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随机变量的分布及数字特征
第二章随机变量及其数字特征
一、教学要求
1.理解随机变量的概念,掌握离散型和连续型随机变量的描述方法,理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质;
2.理解分布函数的概念和性质,会利用概率分布计算有关事件的概率;
3.会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征;
4.熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解;
5.应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。
二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质,常见的几种分布,随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算;难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。
§随机变量及其分布
一、随机变量
1.引入随机变量的必要性
1)在随机现象中,有很大一部分问题与数值发生关系。
如:
产品检验问题中,抽样中出现
的废品数;在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数;在电讯中,某段时间的话务量等等。
2)有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述。
如:
掷硬币问题中,记出现正面时为“1”,出现反面时为“0”。
注:
这些例子中,试验的结果能用一个数字X来表示,这个数X是随着试验的结果的不同
而变化的,也即它是样本点的一个函数,这种量以后称为随机变量。
2.引例
先看一个具体的例子:
例1袋中有3只黑球,2只白球,从中任意取出3只球,观察取出的3只球中的黑球的个数.
我们将3只黑球分别记作
1,
2,
3号,
2只白球分别记作4,5号,则该试验的样本空间为
1,
2,
3
1,
2,
4
1,
2,
5
1,
3,
4
1,
3,
5
1,
4,
5
2,
3,
4
2,
3,
5
2,
4,
5
3,4,5
我们记取出的黑球数为X,则X的可能取值为1,2,3•因此,X是一个变量.
但是,X取什么值依赖于试验结果,即X的取值带有随机性,所以,我们称X为随机变量.
X的取值情况可由下表给出:
样本点
黑球数X
样本点
黑球数X
1,2,3
3
1,4,5
1
1,2,4
2
2,3,4
2
1,2,5
2
2,3,5
2
1,34
2
2,4,5
1
1,3,5
2
3,4,5
1
由上表可以看出,该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值,因此
变量X是样本空间上的函数:
XX
我们定义了随机变量后,就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件•例如
:
X2X2表示取出2个黑球这一事件;
X2表示至少取出2个黑球这一事件,等等.
3.定义
1)描述性定义:
定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示;
随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。
2)严格定义:
设(,,P)为一概率空间,XX(),是定义在上的实值函数,
若对任一实数x,{:
X()x},则称X为随机变量。
4.随机变量的例子
例2上午8:
00〜9:
00在某路口观察,令:
Y:
该时间间隔内通过的汽车数.
则Y就是一个随机变量.它的取值为0,1,
Y100表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件;
50Y100表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件
例3观察某生物的寿命(单位:
小时),令:
Z:
该生物的寿命.
则Z就是一个随机变量.它的取值为所有非负实
数.Z1500表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件.
二、分布函数及其性质
1.分布函数的概念
定义设(,,P)为一概率空间,X为定义在其上的随机变量,对任意实数x,称
F(x)P(Xx)为随机变量X的分布函数,且称X服从F(x),记为X~F(x).有时也可用FX(x)表明是X的分布函数.
2.例子
例4向半径为
r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数F(x),并求
p(X>3r).
解事件“X
x”表示所抛之点落在半径为x(0xr)的圆内,故由几何概率知
F(x)P(X
x2x22r2r25
x)2()-从而P(X>)=1-P(X)=1-()
rr3339
3.分布函数的性质
定理:
任一分布函数F(x)都有如下三条基本性质
(1)单调性:
F(x)是定义在整个实数轴(,)上的单调非减函数,即对任意的x,x2,
有F(x,)F(X2);
(2)规范性:
F()=limF(x)0;
x
F()=limF(x)1。
x
(3)右连续性:
F(x)是x的右连续函数,即对任意的x0,有
limF(x)F(x。
),
xxo
即F(xo0)F(Xo)。
证明略。
注
(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。
(2)有了分布函数的定义,可以计算:
P(aXb)F(b)F(a),P(Xa)F(a)F(a),
P(Xb)1F(b)等。
三、离散随机变量及其分布列
1.离散型随机变量的概念
若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则称这个随机变量为离散
型随机变量。
讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性,要知道离散型随机变量X的统计规律必须
且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。
2.分布列设X是一个离散随机变量,如果X的所有可能取值是x1,x2,LxnL,则称X取xi
的概率
PiP(x)P(XXi),i1,2丄n,L
为X的概率分布列或简称为分布列,记为X~pi
分布列也可用下列形式表示:
Xx2LxnL
①2n或
p(Xi)p(X2)Lp(Xn)L
X
X1
X2
K
P
P1
P2
K
3.分布列的基本性质
(1)非负性:
p(Xi)0,i1,2丄;
⑵正则性:
p(Xi)1.
i1
注1)离散随机变量的分布函数为:
F(x)p(Xi)。
XX
2)设离散型随机变量X的分布函数为FX,Xk为其间断点,k=1,2,…,贝叹
的分布律为pkPXXkFXkFXk0,k1,2,L
4.例子
例5设离散随机变量X的分布列为
123
0.250.50.25'
试求P(X0.5),P(1.5X2.5),并写出X的分布函数。
解略。
例6从1〜10这10个数字中随机取出5个数字,令:
X:
取出的5个数字中的最大值.试求X的分布列.
解:
X的取值为5,6,7,8,9,10.并且
C4
PXkFk5,6,L,10
C10
具体写出,即可得X的分布列:
X
5
6
7
8
9
10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
252
252
252
252
例7设随机变量X的分布列为
n12,L,试求常数c.
解:
由分布列的性质,得
n
,所以c
1
1PXnc-
n1n14
四、连续随机变量及其密度函数
1.连续型随机变量的概念
定义设随机变量X的分布函数为
F(x),如果存在实数轴上的一个非负可积函数
P(x),使
得对任意x,有
x
F(x)p(t)dt,
则称X为连续随机变量,称
p(x)为X的概率密度函数,简称为密度函数。
2.密度函数的基本性质
(1)非负性:
p(x)0;
(2)正则性:
p(x)dx1;
反过来,若已知一个函数
p(x)满足上述性质
(1)和
(2),则p(x)
定是某连续型随机变量
X的概率密度函数.另外,对连续型随机变量X的分布,还具有如下性质:
b
(1)a,bR,(ab),P(aXb)F(b)F(a)p(x)dx。
a
更一般的,对一般的区间B,有
P(XB)p(x)dx.
B
(2)连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续的,但反之不真;
(3)连续型随机变量X取任一确定值的概率为0;即对于任意实数c,P(Xc)0;
c
事实上,h0,0P(Xc)P(chXc)p(x)dx.
chL
c
令h0,p(x)dx0,即得P(X=c)=0。
ch
注:
因为连续型随机变量取任一确定值是可能的,所以,概率为零的事件未必是不可能事件;
概率为1的事件也不一定是必然事件。
⑷若P(x)在X。
处连续,则有F(x)
Xx0
p(x))
3•例子
Kx2
例8设X~p(x)
Kx
2x
其它
2
3,求:
(1)
常数K⑵X的分布函数;(3)P(1
xf).
解
(1)由性质
p(x)dx
1,得0
2Kx2dx
3
Kxdx
2
1。
解之得K
6
31
x2
X~p(x)
2
其它
(2)X的分布函数为
0
鳥t2dt
F(x)2
。
备t2dt
1
x
231tdt
F(x)
0
23
lix
2
1x
1
4
31
5
⑶P(1X2)
f
(2)
F
(1)
3
31
(2)2
4
31
—13
31
83
124
5
;P(x)dx
§随机变量的数字特征
概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律,但是:
(1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出;
(2)在实际问题中,有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征,而不是随机变量全面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳定性的离散度等;
(3)对很多重要分布,只要知道它的某些数字特征,就可以完全确定其概率分布。
数字特征通常是指与随机变量有关的,虽然不能完整地刻划随机变量,但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。
解:
假设做了n次游戏,m—得1元次数,
n2—得2元次数,匕一得4元次数,
一、随机变量的数学期望
1•引例
某人参加一个掷骰子游戏,规则如下:
掷得点数
1点
2,3点
4,5,6点
获得(元)
1
2
4
求:
一次游戏平均得多少钱?
则n1
n2
n3n,获得:
1n1
2n2
4
n3。
每次平均得
1n1
2
n24n3〔n1
2匹
4
匹
当n很大时,
12
6
2.离散型随机变量的数学期望
1)定义
设离散随机变量X的分布列为
1P!
2P24P31
317
6百
Pi
P(Xi)
P(X
Xi),i1,2,Ln,L
如果
|Xi|p(Xi)
则称
E(X)
XP(Xi)
i1
为随机变量x的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值。
若级数iXiimxj
i1
不收敛,则称X的数学期望不存在。
X取值顺序无关。
注:
离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定,其与2)例子
服从几何分布,P(E=k)=
(1-P)k-1P,(k=1,2,L),求E.
解:
k(1
P)
Pk(1
k1
\k1
P)
由于
kxk
k(1
k1
、k
P)
1
~~2,
P
例10
设X取xk(
1)
k2k
k
1
(k=1,2,…)对应的概率为pXk牙,证明E(X)不存在。
证明
Pxk
1
2k
XkPx<
2k
k
1
k,71。
但级数
所以E(X)不存在,但级数
XkPxk
(1)k
k1k1
1k2k
2k
(1)k
1k
In2(交错级数满足Leibniz条件)(收敛)
要注意数学期望的条件:
“绝对收敛”。
2.连续型随机变量的数学期望
1)定义
设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果
|x|p(x)dx,
则称E(X)xp(x)dx
为X的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值。
若|x|p(x)dx不收敛,
则称X的数学期望不存在。
2)例子
1
例11设随机变量X服从p(x)(-g 此分布称为 (1x2) Cauchy分布。 ”|x|x12 解xf(x)dx—dx2dx—In(1x2)|°, (1x2)0(1x2) 即xf(x)dx不绝对收敛,因此数学期望E(X)不存在。 设X服从区间(a,b)上的均匀分布,求E(X)。 例12设随机变量X的密度函数为: 求数学期望EX> 解: 例13设X为仅取非负整数的离散型随机变量,若其数学期望存在,证明: E(X)P(Xk). k1 证明: 由于E(X)kP(Xk).而 k1 P(X k) P(Xj) k1 k1jk P(X 1)P(X 2)P(X3) P(X 2)P(X3) P(X3) kP(Xk)E(X). k1 例14设连续型随机变量X的分布函数为F(x),且数学期望存在,证明 E(X)0[1 F(x)]dx F(x)dx. 证明: E(X) xdF(x) 0 xdF(x) 0xdF(x) 0 xdF(x)oxd(1 0 xF(x)| F(x)dx: x(1F(x))|0 0(1F(x))dx. 由均值存在得 |x|dF(x) 于是有 0AF(A) A |x|dF(x) 0(当A ) 0B(1F(B)) >B|x|dF(x)0(当B ). 以此代入EX的计算式即得E(X)[1 0 0 F(x)]dx F(x)dx. 0 F(x)) 二、随机变量函数的分布及数学期望 1.随机变量函数的分布 1)离散型随机变量函数的分布列设X一个随机变量,分布列为 X~P(XXk)Pk,k=1,2, …)时,随机变量Y有如下分布列: 则当Y=g(X)的所有取值为yj(j=1,2, P(Yyj)qj,j=1,2, 其中qj是所有满足g(Xi)yj的Xi对应的 X的概率P(X x) Pi的和,即 P(YYj)P(XXi) g(Xi)yj 试求随机变量 2 (X3)1的分布列。 P(Y X 1 3 5 7 P 例15设离散型随机变量X有如下分布列, 解Y的所有可能取值为1,5,17 1)P((X 3)2 1)P(X3)0.1, 5)P(X1)P(X5) 0.5 0.150.65, P(Y17)P((X3)2 故Y的分布列为 117) P(X7) Y 1 5 17 P(Y 5)P((X 1 0.25。 3)2 P 2)连续型随机变量函数的分布 (1)一般方法 设连续型随机变量X的概率密度函数为pX(x),(- 函数,则Y的分布函数为 Fv(y)P(Yy)P(g(X)y) g(x) p(x)dx。 y 从而Y的概率密度函数PY(y)为 g(y) dFy(y) dy 例16设随机变量X~pX(x) 2x, 0, 和宀x1,求Y=3X+5的概率密度。 其它 解先求Y=3X+5的分布函数 FY(y)。 FyW) P(Y y) P(3X y) y5 3Px(x)dx 0, 9(y 1, 5)2, 5, y8, 8. Y的概率密度函数为 p/(y) 辭(y) i(y 5), y8, 例17 设XU(-1,1), Pxx 0, X2 其它. 的分布函数与概率密度。 g(x) x2 其它 P(Yy) 2 P(X y) x2 Pxx y dx 当y 当Owy<1时FY(y) PY(y)FY'(y) (2)公式法 其它 般地,若X~pX(x),yg(x)是严格单调可导函数,则 Yg(X)~PY(y)Px[h(y)]|h(y)| 其中h(y)为y=g(x)的反函数。 注: 1、只有当g(x)是x的单调可导函数时,才可用以上公式推求2、注意定义域的选择。 例18设X〜U0,1),求Y=aX+b的概率密度。 (a^0) 解Y=ax+b关于x严格单调,反函数为h(y)—_-, a ,yb1 故PY(y)Px[h(y)]|h(y)|px(),而 aa Y的密度函数; px(x) 0x1 其它,所以 PY(y) 0其它 补充定理: 若g(x)在不相叠的区间h,l2丄上逐段严格单调,其反函数分别为h1(y),h2(y)丄均为连续函数,那么Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为 Py(y)Px(hi(y))h(y)Px(b(y))h2(y)L 例19若X~N(0,1),计算丫X2的密度函数。 解: y g(x)x2分段单调,在(,0)中反函数xh(y).y,而在[0,)中反函数 为xh2(y)y.故丫的密度函数为 4(y) _.1_111X (闪)丨1g/7)|^=1y2e2,yo. s(y) 0,y0. 即丫~ 2 (1)。 2.随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X的期望,而是X的某个函数g(X)的 期望.那么应该如何计算呢? 定理设Yg(X)(g为连续函数) ⑴设X为离散型随机变量,其分布律为 P{XXk}Pk,(k1,2,3丄) 若级数g(xk)pk绝对收敛,则g(X)的数学期望为E(Y)E(g(X))g(xk)pk。 k1k1 ⑵设X为连续型随机变量,其概率密度为p(x),若g(x)p(x)dx绝对收敛,则g(X)的 数学期望为E(Y)E(g(X))g(x)p(x)dx 注: 该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布,而只需知道 X的分布就可以了。 这给求随机变量函数的期望带来很大方便。 例20设随机变量X~B(n,p),Ye2X,求E(Y). 解X~B(n,p),分布列为P(Xk)C: pkqnk,k0,1,2,Ln 2x E(Y)E(e) n 2kkknk eCnpq n Ck Cn 0 2kn (pe)q k2n (peq). k0 k 其中p+q=1 例21设随机变量 X的概率密度为 p(x) xe x2 x0 rr, 求E(1/X)。 0 其它 解: E (1) 1 p(x)dx0 x0 1xe x 2 xdx 2 exdx 0 匸 2. 三、数学期望的性质 性质1.若C是常数,则E(C)=C. 性质2.对任意的常数a,E(aX)=aE(X). 性质3.对任意的两个函数g1(x),g2(x),有 E©(X)g2(X))E©(X))Ea(X))。 四、随机变量的方差与标准差 1.方差与标准差的定义 1)引例 甲乙两部机床生产同一种机轴,轴的直径为10mm公差为0.2mm,即直径在9.8mm到 10.2mm的为合格品,超出范围的均为废品。 现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进 行测试,机轴的直径的测试尺寸如下: (mm) 甲 乙 易知,甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm,但两组的质量显然差异很大,甲组全 为合格品,乙组全为废品。 这里光看均值无差别,质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。 甲组离散程度小,质量较稳定,乙组的离散程度大,质量不稳定。 为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度,可用|X-EX|的均值来表示,称为X的绝对离差,记作E|X-EX|,这在实际统计中有一定的作用。 但由于绝对值得均值不易计算,常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。 2)定义若随机变量E{[XE(X)]2}的数学期望存在,贝U称E{[XEX]2}为随机变 量X的方差,记为D(X)或Var(X) (XiE(X))2p(x),在离散场合;D(X)Var(X)E(XEX)2i1 (xE(X))2p(x)dx,在连续场合 称方差的正平方根...D冈为x的标准差,记为(x)或X。 注: 在实际计算中,通常使用如下公式 D(X) 2 E(X) EX22XE(X) 2 E(X) E(X2) E(X2) 2 E(X)E(X) 2 E(X). 2E(X) 3) 例22 例子 已知随机变量X的分布列如下,求 QX! 。 -2-1 例23设随机变量X~p(x) 1x0,求QX! 。 0x1 解数学期望E(X)=7/8, E(X2) (2)2 -6( 1)2 02 A12 —22 _8 16 16 16 16 16 2 2 5 72 16049 111 D(X) E(X) (EX) (: ) o 2 8 64 64 3/16 2/16 8/16 1/162/16 5 2, 01 解E(X)/(1x)dxox(1x)dx0, 02121 E(X2)/2(1x)dxQx2(1x)dx 221 D(X)E(X2)(EX)2。 2.方差的基本性质 性质1D(c)0,其中c为常数; 性质2D(aXb)a2D(X),a,b是常数。 性质3(方差最小性)X为随机变量,方差存在,则对任意不等于EX的常数C,都有 D(X)E(XEX)2 E(X C)2. 证明由数学期望的性质,有 E(XC)2E[(X EX) (EXC)]2 E[(X EX)2 2(EXC)(XEX) (EXC)2] E(X
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