最新小学数学三年级奥数教案《奥数解析用倒推法解应用题》.docx
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最新小学数学三年级奥数教案《奥数解析用倒推法解应用题》
三年级奥数解析:
用倒推法解应用题
综述:
有些应用题解法的思考,是从应用题所叙述事情的最后结果出发,利用已知条件一步一步倒着分析推理。
追根究底,逐步靠拢所求,直到解决问题。
这种思考问题的方法,通常我们把它叫做倒推法。
故事为铺垫例题:
张二痞平时好吃懒做,还一心想发财,一天,他依在一棵大槐树上正幻想着如何发财,突然来了一位白发苍的老人,看透了他的心事,笑了笑对他说:
“小伙子,我知道你在想什么,想发财,我可以帮助。
”张二痞高兴得跳起来:
“真的!
你帮我发了才,一定感谢你。
”老人说:
“我知道你身上有钱,但不多,这样吧,把你身上的钱往身后树洞里一放,我吹一口气,你的钱就会增加一倍,然后你给我32元作为报酬。
”小伙子照样办了,钱果然增长了一倍,他恳求老人再来一次,钱一放,吹口气,又增加一倍,付给老人32元………经过四次之后,张二痞从树洞里取出32元,付给了老人,他变得两手空空的了。
十分沮丧。
老人把钱还给张二痞说:
“小伙子,要发财,还得靠自己勤劳。
”说完老人不见。
这是怎么一回事?
张二痞原来有多少钱?
我们用“○”表示小伙子原来的钱数,按照上面说的,就会得到下面的图示:
从上图就会发现,如果顺着算是很是很难算出原来的钱数,如果我们从最后的结果,倒推回去,就很容易算出原来的钱数,如果给老人32元,最后一次从树洞里取出的钱就是32元,第4次放进去的钱就是32÷2=16元了,照这样倒推回去,就得到下面的图示:
这样倒着推算的结果是张二痞原来只有30元。
有些问题,从已知条件出发,向所求的问题顺着推算得到答案是很困难的,如果从应用题所叙述的叙述的最后结果出发,倒着向前一步一步分析推算,直到解决问题,解起来就容易得多,这种利用已知条件,按照题目叙述的过程向相反的方向倒着推理思考、解答问题的方法,通常叫做“倒推法”。
例1小聪问小明:
“你今年几岁?
”小明回答说:
“用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4。
请你算一算,我今年几岁?
”
分析与解分析时可以从最后的结果“4”逐步倒着推。
这个数没除以5时应该是多少?
没加上6时应该是多少?
没乘以7时是多少?
没减去8时是多少?
这样依次逆推,就可以推出小明的年龄数。
(1)“除以5,正好等于4”。
如果不除以5时,此数是:
4×5=20
(2)“加上6”此数是20,如果没加上6时,该数是:
20-6=14
(3)“乘以7”此数是14,如果不乘以7时,这个数是:
14÷7=2
(4)“我的年龄数减去8”,此数是2,如果不减去8时,我的年龄数是:
2+8=10
综合列式计算:
(4×5-6)÷7+8
=(20-6)÷7+8
=14÷7+8
=10(岁)
验算:
为了保证解题正确,可按原题的叙述顺序进行列式计算,看最后结果是否“正好等于4”。
若等于4,则解题正确。
[(10-8)×7+6]÷5
=(2×7+6)÷5
=20÷5
=4
答:
小明今年10岁。
例2一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米。
这捆电线原来有多少米?
分析与解为了帮助同学们分析数关系,可依照题意画出图1。
从线段图上可以看出:
(1)7+15-10=12(米),就是第一次用去后余下的一半。
(2)12×2=24(米),就是余下的电线长度。
(3)24+3=27(米),就是全长的一半。
(4)27×2=54(米),就是原来电线的长度。
综合列式计算:
[(7+15-10)×2+3]×2
=(12×2+3)×2
=27×2
=54(米)
验算:
第一次用去的:
54÷2+3=30(米)
第二次用去的:
(54-30)÷2-10=2(米)
剩下的:
54-30-2-15=7(米)
答:
这捆电线原来有54米。
例3、一条毛毛虫从幼虫长到成虫,每天长一倍,24天能长到20厘米,当长到5厘米时需要用多少天?
解题关键:
毛毛虫每天长一倍的意思是:
第二天的身长是第一天的2倍,第三天的身长是第二天的2倍,第四天的身长是第三天的2倍,……,从24天能长到20厘米开始,往前倒推,当长到20÷2=10厘米时,就是第23天,以此倒推。
解法一:
用倒推法解
20÷2÷2=5(厘米)24-1-1=22天。
解法二:
用列表倒推法解:
出生天数
幼虫身长(厘米)
24
20
23
10
22
5
答长到5厘米时要用22天。
例4:
小马虎在做一道加法题目时,把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了3,结果得到的“和”是123。
问:
正确的结果应是多少?
分析:
利用还原法。
因为把个位上的5看成9,所以多加了4;又因为把十位上的8看成3,所以少加了50。
在用还原法做题时,多加了的4应减去,多减了的50应加上。
解:
123-4+50=169。
答:
正确的结果应是169。
例5:
甲、乙、丙三组共有图书90本,乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组拥有相等数目的图书。
问:
甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书?
分析与解:
尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去,但图书的总数90本没有变,由最后三个组拥有相同数目的图书知道,每个组都有图书90÷3=30(本)。
根据题目条件,原来各组的图书为
甲组有30+3=33(本),
乙组有30—3+5=32(本),
丙组有30—5=25(本)。
例6:
袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。
问:
袋中原有多少个球?
分析与解:
利用逆推法从第5次操作后向前逆推。
第5次操作后有3个,第4次操作后有(3—1)×2=4(个),第3次……为了简洁清楚,可以列表逆推如下:
球数/个
初始状态
(18-1)×2=34123
第1次操作
(10-1)×2=18
第2次操作
(6-1)×2=10
第3次操作
(4-1)×2=6
第4次操作
(3-1)×2=4
第5次操作
3
所以原来袋中有34个球。
例7:
货场原有煤若干吨。
第一次运出原有煤的一半,第二次运进450吨,第三次又运出现有煤的一半又50吨,结果剩余煤的2倍是1200吨。
货场原有煤多少吨?
分析与解这道题由于原有煤的总吨数是未知的,所以要想顺解是很不容易的,我们先看图2,然后再分析。
结合上面的线段图,用倒推法进行分析,题中的数量关系就可跃然纸上,使同学们一目了然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”,就可以求出剩余煤的吨数;根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数,就可以求出现有煤的一半是多少吨,进而可求出现有煤的吨数;用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨,就可以求出原有煤的一半是多少,最后再求出原有煤多少吨。
(1)剩余煤的吨数是:
1200÷2=600
(2)现有煤的一半是:
600+50=650(吨)
(3)现有煤的吨数是:
650×2=1300
(4)原有煤的一半是:
1300-450=850(吨)
(5)原有煤的吨数是:
850×2=1700
综合列式计算:
[(1200÷2+50)×2-450]×2
=[(600+50)×2-450]×2
=(650×2-450)×2
=(1300-450)×2
=850×2
=1700(吨)
验算:
第一次运出的煤:
1700÷2=850(吨)
第二次运进后现有的煤:
1700-850+450=1300(吨)
第三次运出的煤:
1300÷2+50=700(吨)
剩余的煤:
1300-700=600(吨)
剩余煤的2倍是:
600×2=1200(吨)
验算结果符合题意,说明解题正确。
答:
货场原来有煤1700吨。
例8有一筐苹果,甲取出一半又1个;乙取出余下的一半又1个;丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果。
这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱?
分析与解请看线段图3。
从上面的线段图可以看出:
最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半,即2个是再余下的一半,因此,再余下的就是(2×2=)4个;
4个再加上乙取出的1个就是余下的一半,所以,甲取出后余下的就是(5×2=)10个;
10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半,所以,全筐苹果的总数是(11×2=)22个。
22个苹果共值6元6角,于是可求出每个苹果平均值多少钱。
(1)先求有多少个苹果:
上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”,还专门为大学生创业提供担保,贷款最高上限达到5万元。
{[(1+1)×2+1]×2+1}×2
={[2×2+1]×2+1}×2
=(5×2+1)×2
=11×2=22(个)
我们从小学、中学到大学,学的知识总是限制在一定范围内,缺乏在商业统计、会计,理财税收等方面的知识;也无法把自己的创意准确而清晰地表达出来,缺少个性化的信息传递。
对目标市场和竞争对手情况缺乏了解,分析时采用的数据经不起推敲,没有说服力等。
这些都反映出我们大学生创业知识的缺乏;
(2)再求每个苹果平均值多少钱:
3、竞争对手分析 6元6角=66角或6.6元
66÷22=3(角)或6.6÷22=0.3(元)
中式饰品风格的饰品绝对不拒绝采用金属,而且珠子的种类也更加多样。
五光十色的水晶珠、仿古雅致的嵌丝珐琅珠、充满贵族气息的景泰蓝珠、粗糙前卫的金属字母珠片的材质也多种多样。
验算:
甲取出的:
22÷2+1=12(个)
乙取出的:
(22-12)÷2+1=6(个)
丙取出的:
(22-12-6)÷2+1=3(个)
最后剩下的:
22-(12+6+3)=1(个)
五、创业机会和对策分析 整筐苹果共值:
3×22=66(角),即6元6角。
为了解目前大学生对DIY手工艺品制作的消费情况,我们于己于人2004年3月22日下午利用下课时间在校园内进行了一次快速抽样调查。
据调查本次调查人数共50人,并收回有效问卷50份。
调查分析如下:
验算结果符合题意,证明解题正确。
答:
每个苹果平均值3角钱。
还有一点就是beadwork公司在“碧芝自制饰品店”内设立了一个完全的弹性价格空间:
选择饰珠的种类和多少是由顾客自己掌握,所以消费者可以根据自己的消费能力进行取舍;此外由于是顾客自己制作,所以从原料到成品的附加值就可以自己享用。
现在是个飞速发展的时代,与时俱进的大学生当然也不会闲着,在装扮上也不俱一格,那么对作为必备道具的饰品多样性的要求也就可想而知了。
倒推法也是一种常用的思考方法,在解答这类应用题时,要根据题目的特点,从问题的最后结果着手倒推去解决问题。
有些题目如果用倒推法去解,那么就可以化难为易,化繁为简。
请你做下面的练习,以便更好地掌握这种方法。
解题在于实践:
1.一个数加上2,减去3,乘以4,除以5,结果等于12。
问这个数是多少?
2.一个数加上8,乘以8,减去8,除以8,结果还是8。
问这个数是多少?
3.修路队修一条公路,第一天修了全长的一半少40米;第二天修了余下的一半多10米,还剩60米。
这条公路全长多少米?
4.妈妈从副食店买回几个鸡蛋。
第一天吃了全部的一半又半个,第二天吃了余下的一半又半个,第三天又吃了余下的一半又半个,恰好吃完。
妈妈从副食店买回多少个鸡蛋?
(1)专业知识限制 5.某仓库运出四批原料,第一批运出的占全部库存的一半,第二批运出的占余下的一半,以后每一批都运出前一批剩下的一半。
第四批运出后,剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂。
甲厂分得24吨,乙厂分得的是甲厂的一半,丙厂分得4吨。
问最初仓库里有原料多少吨?
6.有砖26块,兄弟二人争着去挑。
弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶到了。
哥哥看弟弟挑得太多,就抢过一半。
弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半。
哥哥不服,弟弟只好给哥哥5块,这时哥哥比弟弟多挑2块。
问最初弟弟准备挑多少块?
答案:
“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等,都是平日里不常见的。
据店长梁小姐介绍,店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥地利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等,五彩缤纷,流光异彩。
按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类,其造型更是千姿百态:
珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等,美不胜收。
全部都是进口的,从几毛钱一个到几十元一个的珠子,做一个成品饰物大约需要几十元,当然,还要决定于你的心意尽管售价不菲,却仍没挡住喜欢它的人。
1.这个数是16。
12×5÷4+3-2=15+3-2=16
2.这个数是1。
(8×8+8)÷8-8=(64+8)÷8-8=9-8=1
3.这条公路全长200米。
[(60+10)×2-40]×2=(140-40)×2=200(米)
4.7个。
有的同学一看每次都吃“一半又半个”,认为这不符合实际,于是就不去进行仔细认真地分析,被“半个”这一假象所迷惑。
其实,只要采用倒推法,就很容易知道第三天吃了0.5×2=1(个),于是问题就可以迎刃而解了。
[(0.5×2+0.5)×2+0.5]×2
=(1.5×2+0.5)×2
=3.5×2=7(个)
5.最初仓库里有原料640吨。
先求第四批运出后剩下多少吨原料:
24+24÷2+4=24+12+4=40(吨)
再用倒推法求最初仓库里有原料多少吨:
40×2×2×2×2=640(吨)
6.最初弟弟准备挑16块。
先利用“和差”问题的解法求弟弟最后挑多少块:
(26-2)÷2=24÷2=12(块)
再利用倒推法求最初弟弟准备挑多少块:
{26-[26-(12+5)]×2}×2
={26-[26-17]×2}×2
=(26-9×2)×2
=8×2=16(块)
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