最新习题解答习题92常数项级数收敛性的判定.docx
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最新习题解答习题92常数项级数收敛性的判定
(习题解答)习题9-2常数项级数收敛性的判定
习题9-2
1.判断下列级数的敛散性.
(1)
;
(2)
;(3)
;
(4)
;(5)
; (6)
(
).
解:
(1)
;
方法一:
(利用正项级数的比较判别法)
因为
,而调和级数
发散,从而
也发散;由正项级数的比较判别法,得级数
发散。
方法二:
(利用正项级数的比较判别法的极限形式)
因为
,而调和级数
发散,
则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
发散。
(2)
;
方法一:
(利用正项级数的比较判别法)
因为
,而级数
收敛(
级数的结论);
由正项级数的比较判别法,得级数
收敛。
方法二:
(利用正项级数的比较判别法的极限形式)
因为
,而级数
收敛(
级数的结论),
则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
收敛。
(3)
;
方法一:
(利用正项级数的比较判别法)
因为
(
),且调和级数
发散;
则由正项级数的比较判别法,得级数
发散。
方法二:
(利用正项级数的比较判别法的极限形式)
因为
,而
,
所以
,即
,又调和级数
发散,
则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
发散。
(4)
;
方法一:
(利用正项级数的比较判别法)
因为
,而级数
收敛(
级数的结论),
由正项级数的比较判别法,得级数
收敛。
方法二:
(利用正项级数的比较判别法的极限形式)
因为
,而级数
收敛(
级数的结论),
则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
收敛。
(5)
;
因为
,而调和级数
发散,
则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
发散。
注:
本题中,级数的一般项要进行适当的缩小不易,所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些,而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
(6)
(
).
当
时,
,则由级数收敛的必要条件,得级数
(
)发散;
当
时,
,则由级数收敛的必要条件,得级数
(
)发散;
当
时,
,且级数
是公比为
(
)的等比级数,是收敛的,则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
收敛。
综上,当
时,级数
发散;当
时,级数
收敛。
2.判断下列级数的敛散性.
(1)
;
(2)
;(3)
(
);
(4)
;(5)
;(6)
;
(7)
;(8)
;(9)
;
(10)
;(11)
(其中
,
均为正数).
解:
(1)
;
方法一:
(利用正项级数的比较判别法)
因为
,且
收敛,
由正项级数的比较判别法,得级数
收敛。
方法二:
(利用正项级数的比较判别法的极限形式)
因为
,且级数
收敛,
由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
收敛。
(2)
;
方法一:
(利用正项级数的比较判别法的极限形式)
因为
,且等比级数
收敛,
由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
收敛。
方法二:
(利用正项级数的比值判别法)
因为
,
由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(3)
(
);
因为
(
),
而
,
利用
级数
收敛性的结论,得
当
即
时级数
是发散的;当
即
时级数
是收敛的;
由正项级数的比较判别法的极限形式,得当
时级数
发散;当
时级数
收敛。
(4)
;
因为
,且级数
收敛,
由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
收敛。
注:
本题不能用正项级数的比值判别法。
(5)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
发散。
(6)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(7)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(8)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(9)
;
因为
,
则由正项级数的根值判别法,得级数
收敛。
(10)
;
因为
,
则由正项级数的根值判别法,得级数
收敛。
(11)
;
因为
,
由正项级数的根值判别法,当
即
时级数
收敛;当
即
时级数
发散;当
即
时,级数
可能收敛也可能发散。
3.判断下列级数的敛散性.
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;
(5)
;(6)
;(7)
;(8)
;
(9)
.
解:
(1)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(2)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(3)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(4)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(5)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(6)
;
因为
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
(7)
;
因为
,而调和级数
发散,
则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
发散。
(8)
;
因为
,
所以
,而调和级数
发散,
则由正项级数的比较判别法的极限形式,得级数
发散。
(9)
;
因为
,
此时由正项级数的比值判别法不能得到级数
的敛散性。
但是由于数列
是单调递增的,且
,所以
,
从而
,即
,从而
,
此时,利用收敛级数的必要条件,可知级数
是发散的。
4.判断下列级数是否收敛?
若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;
(5)
;(6)
;(7)
.
解:
(1)
;
因为
发散(
级数的结论),所以级数
不绝对收敛;
对交错级数
,由于
,且
,则由莱布尼兹定理,得交错级数
收敛;从而级数
条件收敛。
(2)
;
因为
,而
,且调和级数
发散,则由正项级数的比较判别法,得级数
发散,即级数
不绝对收敛;
对交错级数
,由于
,且
,则由莱布尼兹定理,得交错级数
收敛;从而级数
条件收敛。
(3)
;
对级数
,因为
,且级数
收敛(
级数的结论),则由正项级数的比较判别法,得级数
收敛,即级数
绝对收敛。
(4)
;
因为
,而
,
则由正项级数的根值判别法,得级数
收敛,
即级数
绝对收敛。
(5)
;
因为
,而
,且
发散(
级数的结论),
则由正项级数的比较判别法,得级数
发散,所以级数
不绝对收敛;
对交错级数
,令
,则
,从而当
时
,即当
时
单调递减;故
,又
(因为
,所以
),
则由莱布尼兹定理,得交错级数
收敛,从而
也收敛。
故级数
条件收敛。
(6)
;
因为
,而
,则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛,即级数
绝对收敛。
(7)
;
因为
,而
,又
,
所以
,即
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
发散,
此时
,也即
,故级数
发散。
5.利用级数收敛的必要条件求极限:
.
解:
对级数
,由于
,
则由正项级数的比值判别法,得级数
收敛。
由级数收敛的必要条件,得
。
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