第3章有限变形讲解.docx
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第3章有限变形讲解
第3章有限变形
§3.1有限变形
这时说的变形,除连续性条件外,没有其余任何条件。
小变形:
小位移,小转动,小应变,
1(、■'ij^2(Ui,j—Uj,i丿
1
有限变形:
大位移,大转动,大应变
对于一个微小六面体:
小变形下变为一个平行六面体
有限变形下仍变为一个平行六面体
这一条件不变
变形几何学方面来研究变形
四个问题:
1)记录
2)什么办法来描述
3)怎么度量
4)有没有办法将变形分解
§3.2物体的构形和坐标系
物体:
连续介质,变形前用K0代表,变形后物体用Kt代表
kt
现时构形
K0:
物体,物质点的集合,被始构形(materialconfiguration);
Kt:
变形后的物体,现时构形(spatialconfiguration),
P:
物质点
p:
空间点,物质点在空间所占的位置。
初始坐标系O-X]X口X皿
现时坐标系0_治乂2乂3
构形:
每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。
t=0瞬时,初始构形Ko
Ko:
初始构形,X点的坐标(Xk)
Kt:
现时构形,(瞬时t的构形),x点的坐标(XQ
全部采用直角坐标系
§3.3描写物体运动和变形的方法
1.Lagrange描述法
用物质坐标Xk作自变量(描述物体的运动和变形)
x=x(X,t)兀=兀以")
研究物质点在不同时刻所对应的空间点(着眼点:
跟踪物质点运动状况)
2.Euler描述法
用空间坐标Xk作自变量(描述物体的运动和变形)
X二X(X,t)Xk二XK(Xk,t)
研究空间点X处对不同时刻流径这一空间的物质点(着眼点:
跟踪在一个空间点上,不同时
刻对应的物质点)
(前者跟踪同一个人,不同晚上睡不同的床位,后者跟踪同一张床,不同晚上由不同的人
去睡)Xw
位移点:
U
u=d,x-X(其中d不随时间而变,X也与t无关)速度和加速度:
分两种表述方法1)Lagrange法
u_次(X「t)
2)Euler法:
(研究流体的流动等)
v二v(xk,t)——流场
d/丄、cv(xk,t)eV臥
:
xk一:
t
一dt从山十瓦专
物质导数=局部导数+迁移导数
§3.4变形梯度
有限变形:
记录(构形)
L,度量(本节研究)
E
q
Kt
Xi
变形前dx(方向、长度)
变形后dx(方向、长度)
物体的有限变形的研究,离不开一点的领域,或取一个线元。
变形前线元:
PG=dX=dXKEK
变形后线元:
pq=dx二dxKek
dX>dx经历了一个长度的变化和方向的变化(它们的量都可能是很大的)
1)Lagrange法:
物质坐标XK自变量
p点:
Xk=Xk(XK,t)
q点:
Xk%二Xk(XKdXK,t)
求dx:
"亍dXK表示dx和dX的关系(可见未的重要性
乂称为物质变形梯度张量F(称为“物质”的理由是物质坐标下的)
Xk
%简写
X
dx=FdXdXk二FkKdXK变形前后线元之间的关系(包含了长度和方向)(*)
个二阶张量
..:
:
Xk
次k
-Xm
:
:
Xm
:
Xk
-Xm
:
Xm
:
Xk
:
xk
血klXl
=qkl
.xl
-
-"Xm
-"Xm
qkl・:
『lm=qkm
F对应于一个线性变换,(从(*)式看),包含了方向和长度的变换。
由此可见,F包含了全部的有限变形信息。
FX二Gradx(所以称为变形“梯度”)
cX
-FkKek儿Ek
:
X
LQ:
EK(各种不同的写法)
Xk
F=qFQr
2)Euler法:
用空间坐标xk自变量,t作参变量。
P点(与P对应的物质点):
Xk=XK(Xk,t)
Q点(与q对应的物质点):
XkVXk二Xk(x dXK二兰旦dxk(知道现在线元,倒回去查原来的线元) 故k 对应于一个由dxk的线性变换。 空间变形梯度张量: F‘(;以空间坐标为自变量) -: X;Xk FgradX-E「X仆E「ek x: xk 其实,F与F4互逆,所以以F4定义。 §3.5变形张量 回顾变形梯度张量: F,dx=FdX包含了全部信息 变形张量只研究其长度改变的信息(不包含方向改变) 1)Lagrange描述法: XK作为自变量 变形前dX的长度dL: (dL)2二dXK・dXK 变形后dx的长度dl: (di)? =dxkdx^=k,dxkdx, 上述dXK应该是已知的,dxk可求出的。 则 (dl)2—ki(FkKdXK)(F|LdXL)-kiFkK%dXKdXL =kixk,Kxi,LdXKdXL (di)=Xk,KXk,LdXKdXL 变形张量C(称为Green变形张量)C为正定的((de)2_0) Ckl=xk,KXk丄tC为对称张量。 c二ftf C=xk,Kxk,LEK-EL 已知变形梯度张量可求出变形张量。 通过C可直接算出长度的变化(优点)。 2)Euler描述法: xk作为自变量 变形后的长度dl: (dl)2二dXk・dXk(作为已知的) 变形前的长度dL: 2“- (dL)dXKdXK=KLdXK执[_=KLXK,kXL,|dxkdxi=Xk,kXL,ldXkdxi Cauchy变形张量B B=XK,kXK,lek: e B—(F丁(F」) 通过变形梯度张量可求出变形张量。 §3.6变形梯度张量的极分解 变形梯度张量F。 (若)F是一个可逆张量,即F’存在,则F可写为: F二RU或F二VR 右极分解左极分解 上述分解存在且唯一的,R是正常正交张量,表示转动,所以记为R,U和V是对称、 正定张量。 1•右极分解的证明 若F二RU成立,且R为正交张量,U为对称正定张量。 : FT=(RU)T二UTRT=URT则FTF=(URt)(RU)=UU又FTF=C为正定的,对称轴, 由F可找到U,且U为正定、对称的。 又R=FU二 Rt=UJFT RtR=U亠FTFUJ=U’UUUJ=I -r为正交张量。 2•右极分解的唯一性 设F=RU=RU U二Rtf二RtrU U2二UU=UTU=(URtR)(RtRU)=U U=U,由此可推得r=r 3.左右极分解中的R是相同的。 F二RU又F=VR* F二vr=(rrt)vr二R(rVr) 上式为一右极分解,因为右极分解是唯一的,则R*-R 同时由上式可得: U=rtVr U: 右伸长张量 V: 左伸长张量 U和V是相似张量。 则V=rurt §3.7Lagrange标架和Euler标架 通过这两个标架的学习了解 R,U,V的几何意义。 F二RU F二VR 1•右极分解 dx=FdX=RUdX 将dX先进行U变换,再进行R变换。 U正定对称二阶张量,{对称张量,存在三个互相垂直的主方向,M_(: •r1「3) (;正定)对应有三个主值(非负) Ua®M口=儿MM、十扎2M2©M2十代3M3®M3 Lagrange标架: M1,M2,M3作为基矢 第一步: UdX乞: (: M: _M.dX dX=dXM一.也按Lagrange标架分解。 UdX=A©1%刖浙Mp =.;.: |dX■M二 第二步: FdX=R(UdX) 即dx二dXRM一 又dx二dXm. 则: m一.二RM一.(变换后仍为矢量) 正交张量: 有体内积性质,即,有M: .为单位矢量,正交变换后的m仍为单位矢量, 但方向改变,且M仍为三个互为正交的。 m一.三个相垂直的方向Euler标架 根据前面两步可知: U右伸长张量,R转动张量。 2•左极分解dx=FdX=VRdX 第一步: RdX二RdX: .: .(保内性质) 二dXm(长度不变,但投影到Euler标架上) 第二步: VRdX=? 令VhRURT=RM: : M.RT 二「md: m: Euler标架是V的三个主方向,以m1,m2,m3作为基矢。 设V=m: 则’(: •二-「• -U和V主方向不同,主值相等。 (•U和V是相似张量) dx二FdX二VRdX二dX: m. 两个极分解是同样的结果,只是伸长与转动的顺序不同。 Lagrange标架: U主方向M Euler标架: V的主方向m 既不固定在空间,也不固定在物体上,由变形来确定的标架。 e1,e2,e3与E】,En,E皿是分别固定在空间与物体上的。 §3.8有限变形的应变张量 F,C,B,U,V已学过不是应变张量。 小变形的应变张量 I—Io 应变定义: I一|0: : : : : : |0 |0 Hill研究上述定义有三个含义: 1■的递增函数(变形增加,则应变增加) 2,-.时,应变=0 3应变对■的导数=1(,=】时) 根据上述三条,推广 Hill应变张量(有限变形): Ef二f(JMi: Mif (2)M2: M2f(3)M3: M3 fC),f('2),f(3)为L标架中的主应变,主应变是■■2,的函数。 条件: a)f「是,的递增函数 b),=】时,f(,= c)f(,=1,当'=- 理由,当是小变形时,可与原来的理论相通。 Seth应变张量: f((戶-1) 2n n取任意数满足Hill条件。 E(n)=加2: )-1)M「M: Green应变张量: n=1 =[「2-1) E⑴*2-I)W(C-I) 22 1 工程应变张量: n= 2 f(1二,_- E⑴二U-1乂(: -1)M「M: 对数应变张量: n=0 -JI fC=ln'(推广) E(0)=lnU=1n: M: : M: 1 Swainger应变张量;n= 2 (叨11 E2=(I)= (1)M「M. U Almansi应变张量: n--1 12 f('V') E"―扣亠力十一M: 有限变形中,应变的定义并不明确,都可用,到底用哪一个好? §3.9Green应变张量和Almansi应变张量 线元长度公式 Lagrange描述法: 2 (dL)-KLdXKdXL (dl)2-CedXKdXL CkL=Xk,KXk,L Euler描述法: (dL)2二BfdXkdx (dl)—kdXkdXl Bkl=XK,kXK,l 1.Green应变张量: (也叫做Lagrange应变张量) 采用Lagrange描述法。 (dl)2-(dL)2=(Ckl-、KL)dXKdXL =2EKLdXKdXL 1r Ekl二尹k,KXk,L-冠kl)Green应变张量分量 1 E=? (c-i) 2.Almansi应变张量(也叫做Euler应变张量) 采用Euler描述法 (dl)2-(dL)2=(、kl-B: )dXkdXl 1 ekl——Almansi应变张量分量 (、: kl-Xk,kXK,|) 2 e(I-U') 2 位移矢: u二x-Xd Lagrange描述法 u=UkEk =DkE UkEk=Xkek-xkEkDkEk 令物质坐标系和空间坐标系之间的转移张量 ;kK=ekEK 则ekJkKEk ■UKEK=人4~XkEkdkEk故5二: VkK-XkDk Um=Xi-;im_Xm'Dm 对Xk求导: UM,K=X|,K「im-「MK两边乘Mk: UM,K"Mk=X|,kimMk-MK"Mk =X|,k'*|ki*Kk 二Xk,K-': Kk Xk,K二Um,K'Mk"kK CkL=(Xk,K)(Xk,L) -G■kKUm,KkM)(、kLUn,LkN) =■■KL'UK,L'UL,K'UM.KUM,L 1, ekl(Ckl-: KL) 2 1 Ekl(Uk,l'Ul,k'Um,kUm,l) 2 同样,可得 1 ekl(Uk,lUi,k-Um,kUm,l) 2 对于微小变形: 1 dj(Ui,jUj,i)两者没有区别,一般用Lagrange描述法 2 (UK,L1,Uk,|;: ;: 〔) 是一对称应变张量,有6个应变分量(三个线应变,三个角应变) 在有限变形中,应变张量也是对称的,也有6个应变分量,但不是直接对应3个线应变和3 个角应变,要通过一定的计算才能得出对应值。 (参考: B.B.诺沃日洛夫: 非线性弹性力学基础) §3.11变形协调方程 给定应变张量分量: E或e——一u 在线弹性理论中, 在有限变形中: 有生文南方程(6个协调方程) 1,Ekl(Ckli-;kl) 2 变形协调方程: f(CKL)=0 Green变形张量: CKL=Xk,KX|,[_kl 1 2(CkL,M'Ckm,L一CLM,K)=Xk,KX|,LM「kl -CKPXp,| 又',klXk,K=(“rl)xk,K=(xr,PXp,|)Xk,K 1 则: 2(CKL,MCKM,L~CLM,K)二CKPXp,|X|,lm 两边乘以Xs,mXK,mXr,s,有 1 Xs,mXK,m(CKL,MCkM,L一Clm,K)Xr,s=Xs,mXK,mCKpXp,|Xr,sX,LM 2 -Xk,KXk,PXS,mXK,m(Xr,SXP,lXl,LM) -'*mXk,pXs,m(Xr,sXp,|X|,LM) =Xm,PXS,m(Xr,SXP,lXl,LM) =-'■SPXr,SXP,lXl,LM =Xr,PXp,|Xl,LM -rlXl,LM-Xr,LM 1 即: XS,mXK,m(CKL,M'CKM,L_CLM,K)xr,^~Xr,LM 定义: 第二类 则: 人,lmjLM Xr,s 再求一次偏导数: Xr,LMN =CLMXr,S),N Xr,T --LMXr,SN'CLM),NXr,S --LM■SNXr,T'0LM),N 则: Xr,LMN~[■LM'SNGLM),N]Xr,T 又Xr,LNM=[LN'SMGLN),M]Xr,T 在欧几里德空间中,应有: Xr,LMN=Xr,LNM 则: ■LM■_■Ln■SM(Lm),N一CLn),M=0 简记为: RTmn=0称为变形协调条件(充分必要的) RLMN=-LM-SN_Lln-SM0LM),N_GLN),M 称为第二类RiemannChristoffel张量(4阶张量) 第一类RiemannChristoffel张量: RkLmn二cktRLmn-0也是变形协调的充分必要条件。 81个协调方程中只有6个是独立的(为什么只有6个,;其具有对称性) Rklmn的对称性质: Rmnkl,Rlkmn二一Rklmn,Rklmn二一Rklmn Rklmn■RkMNL■Rknlm=0 Rnin Rmimi -0,Rinim=0,Rnmnm-0,Rnmn^-0 =0,Rmimn=0 §3.12体元与面元的变化 变形前体积: A、B、C三方向变形前的线元分别为: dV dXA,dXB,dXC / ■1 A z dXc dx X3^\ X1变形后体积 "XA(dXBdXC) dXiA dX? dXB dx: dXC dx: dXmdXBdXC 变形后体积: dv=dxa(dxbdxC) ,一…A、 =(FdXA)(FdXBFdXC) F3KdX$ F3KdXB F3KdXC 令F=J 则: 史=detFdV (以前设: F正定,可逆,这里得证) 面积变化 原始面积矢dA=NdA(变形前) 其中任一线元dX,其高与面积dA构成初始体积 dV二dXdA 现时面积矢da=nda(变形后) 其中任一线元dx,其高与面积矢da构成变形后体积 dv=dxda dv *Jdx=FdX dV 贝U: dadx=JdAdX daFdX=JdAdX有: da=JdAF‘ 1T da二J(F)dANanson公式 dak二JX^kdA 二J2NFFTN=J2NCNdA 或: df」窗 回顾: 引伸: 变形几何问题: 问题: 是弹性变形还是塑性变形? 小变形: e=ee■/ 有限变形中: 可否进行上述分解? 有文献: E.H丄ee(1969),ASME,TransSeiencaE.JAMVo.36 提到: 弹性变形是小变形,塑性变形是有限变形时,上述分解可用,但目前分析不清。
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