时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6], 且f(x)= ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 17.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在 (1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求实数k的取值范围. 解析 (1)由题意知 解得 所以f(x)=x2+2x+1. 由f(x)=(x+1)2知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1]. (2)由题意知,x2+2x+1>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即k 令g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1], 由g(x)=(x+ )2+ ,知g(x)在区间[-3,-1]上是减函数.则g(x)min=g(-1)=1.所以k<1. 即k的取值范围是(-∞,1). 18.二次函数f(x)=ax2+bx+1,(a>0),设f(x)=x的两个实根为x1,x2. (1)如果b=2且|x2-x1|=2,求a的值; (2)如果x1<2 x0>-1. 解析 (1)当b=2时,f(x)=ax2+2x+1(a>0). 方程f(x)=x为ax2+x+1=0. |x2-x1|=2⇒(x2-x1)2=4⇒(x1+x2)2-4x1x2=4.由韦达定理,可知 x1+x2=- ,x1x2= . 代入上式,可得4a2+4a-1=0.解得a= ,a= (舍去). (2)证明: ∵ax2+(b-1)x+1=0(a>0)的两根满足x1<2 设g(x)=ax2+(b-1)x+1,∴ 即 ⇒ ∴2a-b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x=x0,∴x0=- >-1. 1.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b的值为( ) A.-2B.3C.-3D.2 答案 A解析 依题意,-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两根,所以 解得 所以a+2b的值为-2,故选A. 2.(2018·湖北黄冈中学模拟)若函数f(x)= (a,b,c,d∈R)的图像如图所示,则a∶b∶c∶d=( ) A.1∶6∶5∶8B.1∶6∶5∶(-8)C.1∶(-6)∶5∶8D.1∶(-6)∶5∶(-8) 答案 D解析 由图像可知,x≠1,5,所以ax2+bx+c=k(x-1)(x-5),所以a=k,b=-6k,c=5k,根据图像可得当x=3时,y=2,所以d=-8k,所以a∶b∶c∶d=1∶(-6)∶5∶(-8). 3.已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为( ) A.[1, ]B.[- , ]C.(1, )D.(- , ) 答案 A解析 因为函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以t≥1,所以当x∈[0,t+1]时,f(x)max=f(0),f(x)min=f(t).又对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2等价于f(x)max-f(x)min≤2,即f(0)-f(t)≤2,所以1-(t2-2t×t+1)≤2,所以t2≤2,又t≥1,所以1≤t≤ ,所以实数t的取值范围为[1, ]. 4.已知函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+2的图像上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( ) A.[- ,+∞)B.[- ,0]C.[-2,0]D.[2,4] 答案 C解析 若函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+2的图像上存在关于x轴对称的点,则方程a-x2=-(x+2),即a=x2-x-2在区间[1,2]上有解.令h(x)=x2-x-2,则h(x)的图像开口向上,且对称轴为x= ,又1≤x≤2,故当x=1时,h(x)取得最小值-2,当x=2时,h(x)取得最大值0,所以实数a的取值范围是[-2,0]. 5.“a=-1”是“函数f(x)=x2-2ax-1在区间[-1,+∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题,取决于对称轴的位置,若函数f(x)=x2-2ax-1在区间[-1,+∞)上为增函数,则有对称轴x=a≤-1,故“a=-1”是“函数f(x)=x2-2ax-1在区间[-1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件. 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是________. 答案 (-2,1)解析 ∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-x2+2x,作出f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2 7.设函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b=________. 答案 6 8.若函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,m]上的最小值是2,最大值是3,则实数m的取值范围是________. 答案 [1,2] 解析 ∵f(x)=(x-1)2+2≥2,∴x=1∈[0,m].∴m≥1.① ∵f(0)=3,而3是最大值.∴f(m)≤3⇒m2-2m+3≤3⇒0≤m≤2.② 由①②知: 1≤m≤2,故应填[1,2]. 9.已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12. (1)求f(x)的解析式; (2)设函数f(x)在[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式. 解析 (1)因为f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5), 所以可设f(x)=ax(x-5)(a>0). 所以f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a=12. 所以a=2. 所以f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). (2)由 (1)知f(x)=2x2-10x=2(x- )2- , 图像开口向上,对称轴为x= . ①当t+1≤ ,即t≤ 时, f(x)在[t,t+1]上单调递减, 所以g(t)=2(t+1)2-10(t+1)=2t2-6t-8. ②当t≥ 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以g(t)=2t2-10t. ③当t< 时,f(x)在对称轴处取得最小值,所以g(t)=f( )=- . 综上所述,g(t)=
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- 数学 一轮 复习 12 二次 函数 解析
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