高等代数北大版课件5.4正定二次型.ppt
- 文档编号:338562
- 上传时间:2022-10-09
- 格式:PPT
- 页数:36
- 大小:767.50KB
高等代数北大版课件5.4正定二次型.ppt
《高等代数北大版课件5.4正定二次型.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数北大版课件5.4正定二次型.ppt(36页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第五章二次型第五章二次型第五章二次型第五章二次型5.15.1二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示5.25.2标准形标准形标准形标准形5.35.3唯一性唯一性唯一性唯一性5.45.4正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型章小结与习题章小结与习题章小结与习题章小结与习题5.4正定二次型一、一、一、一、正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型二、正定矩阵二、正定矩阵二、正定矩阵二、正定矩阵三、三、三、三、nn元实二次型的分类元实二次型的分类元实二次型的分类元实二次型的分类5.45.4正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型四、四、四、四、小结小结小结小结5.4正定二次型一一一一、正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型则称则称f为为正定二次型正定二次型.12(,)0nfcccKK如,二次型如,二次型是正定的;是正定的;2121(,)nniifxxxx=KK不是正定的不是正定的但二次型但二次型12121(,)nniifxxxx-=KK一组不全为零的实数一组不全为零的实数都有都有12,ncccKK1111、定义、定义、定义、定义:
实二次型实二次型若对任意若对任意12(,)nfxxxKK5.4正定二次型2222、正定性的判定、正定性的判定、正定性的判定、正定性的判定1)实二次型正定实二次型正定XAX,0nXRXAX喂喂若若X0,则则2)设实二次型设实二次型f正定正定0,1,2,idinL证证:
充分性显然:
充分性显然.下证必要性,若下证必要性,若f正定,取正定,取222121122(,)nnnfxxxdxdxdx=+=+KLKL则则20()0,0,1,2,iiifXdxdin=LL0()(0,0,1,0,0),1,2,iXin=KKLKKL5.4正定二次型经过非退化线性替换经过非退化线性替换XCY化成化成则,则,3)非退化线性替换不改变二次型的正定性非退化线性替换不改变二次型的正定性.11220,00YYnnkckcXCkc骣骣骣骣琪琪琪琪=琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫MMMM1212(,)()(,)nnfxxxYCACYgyyy=KKKK12000012(,)()(,)nnfcccXAXYCACYgkkk=KKKK任取一组不全为零的数任取一组不全为零的数令令12,nkkkKK证明证明:
设正定二次型:
设正定二次型12(,)nfxxxXAX=KK5.4正定二次型所以,非退化线性所以,非退化线性替换不改变二次型的正定性替换不改变二次型的正定性.又由于又由于C可逆,可逆,0Y0,所以,所以0,X0同理,若正定,则正定同理,若正定,则正定.fg1212(,)(,)0nngkkkfccc=KKKK12(,)ngyyyKK正定.反之,实二次型反之,实二次型可经过非退化可经过非退化12(,)ngyyyKK不全为不全为0.即即12,ncccKK线性线性替换替换变到实二次型变到实二次型12(,),nfxxxKKYX-1=C5.4正定二次型秩秩n(的正惯性指数)(的正惯性指数).fpf4)(定理定理定理定理55)n元实二次型元实二次型正定正定12(,)nfxxxKKXCY=证证:
设:
设经非退化线性替换经非退化线性替换12(,)nfxxxKK222121122(,)nnnfxxxdydydy=+=+KLKL变成标准形变成标准形由由22),),正正定定f0,1,2,idinL即,的正惯性指数即,的正惯性指数pn秩秩.ff5.4正定二次型规范形为规范形为22212.nzzz+LL2221122,0,1,2,nndydydyiin+=+=LLLL5)正定二次型的标准形为正定二次型的标准形为12(,)nfxxxKK5.4正定二次型二、正定矩阵二、正定矩阵二、正定矩阵二、正定矩阵1111、定义、定义、定义、定义设设AA为实对称矩阵,若二次型为实对称矩阵,若二次型XAX正定二次型的规范形为正定二次型的规范形为22212nzzzZEZ+=+=LLQ是正定的,则称AA为正定矩阵正定矩阵.2222、正定矩阵的判定、正定矩阵的判定、正定矩阵的判定、正定矩阵的判定2)实对称矩阵实对称矩阵A正定正定1)实对称矩阵实对称矩阵AA正定正定AA与单位矩阵与单位矩阵EE合合同同.A与与E合同合同,即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵C,使使QACECCC=可见,正定矩可见,正定矩阵是可逆矩阵阵是可逆矩阵.存在可逆矩阵存在可逆矩阵CC,使使ACC=5.4正定二次型3)实对称矩阵实对称矩阵AA正定正定A与任一正对角矩阵合同与任一正对角矩阵合同.即,即,D与与E合同合同.为任一正对角矩阵,则为任一正对角矩阵,则若若Q12,0,1,2,inddDdind骣骣琪琪=琪琪琪琪桫桫LLOO1122111nnddddDdd骣骣骣骣骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪=琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫桫桫OOOOOO5.4正定二次型例例11、设设A为为n阶正定矩阵,证明阶正定矩阵,证明(55)若)若B亦是正定矩阵,则亦是正定矩阵,则AB也是正定矩也是正定矩阵;阵;(22)是正定矩阵;)是正定矩阵;(0)kAk(11)是正定矩阵;)是正定矩阵;1A-(33)是正定矩阵;)是正定矩阵;*A(44)是正定矩阵()是正定矩阵(m为任意整数);为任意整数);mA5.4正定二次型证:
证:
(1)由于)由于A正定,则存在可逆矩阵正定,则存在可逆矩阵P,使,使于是有,于是有,故,正定故,正定.1A-
(2)由于)由于A正定,对都有正定,对都有,0,nXRX喂喂0,XAX因此有因此有()0.XkAXkXAX=1111111()()()()PAPPAPPAPE-=,PAPE=令令1(),QP-=故,正定故,正定.kA即,与单位矩阵即,与单位矩阵E合同合同.1A-则则Q可逆,且可逆,且1,QAQE-=5.4正定二次型,由(,由(11)()(22)即得正定)即得正定.*1AAA-=又又*A(3)A正定,则存在可逆矩阵正定,则存在可逆矩阵C,使使ACC=,于是,于是20ACCC=当当m22k时,时,2(),mkkkkkAAAAAEA=即,与单位矩阵即,与单位矩阵E合同,所以合同,所以正定正定.mAmA(4)由于)由于A正定,知为正定,知为n阶可逆对称矩阵阶可逆对称矩阵,mA5.4正定二次型(5)由于)由于A、B正定,对都正定,对都有有,0,nXRX喂喂0,0XAXXBX因此有因此有()0.XABXXAXXBX+=+=+故,故,AB正定正定.当当m22k1时,时,21(),mkkkkkAAAAAAAA+=即,与正定矩阵即,与正定矩阵A合同,而合同,而A与单位矩阵与单位矩阵E合同合同,mA所以与所以与E合同,即正定合同,即正定.mAmA5.4正定二次型3333、正定矩阵的必要条件、正定矩阵的必要条件、正定矩阵的必要条件、正定矩阵的必要条件1)实对称矩阵正定实对称矩阵正定()ijnnAa0,1,2,.iiain=LL取取(0,0,1,0,0)iiX=KKKK第个正定正定.证:
证:
若若A正定正定,则二次型,则二次型12(,)XAXnfxxx=KK()0,1,2,iiiiifXXAXain=LL则则5.4正定二次型反之不然反之不然.即,为对称矩阵,且即,为对称矩阵,且()ijnnAa=但但A未必正定未必正定.如如0,1,2,iiain=LL()11,11A-=-所以所以A不是正定的不是正定的.注意注意注意注意21212(,)(),fxxXAXxx=-=-当时,有当时,有12121(,)0.xxfxx=5.4正定二次型2)实对称矩阵实对称矩阵A正正定定det0AA但不是但不是正定二次型正定二次型.2212XAXxx=-=-()10,1001AA-=-如如20.ACCC=注意注意注意注意证:
证:
若若AA正定,则存在可逆矩阵正定,则存在可逆矩阵CC,使,使,ACC=从而从而反之不然反之不然.即实对称矩阵即实对称矩阵AA,且,且A未必正定未必正定.0,A5.4正定二次型4444、顺序主子式、主子式、顺序主子式、主子式、顺序主子式、主子式、顺序主子式、主子式、11111)(1,2,)kkkkkkaaAkRaa骣骣琪琪=琪琪桫桫KKLMOMLMOMLL称为称为A为第为第kk阶阶顺序主子矩阵顺序主子矩阵;()nnijAaR=设矩阵设矩阵11112)det(1,2,)kkkkkaaPAkaa=KKLMOMLMOMLL称为称为A的第的第kk阶阶顺序主子式顺序主子式.5.4正定二次型3)k级行列式级行列式111212122212kkkkkkiiiiiiiiiiiikiiiiiiaaaaaaQaaa=LLLLLLLLLLLLLL称为称为A的一个的一个k阶阶主子式主子式.即行指标与即行指标与列指标相同列指标相同的的k阶子式阶子式5.4正定二次型5555、(定理、(定理、(定理、(定理6666)A的顺序主子式的顺序主子式Pk全大于零全大于零.1211(,)nnnijijijfxxxaxxXAX=邋邋KK正定正定实二次型实二次型1211(,)kkkkijijijfxxxaxx=邋邋LL1212(,)(1,2,)kkxxxxxAkx骣骣琪琪=琪琪琪琪桫桫KLKLMM证证:
必要性必要性.设正定,对每一个设正定,对每一个k12(,)nfxxxKK
(1),kkn令令5.4正定二次型是正定的,从而是正定的,从而正定正定.12(,)knfxxxKK(1,2,)AkLL对任意一不全为零的数对任意一不全为零的数有有12,kcccKK1212(,)(,0,0)0kkkfcccfccc=KKKKKKdet(1,2,)0,1,2,.kPAkn=LLLLk充分性充分性:
对对n作数学归纳法作数学归纳法.n1时,时,正定正定.结论成立结论成立.211111110.()iaafxax=假设对于假设对于n1元二次型结论成立,下证元二次型结论成立,下证n元的元的情形情形.5.4正定二次型又又A的顺序主子式全大于零,所以的顺序主子式全大于零,所以A1的顺序主子式的顺序主子式由归纳假设,由归纳假设,A1正定,即存在可逆矩阵正定,即存在可逆矩阵G,使使令令1111,1211,11,11,nnnnnnnnaaaaAaaaaa-骣骣骣骣琪琪琪琪=琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫KKMOMMOMMMLL,=则则1nnAAaaaaa骣骣=琪琪桫桫11.nGAGE-=也全大于零也全大于零.().ijnnAa=设设5.4正定二次型则则11121120()101nnnnnEGEEGCCACCGaGaaaaaaaa-骣骣骣骣骣骣=琪琪琪琪琪琪-桫桫桫桫桫桫100nnnEaGGaaaa-骣骣=琪琪-桫桫令令()10,01GC=再令再令12,01nEGCaa-骣骣=琪琪桫桫则则()()11110001011nnnEGAGGCACGaaaaaaaaa-骣骣骣骣=琪琪琪琪桫桫桫桫5.4正定二次型由判定充要条件由判定充要条件3).知知A正定,所以正定,所以正定正定.XAX再令再令12,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等 代数 北大 课件 5.4 定二次型
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)