中考数学145套分类之09一元一次方程.docx
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中考数学145套分类之09一元一次方程
2021年中考数学分类汇编之一元一次方程
一、选择题
1.(2021吉林省,第6题,2分)古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题:
一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是33.若设这个数是x,则所列方程为( )
A.
x
x+x=33 B.
x
x
x=33
C.
x
x
x+x=33 D.x
x
x
x=33
【答案】C.
【分析】根据题意列方程
x
x
x+x=33.
【详解】解:
由题意可得
x
x
x+x=33.
故选:
C.
【点睛】本题考查了列一元一次方程,解答本题的关键是通过题干找出等量关系.
考点:
由实际问题抽象出一元一次方程.
2.(2021四川省南充市,第5题,4分)端午节买粽子,每个肉粽比素粽多1元,购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,设每个肉粽x元,则可列方程为( )
A.10x+5(x﹣1)=70 B.10x+5(x+1)=70
C.10(x﹣1)+5x=70 D.10(x+1)+5x=70
【答案】A.
【分析】设每个肉粽x元,则每个素粽(x﹣1)元,根据总价=单价×数量,结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【详解】解:
设每个肉粽x元,则每个素粽(x﹣1)元,
依题意得:
10x+5(x﹣1)=70.
故选:
A.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
由实际问题抽象出一元一次方程.
3.(2021四川省绵阳市,第6题,3分)近年来,网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送,若每个快递员派送10件,还剩6件;若每个快递员派送12件,还差6件,那么该分派站现有包裹( )
A.60件 B.66件 C.68件 D.72件
【答案】B.
【分析】设该分派站有x个快递员,根据“若每个快递员派送10件,还剩6件;若每个快递员派送12件,还差6件”,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x的值,再将其代入(10x+6)中即可求出该分派站现有包裹数.
【详解】解:
设该分派站有x个快递员,
依题意得:
10x+6=12x﹣6,
解得:
x=6,∴10x+6=10×6+6=66,
即该分派站现有包裹66件.
故选:
B.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
一元一次方程的应用.
4.(2021安徽省,第7题,4分)设a,b,c为互不相等的实数,且b
a
c,则下列结论正确的是( )
A.a>b>c B.c>b>a C.a﹣b=4(b﹣c) D.a﹣c=5(a﹣b)
【答案】D.
【分析】根据等式的基本性质,对已知等式进行变形即可.
【详解】解:
∵b
a
c,∴5b=4a+c.
在等式的两边同时减去5a,得到5(b﹣a)=c﹣a.
在等式的两边同时乘﹣1,则5(a﹣b)=a﹣c.
故选:
D.
【点睛】本题考查了等式的基本性质,结合已知条件及选项,对等式进行合适的变形是解答本题的关键.
考点:
等式的性质;不等式的性质.
5.(2021山东省聊城市,第9题,3分)若﹣3<a≤3,则关于x的方程x+a=2解的取值范围为( )
A.﹣1≤x<5 B.﹣1<x≤1 C.﹣1≤x<1 D.﹣1<x≤5
【答案】A.
【分析】把a看作已知数求出方程的解得到x的值,由﹣3<a≤3代入计算即可.
【详解】解:
x+a=2,
x=﹣a+2.
∵﹣3<a≤3,∴﹣3≤﹣a<3,∴﹣1≤﹣a+2<5,∴﹣1≤x<5,
故选:
A.
【点睛】本题考查了解一元一次等式、一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
考点:
一元一次方程的解;不等式的性质.
6.(2021浙江省杭州市,第6题,3分)某景点今年四月接待游客25万人次,五月接待游客60.5万人次.设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x(x>0),则( )
A.60.5(1﹣x)=25 B.25(1﹣x)=60.5
C.60.5(1+x)=25 D.25(1+x)=60.5
【答案】D.
【分析】依题意可知四月份接待游客25万,则五月份接待游客人次为:
25(1+x),进而得出答案.
【详解】解:
设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x(x>0),则
25(1+x)=60.5.
故选:
D.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程中增长率的问题,一般公式为:
原来的量×(1±x)=现在的量,x为增长或减少的百分率.增加用+,减少用﹣.
考点:
由实际问题抽象出一元一次方程.
7.(2021浙江省温州市,第5题,4分)解方程﹣2(2x+1)=x,以下去括号正确的是( )
A.﹣4x+1=﹣x B.﹣4x+2=﹣x C.﹣4x﹣1=x D.﹣4x﹣2=x
【答案】D.
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去,再去括号.
【详解】解:
根据乘法分配律得:
﹣(4x+2)=x,
去括号得:
﹣4x﹣2=x,
故选:
D.
【点睛】本题考查了解一元一次方程,去括号法则,解答本题的关键是:
括号前面是减号,把减号和括号去掉,括号的各项都要变号.
考点:
解一元一次方程.
8.(2021湖北省武汉市,第7题,3分)我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?
”意思是:
现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数,物价各是多少?
若设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是( )
A.8(x﹣3)=7(x+4) B.8x+3=7x﹣4
C.
D.
【答案】D.
【分析】根据人数=总钱数÷每人所出钱数,得出等式即可.
【详解】解:
设共有x人,根据题意可得:
8x﹣3=7x+4,
设物价是y钱,根据题意可得:
.
故选:
D.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确找出等量关系是解答本题的关键.
考点:
由实际问题抽象出一元一次方程.
9.(2021湖南省株洲市,第2题,4分)方程
1=2的解是( )
A.x=2 B.x=3 C.x=5 D.x=6
【答案】D.
【分析】移项,合并同类项,系数化成1即可.
【详解】解:
1=2,
移项,得
2+1,
合并同类项,得
3,
系数化成1,得x=6,
故选:
D.
【点睛】本题考查了解一元一次方程,能正确根据等式的性质进行变形是解答本题的关键.
考点:
解一元一次方程.
10.(2021黑龙江省牡丹江市,第15题,3分)已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元,其中一件盈利60%,另一件亏损20%,在这次买卖中这家商店( )
A.不盈不亏 B.盈利20元 C.盈利10元 D.亏损20元
【答案】B.
【分析】设盈利的运动衫的进价为x元,亏损的运动衫的进价为y元,利用利润=售价﹣进价,即可得出关于x(y)的一元一次方程,解之即可得出x(y)的值,再将两件运动衫的利润相加即可得出结论.
【详解】解:
设盈利的运动衫的进价为x元,亏损的运动衫的进价为y元,
依题意得:
160﹣x=60%x,160﹣y=﹣20%y,
解得:
x=100,y=200,∴(160﹣100)+(160﹣200)=60﹣40=20(元),∴在这次买卖中这家商店盈利20元.
故选:
B.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
一元一次方程的应用.
二、填空题
11.(2021北京市,第16题,2分)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 .第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则
的值为 .
【答案】2:
3;
.
【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨,则分配到B生产线的吨数为(5﹣x)吨,依题意可得4x+1=2(5﹣x)+3,然后求解即可,由题意可得第二天开工时,由上一问可得方程为4(2+m)+1=2(3+n)+3,进而求解即可得出答案.
【详解】解:
设分配到A生产线的吨数为x吨,则分配到B生产线的吨数为(5﹣x)吨,依题意可得:
4x+1=2(5﹣x)+3,
解得:
x=2,∴分配到B生产线的吨数为5﹣2=3(吨),∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2:
3;∴第二天开工时,给A生产线分配了(2+m)吨原材料,给B生产线分配了(3+n)吨原材料.
∵加工时间相同,∴4(2+m)+1=2(3+n)+3,
解得:
m
n,∴
.
故答案为:
2:
3;
.
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质,熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解答本题的关键.
考点:
一元一次方程的应用;二元一次方程的应用;比例的性质.
12.(2021山东省日照市,第14题,4分)关于x的方程x2+bx+2a=0(a、b为实数且a≠0),a恰好是该方程的根,则a+b的值为 .
【答案】﹣2.
【分析】根据方程的解的概念,将x=a代入原方程,然后利用等式的性质求解.
【详解】解:
由题意可得x=a(a≠0),
把x=a代入原方程可得:
a2+ab+2a=0,
等式左右两边同时除以a,可得:
a+b+2=0,
即a+b=﹣2.
故答案为:
﹣2.
【点睛】本题考查了方程的解的概念及等式的性质,理解方程的解的定义,掌握等式的基本性质是解答本题的关键.
考点:
方程的解;等式的性质.
13.(2021山东省枣庄市,第14题,4分)幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15,则m的值为 .
【答案】1.
【分析】根据幻方的定义,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【详解】解:
依题意,得:
6+m+8=15,
解得:
m=1.
故答案为:
1.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
数学常识;一元一次方程的应用.
14.(2021山东省烟台市,第15题,3分)幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行,每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15,则a的值为 .
【答案】2.
【分析】利用幻方中每一横行,每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15,可求出幻方右下角及第二行中间的数字,再利用幻方中对角线上的数字之和为15,即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出结论.
【详解】解:
幻方右下角的数字为15﹣8﹣3=4,
幻方第二行中间的数字为15﹣6﹣4=5.
依题意得:
8+5+a=15,
解得:
a=2.
故答案为:
2.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数字常识,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
数学常识;一元一次方程的应用.
15.(2021江苏省扬州市,第13题,3分)扬州雕版印刷技艺历史悠久,元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州,该书是中国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:
“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之?
”题意是:
快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天追上慢马?
答:
快马 天追上慢马.
【答案】20.
【分析】设良马行x日追上驽马,根据路程=速度×时间结合两马的路程相等,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【详解】解:
设快马行x天追上慢马,则此时慢马行了(x+12)日,
依题意,得:
240x=150(x+12),
解得:
x=20,∴快马20天追上慢马.
故答案为:
20.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
一元一次方程的应用.
16.(2021浙江省绍兴市,第12题,5分)我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为:
客人一起分银子,若每人7两,还剩4两;若每人9两,则差8两.银子共有 两.
【答案】46.
【分析】通过设两个未知数,可以列出银子总数相等的二元一次方程组,本题得以解决.
【详解】解:
设有x人,银子y两,
由题意得:
,解得
.
故答案为:
46.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.
考点:
一元一次方程的应用;二元一次方程组的应用.
17.(2021湖南省张家界市,第9题,3分)已知方程2x﹣4=0,则x= .
【答案】2.
【分析】直接移项、系数化为1即可.
【详解】解:
2x﹣4=0,
2x=4,
x=2.
故答案为:
2.
【点睛】本题考查了解一元一次方程,熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解答本题的关键.
考点:
一元一次方程的解.
18.(2021湖南省邵阳市,第17题,3分)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:
今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?
意思是:
几个人一起去购买某物品,如果每人出8钱,则多了3钱;如果每人出7钱,则少了4钱.问有多少人,物品的价值是多少?
该问题中物品的价值是 钱.
【答案】53.
【分析】设有x人,物品的价值为y钱,由题意:
几个人一起去购买某物品,如果每人出8钱,则多了3钱;如果每人出7钱,则少了4钱.列出方程组,解方程组即可.
【详解】解:
设有x人,物品的价值为y钱,
依题意,得:
,
解得:
,
即该问题中物品的价值是53钱.
故答案为:
53.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解答本题的关键.
考点:
一元一次方程的应用;二元一次方程组的应用.
19.(2021辽宁省大连市,第14题,3分)我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:
“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹.每人六竿多十四,每人八竿恰齐足.”其大意是:
“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍,不知有多少人和竹竿.每人6竿,多14竿;每人8竿,恰好用完.”若设有牧童x人,根据题意,可列方程为 .
【答案】6x+14=8x.
【分析】设有牧童x人,根据“每人6竿,多14竿;每人8竿,恰好用完”,结合竹竿的数量不变,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【详解】解:
设有牧童x人,
依题意得:
6x+14=8x.
故答案为:
6x+14=8x.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
由实际问题抽象出一元一次方程.
20.(2021重庆市,第15题,4分)若关于x的方程
a=4的解是x=2,则a的值为 .
【答案】3.
【分析】把x=2代入方程
a=4得出
a=4,再求出方程的解即可.
【详解】解:
把x=2代入方程
a=4得:
a=4,
解得:
a=3.
故答案为:
3.
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解,能熟记方程的解的定义是解答本题的关键,注意:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解.
考点:
一元一次方程的解.
21.(2021重庆市,第15题,4分)方程2(x﹣3)=6的解是 .
【答案】x=6.
【分析】按照去括号,移项,合并同类项的步骤解方程即可.
【详解】解:
方程两边同除以2得:
x﹣3=3.
移项,合并同类项得:
x=6.
故答案为:
x=6.
【点睛】本题考查了解一元一次方程.解一元一次方程常见的过程有去分母,去括号、移项、合并同类项,系数化为1等.
考点:
解一元一次方程.
22.(2021陕西省,第11题,3分)幻方,最早源于我国,古人称之为纵横图.如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等,则图中a的值为 .
【答案】﹣2.
【分析】根据各行的三个数字之和相等,即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出结论.
【详解】解:
依题意得:
﹣1﹣6+1=0+a﹣4,
解得:
a=﹣2.
故答案为:
﹣2.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解答本题的关键.
考点:
一元一次方程的应用.
23.(2021黑龙江省大庆市,第17题,3分)某酒店客房都有三人间普通客房,双人间普通客房,收费标准为:
三人间150元/间,双人间140元/间.为吸引游客,酒店实行团体入住五折优惠措施,一个46人的旅游团,优惠期间到该酒店入住,住了一些三人间普通客房和双人间普通客房,若每间客房正好住满,且一天共花去住宿费1310元,则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 间.
【答案】18.
【分析】设住了三人间普通客房x间,住双人间普通客房y间,根据总人数46,可列方程3x+2y=46;根据总费用,可列方程
(150x+140y)=1310,求解即可.
【详解】解:
设住了三人间普通客房x间,住双人间普通客房y间,
由题意可得:
,
解得
,∴x+y=18,∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共18间.
故答案为:
18.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用;理解题意,根据题意列出方程组是解答本题的关键.题中五折优惠是易错点,读题需仔细.
考点:
一元一次方程的应用;二元一次方程组的应用.
三、解答题
24.(2021四川省广元市,第17题,6分)解方程:
4.
【答案】x=7.
【分析】解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,据此解答即可.
【详解】解:
4,
3(x﹣3)+2(x﹣1)=24,
3x﹣9+2x﹣2=24,
3x+2x=24+9+2,
5x=35,
x=7.
【点睛】本题考查了解一元一次方程,掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键.
考点:
解一元一次方程.
25.(2021四川省成都市,第26题,8分)为改善城市人居环境,《成都市生活垃圾管理条例》(以下简称《条例》)于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨,刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾.
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数;
(2)由于《条例》的施行,垃圾分类要求提高,在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾,同时由于市民环保意识增强,该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个,试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾?
【答案】
(1)每个B型点位每天处理生活垃圾38吨;
(2)至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾.
【分析】
(1)每个B型点位每天处理生活垃圾x吨,根据“每天需要处理生活垃圾920吨,刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”,可列方程,即可解得答案;
(2)设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾,《条例》施行后,每个A型点位每天处理生活垃圾37吨,每个B型点位每天处理生活垃圾30吨,根据题意列出不等式:
37(12+y)+30(10+5﹣y)≥920﹣10,可解得:
y的范围,在求得的范围内取最小正整数值即得到答案.
【详解】解:
(1)设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨,则每个A型点位每天处理生活垃圾(x+7)吨,根据题意可得:
12(x+7)+10x=920,
解得:
x=38,
答:
每个B型点位每天处理生活垃圾38吨;
(2)设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾,
由
(1)可知:
《条例》施行前,每个A型点位每天处理生活垃圾45吨,则《条例》施行后,每个A型点位每天处理生活垃圾45﹣8=37(吨),
《条例》施行前,每个B型点位每天处理生活垃圾38吨,则《条例》施行后,每个B型点位每天处理生活垃圾38﹣8=30(吨),
根据题意可得:
37(12+y)+30(10+5﹣y)≥920﹣10,
解得:
y
.
∵y是正整数,∴符合条件的y的最小值为3,
答:
至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾.
【点睛】本题考查了一次方程及一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,找准等量关系或不等关系,列方程或不等式.
考点:
一元一次方程的应用;二元一次方程组的应用.
26.(2021广东省广州市,第21题,8分)民生无小事,枝叶总关情,广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程,今年计划新增加培训共100万人次.
(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次,“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍,求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次;
(2)“粤菜师傅”工程开展以来,已累计带动33.6万人次创业就业,据报道,经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升,已知李某去年的年工资收入为9.6万元,预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元,则李某的年工资收入增长率至少要达到多少?
【答案】
(1)23万人次;
(2)30%.
【分析】
(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次,则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次,根据今年计划新增加培训共100万人次,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)设李某的年工资收入增长率为m,利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收入×(1+增长率),结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,再取其中的最小值即可得出结论.
【详解】解:
(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次,则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次,
依题意得:
31+2x+x=100,
解得:
x=23.
答:
“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次.
(2)设李某的年工资收入增长率为m,
依题意得:
9.6(1+m)≥12.48,
解得:
m≥0.3=30%.
答:
李某的年工资收入增长率至少要达到30%.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用,解答本题的关键是:
(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;
(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
考点:
一元一次方程的应用;一元一次不等式的应用.
27.(2021广西桂林市,第20题,6分)解一元一次方程:
4x﹣1=2x+5.
【答案】x=3.
【分析】方程移项、合并同类项、系数化为1即可.
【详解】解:
4x﹣1=2x+5,
4x﹣2x=5+1,
2x=6,
x=3.
【点睛
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- 中考 数学 145 分类 09 一元一次方程