一元一次方程应用题9大类型解析.docx

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一元一次方程应用题9大类型解析

一元一次方程应用题类型

目录：

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

、一元一次方程解决应用题的分类

1、市场经济、打折销售问题

2、方案选择问题

3、储蓄、储蓄利息问题

4、工程问题

5、行程问题

6、环行跑道与时钟问题

7、若干应用问题等量关系的规律

8、数字问题

9、日历问题

、列一元一次方程解应用题的一般步骤

1）审题：

弄清题意．

2）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?

然后利

用已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?

是否符合实际，检验后写出答案．

二、一元一次方程解决应用题的分类

1、市场经济、打折销售问题

（一）知识点：

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝商品利润×100%

商品成本价

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打

8折出售，即按原价的80%出售．

（二）例题解析

1、某高校共有个5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：

同时开放1个大餐厅、2小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？

请说明理由．

解：

（1）设1个小餐厅可供y名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学

生就餐，根据题意得：

2（1680-2y）+y=2280

解得：

y=360（名）

所以1680-2y=960（名）

（2）因为9605360255205300，

2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，

8件与将标价降低

每件的进价、标价分别是多少元？

解：

设该工艺品每件的进价是

每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．

35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品

x元,标价是（45+x）元.依题意，得:

8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

解得：

x=155（元）

所以45+x=200（元）

3、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千

瓦则超过部分按基本电价的70%收费．

1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？

?

应交电费是多少元？

解：

（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：

90千瓦时，交32.40元．

4、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每

双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。

问这种鞋的标价是多少元？

优惠

价是多少？

利润

利润率=40%=80%X60

成本60

解之得X=105

105*80%=84元

5、甲乙两件衣服的成本共

500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按

50%

的利润定价，乙服装按

40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服

装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？

解：

设甲

服装成本价为x元，则乙服装的成本价为（50–x）元，根据题意，

109x（1+50%）–x+（500-x）（1+40%）90%-（500-x）=157

x=300

6、某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元，按定价的9折销售该电器6

台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？

（48+X）90%*6–6X=（48+X-30）*9–9X

解之得X=162

162+48=210

7、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙

商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、

乙两种商品的原来单价？

解：

[x（1-10%）+（100-x）（1+5%）]=100（1+2%）

解之得x=20

8、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

解：

设这种服装每件的进价是x元，则：

X（1+40﹪）×0.8-x=15

解得x=125

2、方案选择问题

（一）例题解析

1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?

经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，?

但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．方案二：

尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，?

在市

场上直接销售．

方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？

为什么？

解：

方案一：

获利140×4500=630000（元）

方案二：

获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）方案三：

设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．

依题意得x140x=15解得x=60

616

获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）因为第三种获利最多，所以应选择方案三．

2、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过

部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求

a．

（2）若该用户九月份的平均电费为

0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？

?

应交电费是

多少元？

解：

（1）由题意，得

0.4a+

（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x

解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：

九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

3、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3?

种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，?

销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

解：

按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台．

（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程：

1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=3002x=50x=2550-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，

可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=1800x=35

50-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．

可得方程2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，

不合题意

由此可选择两种方案：

一是购

A，B两种电视机25台；二是购A种电视机

35台，C种电视机15台．

150×25+250×15=8750（元）

150×35+250×15=9000（元）

2）若选择

（1）中的方案①，可获利

若选择

（1）中的方案②，可获利

9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案．

3、储蓄、储蓄利息问题

一）知识点

（1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。

利息的20%付利息税

（2）利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

每个期数内的利息

（3）利润100%,

本金

二）例题解析

1、某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息和

252.7元，求银行半年期的年利率是多少？

（不计利息税）

[分析]等量关系：

本息和=本金×（1+利率）解：

设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7，解得

X=0.0108所以年利率为0.0108×2=0.0216答：

银行的年利率是2.16%

12.为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

（1）直接存入一个6年期；

（2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

一年2.25

（3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一三年2.70

年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

六年2.88

[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。

解：

（1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程

X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053

（2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，

Y（1+2.7%×3）（1+2.7%×3）=20000，X=17115

（3）设存入一年期本金为Z元，Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894

所以存入一个6年期的本金最少。

2、小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，

共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．

解：

设这种债券的年利率是x，根据题意有

4500+4500×2×x×（1-20%）=4700，解得x=0.03

答：

这种债券的年利率为3％

3、（北京海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10

元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，?

把每件的销售价降低x%出售，?

但要求卖出一件商品所获得的利润是降

价前所获得的利润的90%，则x应等于（）．A．1B．1.8C．2

D．10

点拨：

根据题意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故选C

4、工程问题

一）知识点

1．工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量＝工作效率×工作时间

工作效率

工作总量

工作时间

工作总量

1。

即

2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

二）例题解析

1、一项工程，甲单独做要

10天完成，乙单独做要

15天完成，两人合做4天后，

剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？

解：

设还需要x天完成，依题意，得

2、某工作,

时、乙又单独干4小时,务?

1）

1015乙单独干需用

1x1解得x=5

甲单独干需用15小时完成

剩下的工作两人合作

15

小时完成,若甲先干1小问:

再用几小时可全部完成任

12

解：

设甲、乙两个龙头齐开

小时

由已知得，

甲每小时灌池子的

1，乙每

2

小时灌池子的1。

列方程：

1

1×0.5+（

2

x=1=0.5

2

1）x=

3

x+0.5=1

3、某工厂计划

26

但完成了任务，

解：

（X

26

5

x=

6

小时）

小时生产一批零件，后因每小时多生产

而且还比原计划多生产了

5）2460X，X=780

4、某工程，甲单独完成续

20天，乙单独完成续

5x=5

612

5件，用24

60件，问原计划生产多少零件？

12天，甲乙合干

小时，不

6天后，再由

乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程

1

解：

1-6（11）=1XX=2.4

201212

5、已知甲、乙二人合作一项工程，甲

25天独立完成，乙

20天独立完成，甲、

乙二人合5天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？

解：

1－（11）51X，X=11

252020

6小时，乙独做需4

6、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

解：

1-11（11）X，X=11，2小时12分

62645

5、行程问题

一）知识点

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

速度＝路程÷时间

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度

2.行程问题基本类型

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：

快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）

速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）

速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点

考虑相等关系

二）例题解析

1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用

3.6小时，已知步行速度为每小时

8千米，公交车的速度为每小时

40千米，设甲、乙两地相距

x千米，则列方

程为

解：

等量关系

步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时

列出方程是：

xx3.6

840

2、某人从家里骑自行车到学校。

若每小时行

钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到

15千米，可比预定时间早到15分

15分钟；求从家里到学校的路程

有多少千米？

解：

等量关系⑴

⑵

－15分钟

速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程

速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间

提醒：

速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程

方法一：

设预定时间为

x小/时，则列出方程是：

15（x－0.25）＝9（x＋0.25）

x15x15方法二：

设从家里到学校有x千米，则列出方程是：

1560960

3、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从

两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：

2，问两车每秒各行驶多少米？

提醒：

将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

等量关系：

快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，

则16×3x＋16×2x＝200＋280

4、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。

行人的速

度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。

如果一列火车从

他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。

⑴行人的速度为每秒多少米？

⑵这列火车的车长是多少米？

提醒：

将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。

等量关系：

1两种情形下火车的速度相等

2两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。

解：

⑴行人的速度是：

3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒

骑自行车的人的速度是：

10.8k

m/

时＝10800米÷

3600秒＝

3米/秒⑵方

法一：

设火车的速度是

x米/

秒，

则26×（x－3）

＝22×（x

－1）

解得x＝4

方法二：

设火车的车长是

x221

x26

3

x

米，

则

22

26

6、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。

汽车速度是

60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。

出发地到目的地的距离是60千米。

问：

步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）提醒：

此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2解：

设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则5x＋60（x－1）＝60×2

7、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，

但他因事将原计划的时间推迟了

15千米的速度前进，结果比规

20分，便只好以每小时

定时间早4分钟到达B

地，

A、B两地间的距离。

解：

方法一：

设由A地到B地规

定的时间是x小时，则x＝12

20

15

12x

千米

12224（）

60

方法二：

设由A、

60

B两地的距离是

x千米，则

设路程，

列时间等式）

xx204

x＝24

12156060

答：

A、B两地的距离是24千米。

温馨提醒：

当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。

8、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。

隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？

火车的长度是多少？

若不能，请说明理由。

解析：

只要将车尾看作一个行人去分析即可，

前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。

此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。

解：

方法一：

设这列火车的长度是x米，根据题意，得

300xx

x

＝300

2010

答：

这列火车长

300

米。

方法二：

设这列火车的速度是

x

米/秒，

根据题意，得

x－＝x

x＝

x＝

2030010

30

10300

答：

这列火车长

300

米。

9、甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速

铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要

10小时即可到达，列方程得。

答案：

xx60

1015

10、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150

米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒⑴两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是

多少？

⑵如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快

车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至

少是多少秒？

解析：

①快车驶过慢车某个窗口时：

研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！

②慢车驶过快车某个窗口时：

研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！

3快车从后面追赶慢车时：

研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！

解：

⑴两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）

慢车经过快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒）

⑵则答：

设至少是x秒，（快车车速为20－8）

（20－8）x－8x＝100＋150x＝62.5至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。

千米的B地，

甲骑自行车，乙步行，

11、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5

12、

甲的速度比乙的速度的

2倍还快2千米

/时，甲先到达

地后，立即由B

返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了解：

设乙的速度是x千米/时，则

x＋x＋＝×

33（22）25.52

答：

甲、乙的速度分别是12千米/

艘船在两个码头之间航行，

水流的速度是

时、

3小时

∴x＝

5

5千米/时。

3千米

求两人的速度。

时，

时，逆水航行需要

3小时，

求两码头之间的距离。

解：

设船在静水中的速度是

×x＋解得152（答：

两码头之间的距离是

x＝

3）

x千米/时，

×＋

2（153）36千米。

3×（

x－

3）

（千米）

＝×

2（

36

13、一架飞机飞行在两个城市之间，

风速为每小时

24

x＋＝

212

顺水航行需要

x＋

3）

千米，顺风飞行需要

时50分钟，逆风飞行需要

3小时，求两城市间的距离。

解：

设无风时的速度是

千米/时，则3×（x－24）＝26

5×（x＋24）

14、小明在静水中划船的速度为

10千米/时，今往返于某条河，逆水用了

9小时，

/时，解得x＝2时.

15、某船从A码头顺流航行