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93解答
2014年5月sunpeichun的初中数学组卷
2014年5月sunpeichun的初中数学组卷
一.解答题(共12小题)
1.(2003•陕西)在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下﹣丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
正多边形边数
3
4
5
6
…
正多边形每个内角的度数
…
(2)如图,如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形;
(3)正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?
说明你的理由.
2.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个内角的度数
_________
_________
_________
_________
…
_________
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
(3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?
说明你的理由.
3.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌(密铺),A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的
.
(1)试分别确定A、B是什么正多边形?
(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌(密铺)的图形(画一种即可);
(3)判断你所画图形的对称性(直接写出结果).
4.
(1)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,则它是几边形?
(2)某学校想用地砖铺地,学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为
(1)中的所求值],如果单独用这种地砖能密铺吗?
(3)如果不能,请你自己只选用一种同
(2)边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗?
如果能,请你画出一片密铺的示意图.
5.如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种密铺图案.图中间的四边形是什么四边形,请说说你的理由.
6.某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面,第1次铺2块如图①;第2次把第1次铺的完全围起来,如图②,此时共使用木板12块;第3次把第2次铺的完全围起来,如图③:
(1)依此方法,第4次铺完后,共使用的木板数为 _________ .
(2)依此方法,第10次铺完后,共使用的木板数为 _________ .
(3)依此方法,第n次铺完后,共使用的木板数为 _________ .
7.小王购买了一套商品房,房屋地面结构如图所示,根据图中所测数据(单位:
m),解答下列问题:
(1)装修时小王准备将地面铺上某种地砖,则下列正多边形地砖中,不能选择的是 _________ .
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
(2)用含x、y的代数式表示地面总面积为 _________ .
(3)已知客厅面积比卫生间面积多21m2,且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1m2地砖的平均费用为80元,那么所有房间铺满地砖的总费用为多少元?
8.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的.
(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面?
(2)像上面那样铺地砖,能否全用正十边形的材料?
为什么?
(3)你能不能另外想出一种用多边形(不一定是正多边形)的材料铺地面的方案?
把你想到的方案画成草图.
9.小明家准备在客厅铺设地板砖.客厅地面是一个矩形,长6.3米,宽4.8米.装修工人提出两个建议,一是铺设80cm×80cm的地板砖,每块40元;二是铺设60cm×60cm的地板砖,每块25元.小明希望材料费少,又铺得整齐(即只用同一种规格的地板砖),你能帮他出个好主意吗(实际生活中地板砖只售整块)?
10.王老师正准备装修新买房屋的地面,到一家装修公司去看地砖,公司现有一批边长相等的正多边形瓷砖(如下图)供用户选择.
(1)若王老师考虑只用其中一种正多边形铺满地面,则供他选择的正多边形有哪些?
(2)若王老师考虑想从其中任取两种来组合,能铺满地面的正多边形组合有哪些?
(3)若王老师考虑从其中任取三种来组合,能铺满地面的正多边形组合有哪些?
(4)你能说出其中所蕴含的数学道理吗?
11.小红家购买了一套新房,准备用一种地板砖镶嵌新居地面,要求地板砖都是正多边形,且每块地板砖的各边长都相等,各个角也都相等、某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖,它们每个角的度数分别为60°、90°、108°、120°、135°,你认为这些地板砖哪些适用?
请说明你的理由.
12.某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面,可以选择的方案有许多种,请你为其设计.
(1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面,可以选择的有 _________ .(填序号)
①正方形②正五边形③正六边形④正八边形⑤任意三角形⑥任意四边形
(2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中,任意选取其中的两种,有几种可行的方案?
(3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中,任意选取其中三种,有几种可行的方案?
2014年5月sunpeichun的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共12小题)
1.(2003•陕西)在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下﹣丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
正多边形边数
3
4
5
6
…
正多边形每个内角的度数
…
(2)如图,如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形;
(3)正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?
说明你的理由.
考点:
平面镶嵌(密铺).菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
(1)利用正多边形一个内角=180﹣
求解;
(2)进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°,因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍;
(3)常见的两种正多边形的密铺组合有:
正三角形和正四边形能密铺,正六边形只能和正三角形密铺.所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,只能选择正四边形.
解答:
解:
(1)由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为:
60°,90°,108°,120°,…(n﹣2)•180°÷n;
(2)如限于用一种正多边形镶嵌,则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形;
(3)如:
正方形和正八边形(如图),设在一个顶点周围有m个正方形的角,n个正八边形的角,那么m,n应是方程m•90°+n•135°=360°的正整数解.即2m+3n=8的正整数解,只有m=1,n=2一组,∴符合条件的图形只有一种.
点评:
求正多边形一个内角度数,可先求出这个外角度数,让180减去即可.一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°;两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是:
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.
2.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个内角的度数
60°
90°
108°
120°
…
(180﹣
)°
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
(3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?
说明你的理由.
考点:
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专题:
规律型.
分析:
(1)利用正多边形一个内角=(180﹣
)°求解;
(2)进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°,因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍;
(3)常见的两种正多边形的密铺组合有:
正三角形和正四边形能密铺,正六边形只能和正三角形密铺.所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,只能选择正四边形.
解答:
解:
(1)由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形、…、正n边形的每一个内角为:
60°,90°,108°,120°,…180﹣
;
(2)如限于用一种正多边形镶嵌,则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形;
(3)如:
正方形和正八边形(如图),
设在一个顶点周围有m个正方形的角,n个正八边形的角,
那么m,n应是方程m•90°+n•135°=360°的正整数解.
即2m+3n=8的正整数解,只有m=1,n=2一组,
∴符合条件的图形只有一种.
点评:
本题考查了求正多边形一个内角度数,可先求出这个外角度数,让180减去即可.一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°;两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是:
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.
3.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌(密铺),A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的
.
(1)试分别确定A、B是什么正多边形?
(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌(密铺)的图形(画一种即可);
(3)判断你所画图形的对称性(直接写出结果).
考点:
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专题:
应用题.
分析:
(1)设B的内角为x,则A的内角为
x,从而根据密铺的特点可列出方程,解出即可.
(2)根据
(1)所求出的正多边形画出一种图形即可.
(3)根据轴对称的特点即可直接作出判断.
解答:
解:
(1)设B的内角为x,则A的内角为
x,
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌(密铺),
∴3x+2×
x=360°,
解得:
x=60°,
∴可确定A为正四边形,B为正三边形.
(2)所画图形如下:
(3)根据
(2)的图形及轴对称的定义可得所产生的密铺图形是轴对称图形.
点评:
本题考查了平面密铺的知识,属于中等难度的题目,解答本题的关键是根据密铺的特点及题意得出正多边形内角的度数.
4.
(1)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,则它是几边形?
(2)某学校想用地砖铺地,学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为
(1)中的所求值],如果单独用这种地砖能密铺吗?
(3)如果不能,请你自己只选用一种同
(2)边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗?
如果能,请你画出一片密铺的示意图.
考点:
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专题:
常规题型.
分析:
(1)根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.
(2)几何图形镶嵌成平面的关键是:
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.
(3)可选择正四边形进行画图.
解答:
解:
(1)设为n边形,由题意得:
(n﹣2)180°=3×360°,
∴n=8;
(2)正八边形的每个内角为:
180°﹣360°÷8=135°,不能整除360°,不能密铺;
(3)所画图形如下:
点评:
本题考查了平面密铺的及多边形内角与边长的关系,属于基础题,解答本题的关键是掌握正多边形边长与内角的关系及密铺需要满足的条件.
5.如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种密铺图案.图中间的四边形是什么四边形,请说说你的理由.
考点:
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专题:
常规题型.
分析:
根据图形的特点,观察图形即可得出图中间的四边形是正方形.
解答:
解:
由图形和平面镶嵌的知识可知图中间的四边形是正方形.
因为只有是正方形时,进行密铺,才能彼此之间不留空隙,不重叠地铺成一片.
点评:
本题考查了对正多边形的认识及组成平面镶嵌的条件,比较容易解答.
6.某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面,第1次铺2块如图①;第2次把第1次铺的完全围起来,如图②,此时共使用木板12块;第3次把第2次铺的完全围起来,如图③:
(1)依此方法,第4次铺完后,共使用的木板数为 56 .
(2)依此方法,第10次铺完后,共使用的木板数为 380 .
(3)依此方法,第n次铺完后,共使用的木板数为 4n2﹣2n .
考点:
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专题:
规律型.
分析:
(1)第一次铺完用1×2块,第二次铺完共用3×4块,第三次铺完后,共用5×6块,所以第4次铺完后,共使用的木板数为7×8块;
(2)第10次铺完后,共使用的木板数为19×20块;
(3)第n次铺完后,共使用的木板数为(2n﹣1)×2n块.
解答:
解:
(1)第4次铺完后,共使用的木板数为7×8=56;
(2)第10次铺完后,共使用的木板数为19×20=380;
(3)第n次铺完后,共使用的木板数为2n(2n﹣1)=4n2﹣2n.
点评:
解决本题的关键是得到共使用的木板数的变化规律.
7.小王购买了一套商品房,房屋地面结构如图所示,根据图中所测数据(单位:
m),解答下列问题:
(1)装修时小王准备将地面铺上某种地砖,则下列正多边形地砖中,不能选择的是 C .
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
(2)用含x、y的代数式表示地面总面积为 6x+2y+18 .
(3)已知客厅面积比卫生间面积多21m2,且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1m2地砖的平均费用为80元,那么所有房间铺满地砖的总费用为多少元?
考点:
二元一次方程组的应用;平面镶嵌(密铺).菁优网版权所有
分析:
(1)根据正多边形的性质直接得出答案;
(2)客厅面积为6x,卫生间面积2y,厨房面积为2×(6﹣3)=6,卧室面积为3×(2+2)=12,得出地面总面积即可;
(3)要求总费用需要求出x,y的值,求出面积.题中有两相等关系“客厅面积比卫生间面积多21”“地面总面积是卫生间面积的15倍”.用这两个相等关系列方程组可解得x,y的值,即可得出答案.
解答:
解:
(1)利用正多边形的性质得出:
下列正多边形地砖中,不能选择的是正五边形,
故选:
C;
(2)∵客厅面积为6x,卫生间面积2y,厨房面积为2×(6﹣3)=6,卧室面积为3×(2+2)=12,
所以地面总面积为:
6x+2y+18;
故答案为:
6x+2y+18;
(3)解:
由题意和图中数据可列方程组得
,
解得:
,
∴所有房间铺满地砖的总费用为:
80×(6×4+2×
+18)=3600(元).
点评:
此题主要考查了正多边形的性质和二元一次方程组的应用,关键是找到各个长方形的边长,用代数式表示面积.
8.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的.
(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面?
(2)像上面那样铺地砖,能否全用正十边形的材料?
为什么?
(3)你能不能另外想出一种用多边形(不一定是正多边形)的材料铺地面的方案?
把你想到的方案画成草图.
考点:
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专题:
方案型.
分析:
(1)用一种正多边形镶嵌,只有正三角形,正四边形,正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案;
(2)由
(1)可知不能;
(3)用一般凸多边形镶嵌,用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案.因为三角形内角和为180°,用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌,而四边形的内角和为360°,用4个同一种四边形就可以在同一顶点处镶嵌.
解答:
解:
(1)每个顶点周围有6个正三角形的内角,恰好组成一个周角;
(2)不能,因为正十边形的内角不能组成360°;
(3)能,如图所示:
点评:
判断一种或几种图形是否能够镶嵌,只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角.若能构成360°,则说明能够进行平面镶嵌;反之则不能.
9.小明家准备在客厅铺设地板砖.客厅地面是一个矩形,长6.3米,宽4.8米.装修工人提出两个建议,一是铺设80cm×80cm的地板砖,每块40元;二是铺设60cm×60cm的地板砖,每块25元.小明希望材料费少,又铺得整齐(即只用同一种规格的地板砖),你能帮他出个好主意吗(实际生活中地板砖只售整块)?
考点:
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分析:
根据矩形的面积公式易得客厅的总面积,除以不同规格的一块地板砖的面积,求得相应块数,进而求得材料费,比较即可.
解答:
解:
∵两种地板砖都能铺得整齐,比较材料费即可.
∴在矩形的长的一边用80×80规格的不到8块,但要取8块才铺得整齐,宽的一边刚好6块,
共8×6=48块,需要48×40=1920(元);
若用60×60规格的在长的一边要10块半,宽的一边要8块,
共10.5×8=84块,需要84×25=2100(元).
∴用80×80规格的好.
点评:
用到的知识点为:
正方形能组成平面镶嵌;关键是得到所求材料费的等量关系.
10.王老师正准备装修新买房屋的地面,到一家装修公司去看地砖,公司现有一批边长相等的正多边形瓷砖(如下图)供用户选择.
(1)若王老师考虑只用其中一种正多边形铺满地面,则供他选择的正多边形有哪些?
(2)若王老师考虑想从其中任取两种来组合,能铺满地面的正多边形组合有哪些?
(3)若王老师考虑从其中任取三种来组合,能铺满地面的正多边形组合有哪些?
(4)你能说出其中所蕴含的数学道理吗?
考点:
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分析:
(1)看哪个正多边形的一个内角的度数是360°的约数,就能镶嵌平面;
(2)求得正多边形相应的一个内角的度数,分别选取各种2种图形的组合,找到同一顶点处的若干个内角度数相加为360°的组合即可;
(3)求得正多边形相应的一个内角的度数,分别选取各种3种图形的组合,找到同一顶点处的若干个内角度数相加为360°的组合即可;
(4)蕴含的数学道理为:
能铺满地面的多边形在一个顶点处的角的和为360°.
解答:
解:
(1)正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°,是360°的约数,能镶嵌平面;
正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,是360°的约数,能镶嵌平面;
正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°,是360°的约数,能镶嵌平面;
正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°,不是360°的约数,不能镶嵌平面;
正十二边形的一个内角度数为180﹣360÷12=150°,不是360°的约数,不能镶嵌平面;
∴供他选择的正多边形有正三角形,正方形,正六边形;
(2)正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°,正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,3×60+2×90=360°,∴3个正三角形和2个正方形可进行密铺;
正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°,正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°,2×60+2×120=360°或4×60+120=360°,可作平面镶嵌;
正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°,正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°,任意若干个不能组成平面镶嵌;
正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°,正十二边形的一个内角的度数为180﹣360÷12=150°,2×150+60=360°,可作平面镶嵌;
正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°,任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌;
正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°,1×90+2×135=360°,可作平面镶嵌;
正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,正十二边形的一个内角的度数为180﹣360÷12=150°,任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌;
正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°,正十二边形的一个内角的度数为180﹣360÷12=150°,任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌;
正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°,正十二边形的一个内角的度数为180﹣360÷12=150°,任意若干个两种图形都不能组成平面镶嵌;
从其中任取两种来组合,能铺满地面的正多边形组合有正三角形和正方形;正三角形和正六边形;正三角形和正十二边形;正方形和正八边形;
(3)正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°,正十二边形的一个内角的度数为180﹣360÷12=150°,那么一个正方形,一个正六边形,一个正十二边形可组成平面镶嵌;
正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°,正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,正十二边形的一个内角的度数为180﹣360÷12=150°,那么2个正三角形,一个正方形,1个正十二边形可组成平面镶嵌;
正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°,正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°,正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°,那么1个正三角形,2个正方形,1个正六边形可组成平面镶嵌;
∴从其中任取三种来组合,能铺满地面的正多边形组合有:
正三角形,正方形,正十二边形,或正方形,正六边形,正十二边形或正三角形,正方形,正六边形.
(4)能铺满
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