高考数学讲义微专题05函数的对称性与周期性含详细解析.docx
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高考数学讲义微专题05函数的对称性与周期性含详细解析
微专题05函数的对称性与周期性
一、基础知识
(一)函数的对称性
1、对定义域的要求:
无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称
2、轴对称的等价描述:
(1)faxfaxfx关于xa轴对称(当a0时,恰好就是偶函数)
ab
(2)faxfbxfx关于x轴对称
2
在已知对称轴的情况下,构造形如faxfbx的等式只需注意两点,一是等式
ab两侧f前面的符号相同,且括号内x前面的符号相反;二是a,b的取值保证x为所给
2
对称轴即可。
例如:
fx关于x1轴对称fxf2x,或得到
f3xf1x均可,只是在求函数值方面,一侧是fx更为方便
(3)fxa是偶函数,则fxafxa,进而可得到:
fx关于xa轴对称。
1要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在fxa中,x仅是括号中的一
部分,偶函数只是指其中的x取相反数时,函数值相等,即fxafxa,要与以下的命题区分:
若fx是偶函数,则fxafxa:
fx是偶函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有fxafxa
2本结论也可通过图像变换来理解,fxa是偶函数,则fxa关于x0轴对称,
而fx可视为fxa平移了a个单位(方向由a的符号决定),所以fx关于xa对称。
3、中心对称的等价描述:
(1)faxfaxfx关于a,0轴对称(当a0时,恰好就是奇函数)
ab
(2)faxfbxfx关于ab,0轴对称
2
在已知对称中心的情况下,构造形如faxfbx的等式同样需注意两点,一是
ab
等式两侧f和x前面的符号均相反;二是a,b的取值保证x为所给对称中心即可。
例
2
如:
fx关于1,0中心对称fxf2x,或得到f3xf5x均可,同样在求函数值方面,一侧是fx更为方便
(3)fxa是奇函数,则fxafxa,进而可得到:
fx关于a,0轴对称。
①要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在fxa中,x仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的x取相反数时,函数值相反,即fxafxa,要与以下的命题区分:
若fx是奇函数,则fxafxa:
fx是奇函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有fxafxa
②本结论也可通过图像变换来理解,fxa是奇函数,则fxa关于0,0中心对称,而fx可视为fxa平移了a个单位(方向由a的符号决定),所以fx关于a,0对称。
4、对称性的作用:
最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需要
分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质,主要体现在以下几点:
(1)可利用对称性求得某些点的函数值
(2)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像
(3)极值点关于对称轴(对称中心)对称
(4)在轴对称函数中,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
(二)函数的周期性
1、定义:
设fx的定义域为D,若对xD,存在一个非零常数T,有fxTfx,则称函数fx是一个周期函数,称T为fx的一个周期
2、周期性的理解:
可理解为间隔为T的自变量函数值相等
3、若fx是一个周期函数,则fxTfx,那么fx2TfxTfx,即2T也是fx的一个周期,进而可得:
kTkZ也是fx的一个周期4、最小正周期:
正由第3条所说,kTkZ也是fx的一个周期,所以在某些周期函数中,往往寻找周期中最小的正数,即称为最小正周期。
然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数fxC
5、函数周期性的判定:
(1)fxafxb:
可得fx为周期函数,其周期Tba
(2)fxafxfx的周期T2a
分析:
直接从等式入手无法得周期性,考虑等间距再构造一个等式:
fx2afxa
分析:
fx2a
xa
(6)双对称出周期:
若一个函数fx存在两个对称关系,则fx是一个周期函数,具体
情况如下:
(假设ba)
①若fx的图像关于xa,xb轴对称,则fx是周期函数,周期T2ba分析:
fx关于xa轴对称fxf2ax
fx关于xb轴对称fxf2bx
f2axf2bxfx的周期为T2b2a2ba
②若fx的图像关于a,0,b,0中心对称,则fx是周期函数,周期T2ba
3若fx的图像关于xa轴对称,且关于b,0中心对称,则fx是周期函数,周期T4ba
7、函数周期性的作用:
简而言之“窥一斑而知全豹”,只要了解一个周期的性质,则得到整
个函数的性质。
(1)函数值:
可利用周期性将自变量大小进行调整,进而利用已知条件求值
(2)图像:
只要做出一个周期的函数图象,其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
(3)单调区间:
由于间隔kTkZ的函数图象相同,所以若fx在a,bbaT上单调增(减),则fx在akT,bkTkZ上单调增(减)
(4)对称性:
如果一个周期为T的函数fx存在一条对称轴xa(或对称中心),则fx
kT
存在无数条对称轴,其通式为
xa
k
2
Z
证明:
Qfx关于x
a轴对称
fx
f2ax
函数fx的周期为T
fx
kTf
x
fxkTf2a
x
f
x关于
kT
xa轴对称
2
注:
其中(3)(4)在三角函数中应用广泛,可作为检验答案的方法
二、典型例题:
例1:
设f(x)为定义在R上的奇函数,f(x2)f(x),当0x1时,f(x)x,则
f(7.5)
答案:
f(7.5)
答案:
D
2个单
小炼有话说:
fx虽然不是周期函数,但函数值关系与周期性类似,可理解为:
间隔
位的自变量,函数值呈2倍关系。
所以在思路上仍可沿用周期性的想法,将自变量向已知范围进行靠拢。
f2016
f4,而由已知可得f4
1
f2
3
,所以f2016
5
3
5
1
f2
答案:
D
log21x,x
0
例4(2009
山东):
定义在R上的函数f
x
满足f
x
,则
fx1f
x2,x0
思路:
所给
x的特点为x0才有解析式能够求值,而x0只能通过
fxfx1fx2减少自变量的取值,由所求f2009可联想到判断fx是否
具有周期性,x0时,fxfx1fx2,则有fx1fx2fx3,两式相加可得:
fxfx3,则fxfx3fx6,即fx在x0时周期是6,故
f2009f5f2,而
f2f1f0f0f1f0f11
答案:
C
小炼有话说:
(1)本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量
靠拢,而x2009数较大,所以考虑判断函数周期性。
(2)如何快速将较大自变量缩至已知范围中?
可利用带余除法除以周期,观察余数。
则被除数的函数值与余数的函数值相同,而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。
例如本题
中20096334L5,从而f2009f5
(3)本题推导过程中fxfx3也有其用处,其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数,相比周期,它的间隔更小,所以适用于利用周期缩小自变量范围后,进行“微调”从而将自变量放置已知区间内
例5:
函数fx是周期为4的偶函数,当x0,2时,fxlog2x11,则不等式
xfx0在1,3上的解集为
思路:
从已知出发可知x0,2时,fx为增函数,
log2210,所以x0,1时,fx0,
2,1时,fx0。
从而可作出草图。
由所解不等式xfx0可
将1,3分为1,0U0,3两部分,当x0时,fx0,所以x1,0,当x0时,
fx0,所以fx1,3,综上解集为:
1,0U1,3
小值,从而也是fx在R上的最小值
答案:
1,0
U
1,3
例6
:
已知f
x
是定义在
R上的函数,
满足fxfx
0,fx
1f
x1,
x
0,1
时,
f
2
xx
x,则函数
fx的最小值为(
)
A.
1
B.
1
1
1
C.
D.
4
4
2
2
思路:
由
fx
1
fx
1可得fx
是周期为2的周期函数,所以只需要求出一
个周期
内的最值即可。
由fx
x0可得fx为奇函数,所以考虑区间1,1,在x0,1
答案:
B
例7:
已知定义域为R的函数fx满足fxfx4,且函数fx在区间2,上单调递增,如果x12x2,且x1x24,则fx1fx2的值()
A.可正可负B.恒大于0C.可能为0D.恒小于0思路一:
题目中给了单调区间,与自变量不等关系,所求为函数值的关系,从而想到单调性,而x1x24可得x24x1,因为x12,所以4x12,进而将x2,4x1装入了2,
中,所以由x24x1可得fx2f4x1,下一步需要转化f4x1,由fxfx4可得fx关于2,0中心对称,所以有f4xfx。
代入x1可得f4x1fx1,从而fx2fx1fx1fx20
思路二:
本题运用数形结合更便于求解。
先从fxfx4分析出fx关于2,0中心对称,令x2代入到fxfx4可得f20。
中心对称的函数对称区间单调性相同,从而可作出草图。
而x1x24x1x22,即x1,x2的中点位于
12212
x2的左侧,所以x1比x2距离x2更远,结合图象便可
分析出fx1fx2恒小于0
答案:
D
小炼有话说:
(1)本题是单调性与对称性的一个结合,入手点在于发现条件的自变量关系,与所求函数值关系,而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性,所以需要将自变量装入同一单调区间内。
而对称性起到一个将函数值等价转化的作用,进而与所求产生联系
(2)数形结合的关键点有三个:
第一个是中心对称图像的特点,不仅仅是单调性相同,而且是呈“对称”的关系,从而在图像上才能看出fx1fx2的符号;第二个是f20,
进
而
可知x2,
fx0;x,2,fx0;第三个是
x1
x2
4x1x22,
422,
既然是数形结合,
则题中条件也要尽可能转为图像特点,而
x1
x2
4表现出中点的位置,
从而能够判断出
x1,x2距离中心对称点的远近。
例8
:
函数fx的定义域为
R,若fx1
与fx1都是奇函数,则()
A.
f
x是偶函数
B.fx是奇函数
以fx3为奇函数,D正确
答案:
D
例9:
已知定义域为R的函数yfx在0,7上只有1和3两个零点,且yfx2与
fx7都是偶函数,则函数yfx在0,2013上的零点个数为(
周期内零点的个数,再乘以组数,加上剩余部分的零点即可
解:
Qfx2,fx7为偶函数
x为周期函数,且T27210
在0,10中只含有四个零点
而0,10U10,20ULU2000,2010共201组所以N2014804
在2010,2013中,含有零点f2011f10,f2013f30共两个所以一共有806个零点
答案:
C
小炼有话说:
(1)周期函数处理零点个数时,可以考虑先统计一个周期的零点个数,再看所求区间包含几个周期,相乘即可。
如果有不满一个周期的区间可单独统计
(2)在为周期函数分段时有一个细节:
“一开一闭”,分段的要求时“不重不漏”,所以在给周期函数分段时,一端为闭区间,另一端为开区间,不仅达到分段要求,而且每段之间保持队型,结构整齐,便于分析。
(3)当一个周期内含有对称轴(或对称中心)时,零点的统计不能仅限于已知条件,而要看是否由于对称产生新的零点。
其方法一是可以通过特殊值的代入,二是可以通过图像,将零点和对称轴标在数轴上,看是否有由对称生成的零点(这个方法更直观,不易丢解)例10:
设函数yfx是定义在R上以1为周期的函数,若gxfx2x在区间2,3
上的值域为2,6,则函数gx在12,12上的值域为()
A.2,6B.20,34C.22,32D.24,28思路:
设x02,3,则gx02,6,因为fx为周期函数,故以fx为突破口,gx0nfx0n2x0nfx02x02ngx02n,考虑在12,11中n14,所以gx014gx0214gx02826,34,在11,12中n9,所以gx09gx029gx01820,12,所以gx在12,12的值域为
20,34
答案:
B
三、近年模拟题题目精选
1、(2014,庆安高三期中)已知函数f(x)是R上的偶函数,且满足f(x1)f(x)3,当
x1,0时,f(x)2x,则f(2007.5)的值为()
fx
4x22,1x03,则f
x,0x12
是偶函数,则下列结论中正确的是(
3
f(x)x3,则f(2009)
7、已知定义在
R上的函数fx满足
fx
f
x,fx2
fx
2,且x
1,0
时,fx
2x15,
则flog220
(
)
A.1
4
1D.
4
B.
C.
5
5
8、已知f(x)
是定义在
R上的奇函数,
且对任意实数
x,恒有f(x
2)
f(x),当x
0,2
时,f(x)2xx2,求f(0)f
(1)f
(2)L
f(2012)
习题答案:
1、答案:
B
解析:
由f(x1)f(x)3可得:
f(x)f(x1)3,两式相减可得
fx1
fx1,所以
fx的周期T
2,再由fx是偶函数可得:
f2007.5f0.5f
0.51.5
2、答案:
A
23
171717
1,
解析:
由
fxfx
sinx可知
f
fsinf
6
666
2
17
1111
11
1
f
fsin
f
6
66
6
2
f11
f
5
5
sin
f5
11,所以可得:
23f
1
6
6
6
6
22
6
2
3、答案:
1
解析:
f
3
f
14
2
12
21
2
2
2
4、答案:
C
解析:
fx为奇函数,可知fx为偶函数,所以根据奇偶性的规律可得:
fxgx为奇函数,fxgx是偶函数,fxgx是奇函数,fxgx是偶函数,故C正确5、答案:
D
解析:
fx1fx1T2,,fxfx2可得fx关于x1轴对称,
1
因为fx在0,1内有且只有一个零点,所以由对称性可得fx在0,2只有两个零点2
13
。
所以一个周期中含有两个零点,区间0,2014共包含1007个周期,所以有2014个零22
点
6、答案:
1
解析:
由f(x)f(x)可得:
fx关于0,0中心对称,由f(1x)f(1x)可得:
fx关于x1轴对称,所以可求出fx的周期T4,则f2009f11
7、答案:
1
解析:
f
xfx可知
x为奇函数,
fx2
fx2可得T4,所以
flog2
20
55
f4log2flog2f
log24
log241
2251
4
4
25
5
8、答案:
0
解析:
由f(x2)f(x)可得:
fx的周期T4,由于fx具备周期性,故求和时可
考虑按照周期将一个周期的函数值归为一组,求出一组的结果,在考虑求和的式子中含有多
少组周期即可:
f11,f2
f00,f3f
1f1
1,f4f00
f1f2
f3f40
故f(0)f
(1)
f
(2)Lf(2012)
f05030
0
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